Seção 29 Ortogonalidade das funções de Bessel Membrana circular

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1 Sção 9 Ortogonalidad das funçõs d Bssl Mmbrana circular Vamos considrar o problma d dtrminar vibraçõs livrs d uma mmbrana prsa plo bordo tambor), conhcidos o dslocamnto a vlocidad iniciais dos pontos da mmbrana. A mmbrana vai ocupar uma rgião do plano R, limitada por uma curva fchada. Sja u = ux, y, t) o dslocamnto na dirção prpndicular) do ponto d coordnadas x, y) no instant t. Usando as lis da Física, mostra-s qu u satisfaz a quação da onda bidimnsional u tt = c u, ond c é uma constant positiva qu dpnd da tnsão na mmbrana da dnsidad da msma u é o laplaciano d u m rlação as variávis spaciais. Em coordnadas cartsianas a xprssão do laplaciano é u = u xx + u yy. Em coordnadas polars, a xprssão do é u = u rr + 1 r u r + 1 r u θθ. Vjamos a formulação matmática do problma. Sja a rgião do plano R limitada por uma curva fchada. adas duas funçõs f : R g : R, considrmos o problma d dtrminar a função u = ux, y, t) dfinida para x, y) t [, + ) satisfazndo u tt = c u x, y), t > u x, y, t) = x, y), t P ) u x, y, ) = f x, y) x, y) u t x, y, ) = g x, y) x, y) A condição u x, y, t) =, para x, y) t xprssa o fato qu a mmbrana stá prsa plo bordo nos pontos do bordo o dslocamnt é m qualqur instant). O gráfico da função f dá o formato inicial da mmbrana a função g dá a vlocidad inicial m cada um d sus pontos. A partir dst ponto vamos considrar o caso d uma mmbrana circular. Escolhndo o raio do círculo como unidad d comprimnto, podmos supor qu ss raio é 1. Sja o disco = {x, y) R x + y < 1 } dnotmos por a sua circunfrência. Plo o método d sparação d variávis, procuramos primiro u da forma isto é, u uma onda stacionária m. Substituindo 1) na quação da onda, do modo usual obtmos u x, y, t) = φ x, y) ψ t), 1) φ φ = ψ c ψ = λ. aí sgum as duas quaçõs difrnciais indpndnts φ = λφ )

2 Além disto, a condição d frontira ψ c λ ψ =. 3) implica qu dvmos tr u x, y, t) = φ x, y) ψt) =, para todo x, y) t φx, y) =, para todo x, y), pois, caso contrário, para tr o produto smpr nulo, dvríamos tr, ncssariamnt, ψt) = para todo t >, o qu implicaria qu u = sria a solução trivial. Logo tmos contribuição não trivial somnt quando φ = λφ m, φ = m, φ const. = m. 4) Vamos dtrminar os autovalors as autofunçõs do laplaciano no disco, isto é, vamos considadrar o problma d ncontrar uma função φ não trivial um λ R satisfazndo φ = φ rr + 1 r φ r + 1 r φ θθ = λ φ, φ1, θ) =, m m Afirmação: Para qu xista solução não tivial para 5), é ncssário qu λ <. mostração: O litor qu não stivr intrssado pod pular sta dmonstração sm prjuízo da comprnsão) Para a dmonstração prcisamos usar uma fórmula d intgração por parts. A fórmula usual d intgração por parts para as funçõs d uma variávl nos diz qu b a f x) gx) dx = fx) gx) b a b a 5) fx) g x) dx, 6) isto é, na intgração no intrvalo [a, b], a drivação passou d um fator para outro, trocando o sinal da intgral, mas houv também uma contribuição nos pontos a b, qu são a frontira da rgião d intgração [a, b]. Vjamos a vrsão dst fato para dimnsão. Lmbramos primiro da Fórmula d Grn L dx + M dy = M x L ) dxdy. y Em particular, para L = fg M = hk, f, g, h k funçõs d duas variávis dfinidas m quaisqur, tmos hk) fg dx + hk dy = x + fg) ) dxdy. y Usando a rgra da drivada do produto, podmos rscrvr, fy g + h x k ) ) dxdy = fg dx + hk dy fgy + hk x dxdy. 7) A igualdad 6) acima é a fórmula d intgração por parts m dimnsão. Aqui também as drivaçõs passaram d um fator para o outro, mas houv uma contribuição na frontira da rgião d intgração. A frontira aqui é uma curva a contribuição na frontira é uma intgral d linha ao longo dsta curva.

