Caderno de Apoio 12.º ANO

Transcrição

1 METAS CURRICULARES PARA O ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A Cadrno d Apoio 12º ANO António Bivar Carlos Grosso Filip Olivira Luísa Loura Maria Clmntina Timóto

2 INTRODUÇÃO Est Cadrno d Apoio constitui um complmnto ao documnto Mtas Curriculars d Matmática do Ensino Scundário Matmática A Na laboração das Mtas Curriculars utilizou-s um formato prciso sucinto não tndo sido incluídos xmplos ilustrativos dos dscritors Nst documnto aprsntam-s várias sugstõs d xrcícios d problmas comntários rlativos a algumas opçõs tomadas no documnto principal informaçõs complmntars para os profssors Procurou-s ralçar os dscritors qu s rlacionam com contúdos capacidads atualmnt mnos trabalhados no Ensino Scundário mbora s tnham incluído também outros d modo a dar uma corência global às abordagns propostas Estas scolhas não significam porém qu s considrm mnos rlvants os dscritors não contmplados Long d s tratar d uma lista d tarfas a cumprir as atividads propostas têm um carátr indicativo podndo os profssors optar por altrnativas qu conduzam igualmnt ao cumprimnto dos objtivos spcíficos stablcidos nas mtas Aos xmplos aprsntados stão associados três nívis d dsmpnho Os qu não s ncontram assinalados com astriscos corrspondm a um nívl d dsmpnho rgular idntificando-s com um ou dois astriscos os xmplos qu corrspondm a nívis d dsmpnho progrssivamnt mais avançados Para além das sugstõs d xrcícios problmas a propor aos alunos ntndu-s incluir também txtos d apoio para os profssors Dstinam-s a sclarcr qustõs d índol cintífica qu fundamntam os contúdos do Programa qu podrão ajudar à slção das mtodologias mais adquadas à lcionação Cadrno d Apoio 12º ano Introdução Página 1

3 12º ANO Nívis d Dsmpnho Cálculo Combinatório CC12 Dscritor Txto d Apoio 11 Comntário O rconhcimnto da primira propridad rfrida nst dscritor pod sr ftuado a nívl lmntar obsrvando um diagrama d Vnn Uma dmonstração mais formal pod sr obtida por xmplo rsolvndo o xrcício sguint m qu s prtnd utilizar xplicitamnt a dfinição d inclusão as propridads conhcidas das opraçõs lógicas 1 *Dmonstr sucssivamnt os rsultados xprssos nas sguints alínas: 11 Sndo proposiçõs é quivalnt a também a 12 Dados conjuntos s somnt s s somnt s 13 O conjunto vazio stá contido m qualqur conjunto 21 Informação Complmntar para o profssor Inicia-s o objtivo gral rlativo aos factos mais lmntars da Combinatória nunciando a rlação básica ntr a noção d cardinal d um conjunto a noção d bijção fundamnto d todas as opraçõs d contagm qu constitum o Cálculo combinatório Ao dizr-s qu «dois conjuntos têm o msmo cardinal s somnt s xistir uma bijção d sobr» nuncia-s na linguagm das aplicaçõs ntr conjuntos um princípio qu é utilizado dsd qu no primiro ano d scolaridad s comçaram a introduzir os númros naturais a ftuar contagns A rlação d «quipotência» assim dfinida ntr conjuntos pod sr intrprtada como uma rlação binária num dado domínio é fácil concluir qu s trata smpr d uma rlação d quivalência é rflxiva porqu a aplicação idntidad num dado conjunto é uma bijção é simétrica porqu a invrsa d uma bijção é uma bijção é transitiva uma vz qu a composição d bijçõs é uma bijção; cada class d quivalência para uma dssas rlaçõs num domínio pré-fixado é constituída por conjuntos qu por dfinição têm todos o msmo cardinal Not-s qu nunca dfinimos concrtamnt o qu é o cardinal d um conjunto nst dscritor apnas s formaliza finalmnt o qu significa dois conjuntos trm o msmo cardinal mbora sta idia como foi rfrido já vnha a sr utilizada na prática d forma intuitiva dsd o início do 1º ciclo do nsino básico S foss possívl considrar o conjunto d todos os conjuntos podríamos idntificar o cardinal d um dado conjunto como a class d quivalência d para a rlação d quipotência dfinida para todos os conjuntos; foi ssa a tntativa d formalização da aritmética qu stv subjacnt a uma primira vrsão dos Principia Mathmatica d Alfrd North Whithad Brtrand Russl obra publicada m três volums ntr Pouco ants da publicação do primiro volum Russl aprcbu-s da incongruência lógica da toria ingénua dos conjuntos basada na obra antrior d Gottlob Frg subjacnt a sta dfinição ao dscobrir o célbr paradoxo a qu du o nom cf Cadrno d Apoio 10º ano txto d apoio ao dscritor LTC10-21 também concrtizado no conhcido paradoxo do barbiro Ainda a tmpo a obra foi rmodlada com a introdução da toria dos tipos lógicos com a qual s procurou ultrapassar as dificuldads inrnts ao paradoxo d Russl Cadrno d Apoio CC12 Página 2

