10 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 21 a 24 de outubro, 2013

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1 10 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 21 a 24 d outubro, 2013 DIFERENCIAÇÃO COMPLEXA E AS CONDIÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN Pâmla Catarina d Sousa Brandão1, Frnando Prira Sousa2 1 Aluna do Curso d Matmática CPTL/UFMS, bolsista do Grupo PET Conxõs d Sabrs Matmática/CPTL/UFMS; Profssor do Curso d Matmática CPTL/UFMS pamla_3l_brandao@hotmailcom 2 RESUMO Nst trabalho studamos alguns concitos d Funçõs Complxas, comparamos os rsultados obtidos com o caso d funçõs rais funçõs d várias variávis O principal rsultado do nosso trabalho foi dmonstrar quais condiçõs são ncssárias suficints para qu uma função complxa sja difrnciávl, tais condiçõs são conhcidas como condiçõs d Cauchy-Rimann Para dmonstrarmos ss torma fizmos a apropriação dos concitos d funçãofunçõs xponnciais trigonométricas, limit drivada no plano complxo, bm como xmplificaçõs Palavras Chav: Funçõs Complxas, Exponncial, Cauchy-Rimann, Drivadas Parciais, Difrnciação INTRODUÇÃO O prsnt trabalho aborda assuntos d funçõs d uma variávl complxa, mais concrtamnt às funçõs xponnciais trigonométricas, limit difrnciação d funçõs complxas, no qual mostramos qu para qu uma função complxa ncssário qu as parts ral imaginária d sja difrnciávl é satisfaçam um crto sistma d quaçõs difrnciais parciais, conhcidas como quaçõs d Cauchy-Rimann O objtivo dst trabalho é aprsntar o studo do concito d função d uma variávl complxa, dando ênfas spcial ao concito d limit drivação Discutimos alguns dos rsultados mais importants da toria d funçõs complxas, m particular, dmonstramos um rsultado important qu nos dá condiçõs ncssárias para qu uma função sja difrnciávl, acrscntamos um torma qu com uma crta hipóts adicional sobr a função, a validad das quaçõs d Cauchy-Rimann é uma condição suficint para a difrnciabilidad Otrabalho é finalizado com um xmplo qu nvolv sss dois rsultados METODOLOGIA O trabalho ralizado é rsultado d um studo dtalhado, dsnvolvido através d discussõs do tma com o orintador aprsntaçõs d sminários como part das atividads do programa PET Conxõs d Sabrs Matmática UFMS/CPTL do Trabalho d Conclusão d Colloquium Exactarum, vol 5, n Espcial, Jul Dz, 2013, p ISSN: DOI: /c2013v05nsp000047

2 11 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 21 a 24 d outubro, 2013 Curso Para o dsnvolvimnto dss trabalho, fizmos o studo dtalhado dos concitos, bm como d xmplos, rlacionados com a toria dsnvolvida RESULTADOS Sjam conjuntos arbitrários Uma aplicação corrspondência qu associa a cada lmnto valor d d m é uma rgra d um único lmnto d, chamado d m Usarmos a notação para indicar qu é uma tal função O conjunto é chamado o domínio d o conjunto chamado o contradomínio d O conjunto é chamado a imagm d Quando é sobrjtiva S dizmos qu é injtiva E por fim, s smpr qu, com é, dizmos qu é injtiva sobrjtiva dizmos qu la é bijtiva Podmos scrvr uma função m trmos d sua part ral d sua part imaginária, ou sja, ond [ ] [ ] Além disso, são funçõs rais m S scrvrmos qu são funçõs d duas variávis rais: com, trmos Dntr todas as funçõs complxas, studarmos as funçõs xponnciais as trigonométricas A função xponncial é a função dada por Como, tmos qu para todo, para todo Além disso, é important dizr qu a função xponncial é uma função priódica d príodo, ou sja,, para todo D fato, Para, tmos qu mmbros dssas quaçõs obtmos, adicionando os dois, subtraindo os dois mmbrostmos Sndo assim, dfinimos a função sno a função cossno d uma variávl complxa por Colloquium Exactarum, vol 5, n Espcial, Jul Dz, 2013, p ISSN: DOI: /c2013v05nsp000047

3 12 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 21 a 24 d outubro, 2013 Sjam complxo uma função como su limit m um ponto d Dizmos qu a função s, para todo d no ponto ou xist val, xist smpr qu i Obsrv qu s xist um númro complxo único Escrvmos tm o númro tal qu qu satisfaça a dfinição acima, ntão l é quando para xprssar qu o limit A sguir, algumas propridads d limits d funçõs complxas, as dmais são análogas ao caso das funçõs rais satisfaz Suponhamos qu a função d Então, quando ii iii quando, ond é um ponto, tmos qu: Exmplo: Agora, dfinimos os concitos d difrnciabilidad drivada d funçõs complxas d uma variávl complxa, aprsntamos alguns xmplos propridads, dntr las, a rgra da cadia A drivada d uma função, complxa, no ponto m, dnotada por, é dfinida por, dsd qu ss limit xista S st for o caso, é dita difrnciávl S considrarmos, tmos, sndo assim, As propridads d limits d funçõs complxas são dmonstradas d modo análogo ao caso ral A partir daqui dixarmos d tr a imprssão qu o "cálculo difrncial complxo" é compltamnt análogo a "cálculo difrncial ral" As difrnças ntr ssas duas torias são profundas, uma primira difrnça aparc numa proposição, qu diz: para qu uma função sja difrnciávl m um ponto é ncssário qu haja uma crta compatibilidad ntr as drivadas parciais das parts ral imaginária d nss ponto, qu é dada plas quaçõs d Cauchy-Rimann Colloquium Exactarum, vol 5, n Espcial, Jul Dz, 2013, p ISSN: DOI: /c2013v05nsp000047