3 Na fórmula 6) d intgração por parts, tomando, m particular, f = φ y, h = φ x g = k = ψ, obtmos a Idntidad d Grn φxx ψ + φ yy ψ ) dxdy = ou sja, ψ φ dxdy = φ y ψ dx + φ x ψ dy φ y ψ dx + φ x ψ dy φx ψ x + φ y ψ y ) dxdy, φ ψ dxdy 8) Vjamos, agora, como a Idntidad d Grn 7) prmit dmonstrar facilmnt a afirmação. Sja φ, não idnticamnt nula, uma autofunção do laplaciano m, corrspondndo ao autovalor λ, isto é, φ = λφ m, φ = m. 9) Tomando ψ = φ na Idntidad d Grn 7), φ φ dxdy = φ y φ dx + φ x φ dy φ φ dxdy, usando 8), obtmos λ φ dxdy = φ φ dxdy = φ dxdy. Sgu qu λ = φ dxdy φ dxdy, como stas duas intgrais são positivas, λ <. Passamos agora a procurar solução não trivial do problma 5), sabndo já qu λ <. Fazmos λ = α, com α >. Plo método d sparação d variávis, procuramos a autofunção φ da forma φr, θ) = F r)gθ). Substituindo m 5), tmos F r)gθ) + 1 r F r)gθ) + 1 r F r)g θ) = α F r)gθ). ividindo por F r)gθ) multiplicando por r, obtmos r F r) + rf r) + α r F r) F r) = G θ) Gθ) = µ. Tmos, ntão, { G θ) + µ Gθ) = Gθ + π) = Gθ) 3 1)

4 r F r) + rf r) + α r µ)f r) =. 11) Como já vimos ants, as soluçõs não triviais d 1) são G θ) = A, µ = 1) G n θ) = A n cos nθ + B n sn nθ, µ n = n, n = 1,, 3, ) Pondo sts valors d µ na quação 11), tmos r F r) + r F r) + α r n ) F r) =. 14) A quação 14) s rduz a uma quação d Bssl através da mudança d variávl s = α r. fato, pla rgra da cadia, df dr = df ds ds dr = α df 15) ds, multiplicando por r, r df dr = s df ds. 16) rivando 16) mais uma vz usando novamnt a rgra da cadia, obtmos r d F dr Substituindo 16) 17) na quação 14), obtmos = s d F ds. 17) s d F ds + s df ds + n s )F =, 18) qu é a quação d Bssl d índic n. Portanto, s pnsarmos m F xprssa como função d s não d r, trmos F s) = C 1 J n s) + C Y n s). Voltando a xprssar F m função d r, F r) = C 1 J n α r) + C Y n α r). Lmbrando agora qu as funçõs nvolvidas dvm sr finitas star bm dfinidas para r =, pois r = corrspond à origm, qu é um ponto do disco, vê-s qu é prciso qu C =, ou sja, Nossa conclusão, até agora, é qu as funçõs F r) = CJ n α r). φr, θ) = A J α r) 19) ) φr, θ) = J n α r) A n cos nθ + B n sn nθ, n = 1,, 3,.... ) satisfazm φ = α φ. Prcisamos ainda invstigar para quais valors d α a função φ cumpr também a condição d frontira φ = m, isto é, φ1, θ) =. Tanto para 19) quanto para ), d φ1, θ) =, para todo θ, sgu qu α dv cumprir a condição J n α) =, isto é, α dv sr um dos zros positivos) da função d Bssl J n. Sabmos qu J n s anula para uma infinidad d zros. Exist toda uma squência d zros positivos d J n α n,1 < α n, < α n,3 <... < α n,m <.... 4

