1. (2,0) Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r. Encontre a maior área de superfície possível para esse cilindro.

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1 Gabarito da a Prova Unificada d Cálculo I- 15/, //16 1. (,) Um cilindro circular rto é inscrito m uma sfra d raio r. Encontr a maior ára d suprfíci possívl para ss cilindro. Solução: Como o cilindro rto sta inscrito (vr figura 1) Figura 1: Cilindro Inscrito ntão a altura h do cilindro m função d x é h(x) = r x, também com o raio do cilindro é x, ntão a ára latral é A(x) = x h(x) = x r x para x [, r. Tmos qu maximizar a função A(x), para isso calculmos os pontos d xtrmos. D fato: ( ) ( ) r A x r x x (x) = x = r x r x ( ) r x = = (r x)(r + x). r x r x Como A(x) é contínua para x [, r, ntão x = 1 r = crítico d f. Além disso, pla quação d A (x) vmos qu r é o único ponto A (x) > para x < A (x) < para r r < x r.

2 Logo plo critério da primira drivada podmos concluir qu o ponto x = r é um ponto d máximo global d A(x), a maior ára d suprfíci possívl é ntão dada por ( ) ( ) A r = r r r = r r = r.. (,) Considr a função f dada por f(x) = x x 1. a. Encontr, caso xistam, as assíntotas vrticais horizontais ao gráfico d f. Solução: O domínio da f é D f = R \ {1}. Além disso, f(x) = + ; x 1 + f(x) = x 1 f(x) = ±. x ± Por tanto a rta x = 1 é a única assíntota vrtical não tm assíntota horizontal. b. Dtrmin os pontos críticos d f, intrvalos ond a função é crscnt ond a função é dcrscnt. Solução: f (x) = x(x 1) x = x x x(x ) = (x 1) (x 1) (x 1). (1) Logo, x = x = são os únicos pontos críticos d f. Também podmos vr qu, como (x 1) > para todo x 1, ntão f (x) > m (, ) (, + ) por tanto crscnt f (x) < m (, ) por tanto dcrscnt. c. Encontr os xtrmos rlativos absolutos d f, caso xistam. Solução: Plo itm a) f(x) = ±, logo f não tm xtrmos absolutos. x ± Agora, plo itm b) o critério da primira drivada vmos qu x = é máximo local x = é mínimo local.

3 d. Dtrmin os intrvalos ond o gráfico da função possui concavidad voltada para cima concavidad voltada para baixo. Solução: Pla quação (1), f (x) = (x )(x 1) (x x)(x 1) = (x 1)((x 1) (x x)) (x 1) (x 1) = (x x + 1 x + x) (x 1) =. Então tmos (x 1) f (x) > m (1, + ) por tanto côncava para cima f (x) < m (, 1) por tanto côncava para baixo.. Esboc o gráfico da função f. Solução: Figura : Gráfico d f

4 . Calcul as sguints intgrais: a (1,) 1 x + x x + x + 1 dx Solução: Fazndo u = x + x + 1 tmos qu dx = (x + x) assim 1 x + x x + x + 1 dx = u = 1 ln u 7 1 = 1 (ln 7 ) ln 1 = 1 ln 7. b. (1,) 1 + x dx. Solução: Fazndo u = 1 + x usando os método d intgração: substituição fraçõs parciais, tmos 1 u ( + x dx = u 1 = ) u 1 = u u u + 1 = u + 1 ln u 1 u c = 1 + x ln x x c.. (,) Sja F (x) = x da função F (x) para x sc (t) dt. Calcul o comprimnto d arco do gráfico [,. Solução: Plo T.F.C., F (x) = sc (x). O comprimnto d arco dsjado é dado por: L = = 1 + [F (x) dx = Usando qu tan x = sc x 1 L = tan (x) dx = 1 + sc (x) dx = = ln ln = ln = ln. 1 + [ sc (x) dx tan(x)dx = ln sc x sc (x) 1 dx. = ln sc ln sc

5 5. (,) Sja f(x) = x x dfinida m [, + ) R a rgião ditada plo gráfico da função f o ixo x. Calcul o volum do sólido grado ao s rotacionar a rgião R ao rdor do ixo y. Solução: Usando o método d cascas cilíndricas para calcular o volum, tmos qu o volum a sr calculado é: V = Pois + Int. imp. x x {}}{ dx = Int por parts {}}{ = [ 1 a x x a Int por parts {}}{ = a + a a a }{{}} x {{ dx} u dv x + }{{} x } x {{ dx} u dv [ 1 a a 1 a a + 1 a x dx [ 1 a a 1 a a 1 a x = a + [ = 1 a + a a 1 a a 1 a + 1 a + a = por L Hôspital a + a a = dx = x v = 1 x = 1 =. a + a a =.