4 13 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 21 a 24 d outubro, 2013 Para o studo dssas condiçõs dizmos qu uma função é Holomorfa ou Analítica num domínio s é dfinida difrnciávl m todos os pontos d A função ponto m s Torma:Sja for analítica numa vizinhança d vizinhança do ponto ordm d d é dita analítica num uma função dfinida contínua m alguma difrnciávl m Então, as drivadas parciais d primira xistm satisfazm às quaçõs conhcidas como as condiçõs d Cauchy-Rimann Então, s é analítica num domínio suas drivadas parciais xistm satisfazm as quaçõs acima m todos os pontos do domínio Dm: Sabndo da dfinição d limit qu podmos usar qualqur dirção para fazr tndr a vamos scolhr dois caminhos, o primiro, o parallo ao ixo ral, ou sja, com sgundo, parallo ao ixo imaginário, d ond Para função complxa, conform na figura abaixo, o tmos [ ] Como st limit dv xistir sr o msmo por qualqur um dos caminhos, ntão, para, tmos Esss quocints são a dfinição d drivada parcial, logo Agora, para o sgundo caminho,, tmos d manira análoga, qu Ou sja, Colloquium Exactarum, vol 5, n Espcial, Jul Dz, 2013, p ISSN: DOI: /c2013v05nsp000047

5 14 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 21 a 24 d outubro, 2013 Sndo assim, ou sja, igualando as parts rais as parts imaginárias, sgu qu Por xmplo, s considrarmos a função quando Tmos qu Logo,, tmos qu, ou sja, para todo não é difrnciávl O fato das drivadas parciais d condição ncssária para qu satisfazrm as condiçõs d Cauchy-Rimann é uma sja difrnciávl num ponto, porém não é suficint O sguint torma nos da condiçõs qu são suficints para difrnciabilidad d Torma: Suponhamos qu uma função d qu as drivadas parciais sta dfinida m um conjunto abrto xistm m todo ponto d S cada uma dssas drivadas parciais é contínua m um ponto são satisfitas por Exmplo: A m, ntão difrnciávl, pois tmos para todo é difrnciávl m função d s as quaçõs d Cauchy-Rimann é, ond, como as drivadas parciais são contínuas tmos qu é difrnciávl m todos os pontos d DISCUSSÃO As condiçõs d Cauchy-Rimann nos ajuda a ntndr a difrnça ntr o studo d funçõs complxas funçõs rais, principalmnt quando studamos a difrnciabilidad d funçõs complxas As técnicas utilizadas no trabalho prmitm o dsnvolvimnto do studo d intgração complxa, prtndmos studar as aplicaçõs da intgral d Cauchy, Séris d Taylor Séris d Laurnt, qu constitum a continuidad natural da invstigação do trabalho Colloquium Exactarum, vol 5, n Espcial, Jul Dz, 2013, p ISSN: DOI: /c2013v05nsp000047

6 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 21 a 24 d outubro, CONCLUSÕES Nst trabalho abordamos alguns tópicos d funçõs d uma variávl complxacom maior nfoqu m difrnciação No studo d funçõs difrnciávis vimos qu uma função é analítica s satisfaz as condiçõs d Cauchy-Rimann suas drivadas parciais são contínuas, st fato intrssant, nos dixa claro a difrnça ntr funçõs complxas rais Finalizamos o trabalho nunciando dmonstrando o torma das Condiçõs d Cauchy- Rimann, cujo rsultado fornc condiçõs ncssárias para qu uma função d uma variávl complxa sja difrnciávl, m sguida nunciamos um torma qu com uma crta hipóts adicional sobr a função, a validad das quaçõs d Cauchy-Rimann é uma condição suficint para a difrnciabilidad O studo da difrnciabilidad d funçõs d uma variávl complxa prmitiu dsnvolvr um trabalho com concitos matmáticos qu não faz part da grad curricular do curso d Matmática-Licnciatura da UFMS/CPTL, nriqucndo mus conhcimntos sobr o assunto abordado REFERÊNCIAS 1 FERNANDES, CS; BERNARDES Jr, NC; Introdução ás Funçõs d uma Variávl Complxa2dRio d Janiro: SBM, LINS NETO, A;Funçõs d uma Variávl Complxa2dRio d Janiro: IMPA, OLIVEIRA, EC; RODRIGUES Jr, EC;Funçõs Analíticas com Aplicaçõs1dSão Paulo: Livraria da Física, 2006 Colloquium Exactarum, vol 5, n Espcial, Jul Dz, 2013, p ISSN: DOI: /c2013v05nsp000047