5 Conclusão: As soluçõs não triviais do problma 5) são dadas plos autovalors do laplaciano no disco λ n,m = α n,m ). 1) A uma autovalor da forma λ,m = α,m ) corrspond a autofunção φ,m r, θ) = J α,m r). ) com n = 1,, 3,... corrspondm duas autofunçõs linar- A um autovalor λ n,m = ) α n,m mnt indpndnts φ 1) n,mr, θ) = J n α n,m r) cos nθ φ ) n,m r, θ) = J n α n,m r) sn nθ 3) As autofunçõs ) são funçõs radiais, isto é, dpndm somnt da coordnada polar r, ou sja, suas curvas d nívl são os círculos cntrados na origm, ou ainda, sus gráficos são suprfícis d rvolução. Qualqur combinação linar d φ 1) nmr, θ) φ ) nmr, θ) dadas por 3) é autofunção corrspondnt ao autovalor λ n,m, n = 1,, 3,.... Logo, qualqur função da forma φr, θ) = J n α nm r) sn ) nθ + ϕ n 4) é uma autofunção corrspondnt ao autovalor λ n,m. Todas as autofunçõs 4) são obtidas d φ 1) nmr, θ) por uma rotação. Continuação do problma da mmbrana. λ n,m = ) α n,m dado m 1). Obtmos Agora, na quação 3), substituímos λ por cujas soluçõs são Consquência: As funçõs ond ψ + c α n,m ) ψ =, ψ n,m t) = n,m coscα n,m t) + E n,m sn cα n,m t). u n,m x, y, t) = φ n,m r, θ)ψ n,m t), 5) φ n,m r, θ) = A n,m cos nθ + B n,m sn nθ ) J n α nm r) 6) ψ n,m t) = n,m coscα n,m t) + E n,m sn cα n,m t) 7) são soluçõs da quação da onda satisfazm a condição d frontira u1, θ) =. As u n,m rprsntam as ondas stacionárias na mmbrana circular. A u n,m é priódica m t, su príodo é P n,m = π sua frquência é c α n,m ω n,m = c α n,m π. 8) O movimnto da mmbrana é a suprposição das u n,m, dada por ux, y, t) = n= m=1 u n,m x, y, t). 9) 5

6 As frquências ω n,m dadas por 8) são frquências com as quais a mmbrana pod ralizar oscilaçõs priódicas, sndo, portanto, as frquências naturais d vibração da mmbrana. uas conclusõs surprndnts sgum daí: A primira é qu as frquências naturais d vibração da mmbrana circular têm a vr com os zros das funçõs d Bssl J n ; A sgunda é qu, ao contrário da corda vibrant, ou d uma coluna d ar, no caso da mmbrana as frquências naturais não são múltiplos d uma frquência fundamntal, mais baixa. Esta é a razão pla qual s pod tocar mlodias com instrumntos d cordas, mas não m tambors. Aplicando as condiçõs iniciais: Fazndo t = m 9), tmos Então, fr, θ) = ur, θ, ) = n= m=1 1 π fr, θ) cos nθ dθ = π n,m An,m cos nθ + B n,m sn nθ ) J n α nm r). n,m A n,m J n α nm r) 3) Para cada n fixado, 3) é uma xpansão m séri d Fourir Bssl, qu vai sr studada abaixo. Vrmos, ntão, como calcular os coficints. Obsrvação final. Para qum optou por não lr a dmonstração da obsrvação fita fogo após 5) d qu λ < ) S tivéssmos λ >, ntão λ = β, com β >, a quação 3) ficaria Suas soluçõs, ntão, sriam m=1 ψ c β ψ =. ψt) = cβt + E cβt, qu rprsntariam um movimnto qu não sria oscilatório sria impossívl do ponto d vista físico. O msmo tipo d coisa acontcria s λ =. Essa não é uma xplicação satisfatória do ponto d vista matmático, mas ajuda a ntndr o problma. Séris d Fourir Bssl Vamos rcordar a xpansão m séri d Fourir sno. ada uma função f : [, 1] R, podíamos xpandi-la numa séri fx) = b n sn nπx). n=1 Not qu os númros nπ qu aparcm na séri são justamnt o zros da função sno. O qu vamos fazr agora é substituir o sno por uma função d Bssl, por xmplo, J. Considramos a squência α 1 < α < α 3 < dos zros positivos) da função J isto é, J α m ) = ). Qurmos xpandir uma função qualqur f : [, 1] R m uma séri da forma fr) = A m J α m r), m=1 6

7 qu vai sr uma séri d Fourir Bssl. Para tanto, vamos ncssitar studar a rlação d ortogonalidad das funçõs d Bssl. A ortogonalidad das funçõs trigonométricas ra mais simpls,, s n m sn nπx) sn mπx) dx = 1, s n = m. Em gral, no studo d funçõs ortogonais mais grais, a rlação d ortogonalidad ntr duas funçõs f : [a, b] R g : [a, b] R toma a forma b a fx)gx)px) dx =, ond px) é uma função fixa, chamada função pso. No caso dos snos, px) = 1. Para as funçõs d Bssl, px) = x vr o torma abaixo). Torma Ortogonalidad das funçõs d Bssl) Fixado um n sja α n,1 < α n, < α n,3 <... < α n,m <.... a squência dos zros positivos) da função d Bssl J n a função d Bssl J n s anula para uma infinidad d zros, ou sja, xist toda uma squência d α s positivos para os quais J n α) = ). Então, J n α n,m )J n α n,k ) rdr =, s m k 31) J n α n,m )J n α n,k ) rdr = 1 J n α n,m ) ) 1 = Jn+1 α n,m ) ), s m = k 3) monstração: O litor qu quisr acitar ss fato, podrá pular a dmonstração sm prjuízo da litura) Sjam α = α n,m β = α n,k. Sjam ux) = J n αx) vx) = J n βx). Então, xu + u + α n ) x xu = 33) xv + v + β n ) x xv =. Multiplicando a primira quação por v, a sgunda por u subtraindo, obtmos xu v uv ) + u v uv ) = β α )xuv, qu é quivalnt a d xu v uv ) ) = β α )xuv. dx Intgrando ntr 1 lvando m conta qu u1) = J n α) = v1) = J n β) =, pois α β são zros d J n, obtmos Sgu daí qu s α β ntão β α ) ux)vx) x dx =. ux)vx) x dx =, provando 31). 7

8 Para provar 3), multiplicamos 33) por xu, obtndo d ond sgu qu Intgrando, tmos xu xu + u ) + α x n )uu =, d x u ) + α x n )u ) = α xu. dx α xu dx = x u ) + α x n )u ) 1 lvando m conta qu u1) = J n α) = qu, pla rgra da cadia, u 1) = αj nα), obtmos α Jn αx) ) x dx = α J nα) ) n J n ) ). Not qu s n =, ntão o trmo n J n ) ) no lado dirito da igualdad acima s anula. Para n 1, tmos J n ) = n J n ) ) também s anula. Então, m qualqur um dos casos, obtmos Jn αx) ) 1 x dx = J n α) ). Para concluir a prova d 3), basta utilisar a idntidad d x n J n x) ) = x n J n+1 x), dx qu pod sr vrificada a partir da xpansão da função J n m séri d potências, scrvr nx n 1 J n x) + x n J nx) = x n J n+1 x). Fazndo x = α, obtmos finalmnt J nα) = J n+1 α), concluindo a dmonstração d 3). Expansão m séri d Fourir Bssl. A rlação d ortogonalidad abr a possibilidad para o sguint tipo d xpansão: dada uma função f : [, 1] R fixado um n, qurmos xprssar fr) como fr) = A n,m J n α n,m r). 34) m=1 A xpansão acima, chamada d séri d Fourir Bssl, é possívl para toda função razoávl. Os coficints são dados por A n,m = Jn+1 α n,m ) ) fr) J n α n,m r) r dr. 35) Justificativa: Para justificar a xprssão 35) para os coficints, multiplicamos os dois lados d 34) por r J n α n,k r) intgramos. Tmos fr)j n α n,k r) r dr = A n,m J n α n,m r)j n α n,k r) r dr m=1 Por 31) 3), todas as intgrais qu aparcm na soma do lado dirito da igualdad acima são nulas, xcto quando m = k. Nss último caso, o valor da intgral é Jn+1 α n,k ) ). Então, fr)j n α n,k r) r dr = 1 8 Jn α n,k ) ),

9 justificando 35). Exmplo. Expandir a função constant f : [, 1] R, fr) = 1 m séri d Fourir Bssl fr) = A,m J α,m r). n=1 acordo com 35), os coficints são dados por A,m = J1 α,m ) ) J α,m r) r dr. Conform vimos m um dos xrcícios sobr funçõs d Bssl, a partir das xprssõs m séris d potências para J x) para J 1 x), pod-s facilmnt vrificar qu x J1 x) ) = x J x). Sgu qu Logo,, finalmnt, J α,m r) r dr = 1 α,m 1 = fr) = = 1 α,m n=1 J α,m r) α,m r α,m dr = 1 α,m s J 1 s) A,m = s=α,m s= α,m J 1 α,m ) J α,m r) α,m J 1 α,m ) é a xpansão procurada m séri d Fourir Bssl = J 1α,m ) α,m., para r, 1) α,m J s) s ds Nos livros qu trantam d funçõs d Bssl podm sr ncontradas tablas contndo os zros d J os valors d J 1 avaliada nsss zros. 9