4 Outra possibilidad adotada m algumas das atuais torias dos fundamntos da Matmática consist m comçar por considrar a rlação d quipotência como uma condição com duas variávis mbora não xista o conjunto dos pars ordnados qu satisfazm ssa condição caso contrário xistiria por xmplo o conjunto das rsptivas primiras coordnadas qu sria o conjunto d todos os conjuntos Dado um conjunto qualqur o cardinal d é ntão dfinido a partir da condição m «é quipotnt a» aplicando-lh o chamado símbolo d scolha d Hilbrt muitas vzs rprsntado pla ltra grga com a variávl da condição m índic cujo rsultado intuitivamnt consist m scolhr ou sja fixar d uma vz por todas um dos objtos qu satisfaz a condição a qu s aplica o rfrido símbolo s a condição for possívl ou m crtas formulaçõs um objto sm qualqur rstrição s a condição for impossívl Assim por dfinição tríamos: Os númros naturais nst quadro podm ntão sr dfinidos simplsmnt como os cardinais dos conjuntos finitos não vazios o númro como o cardinal do conjunto vazio dfinindo-s conjunto finito como um conjunto qu não é quipotnt a uma sua part strita o conjunto dos númros naturais d acordo com sta dfinição é d facto infinito ou sja não é finito já qu por xmplo é quipotnt ao conjunto dos númros pars Not-s qu com sta formulação uma vz qu o único conjunto quipotnt ao conjunto vazio é o próprio conjunto vazio como facilmnt s prova tmos msmo: No qu diz rspito aos rsultados básicos da combinatória importa assinalar qu o procsso gral para contar o númro d lmntos d dtrminado conjunto é stablcr uma corrspondência biunívoca ou sja dfinir uma bijção ntr o conjunto qu s prtnd contar um conjunto cujo cardinal é d algum modo já conhcido Trata-s muito simplsmnt d uma xtnsão natural dos procssos mais lmntars d contagm qu utilizam para conjuntos-padrão por xmplo os ddos das mãos ou a lista dos noms dos númros qu s obtêm pla mmorização d um conjunto d palavras-bas d rgras d formação dos noms dos númros conscutivos a partir dssas palavras ou ainda as rsptivas rprsntaçõs simbólicas utilizando um dado sistma d numração 22 Informação Complmntar para o profssor Uma vz qu a adição d númros naturais foi introduzida num nívl muito lmntar d scolaridad d facto logo no 1º ano do Ensino Básico portanto ncssariamnt d modo informal ainda qu traduzindo as caractrísticas ssnciais dsta opração st dscritor pod considrar-s como uma possívl dfinição rigorosa d adição até para quaisqur cardinais mbora aqui nos intrssm particularmnt os finitos ou sja os qu s idntificam com númros naturais ou com o zro Com fito dados dois quaisqur conjuntos é fácil dfinir conjuntos rsptivamnt quipotnts a a mas agora garantidamnt { } { }; assim a com intrsção vazia bastando por xmplo tomar igualdad quando lida da dirita para a squrda pod sr intrprtada como uma dfinição d soma do cardinal d com o cardinal d portanto s m particular form finitos da não soma d dois númros intiros não ngativos Com fito é fácil vrificar qu dpnd da scolha dos conjuntos dsd qu s mantnham as propridads d srm rsptivamnt quipotnts a a d trm intrsção vazia Cadrno d Apoio CC12 Página 3

5 23 Comntário Tal como a adição também a multiplicação d númros naturais foi introduzida logo na fas inicial do 1º ciclo do Ensino Básico no 2º ano aprsntando-s ssncialmnt dois procssos para s obtr o produto d um númro natural por um númro natural : considrar a soma d parclas iguais a ou considrar o númro d pars qu s podm formar scolhndo um dos lmntos do par num conjunto com lmntos o sgundo num conjunto disjunto do primiro com lmntos cf Mtas curriculars d Matmática para o Ensino Básico NO No programa do 2º ano d scolaridad cf Mtas curriculars d Matmática para o Ensino Básico NO2-75 considrou-s a disposição numa malha rtangular d um crto númro d objtos mostrando-s qu ss númro pod sr calculado como o produto por qualqur ordm do númro d linhas plo númro d colunas; do msmo modo cada um dos nós dssa malha pod rprsntar um par formado por um objto associado à coluna por um objto associado à linha qu s intrstam nss nó Nssa fas considraram-s conjuntos disjuntos para s ftuarm os mparlhamntos por não s dispor ainda da noção d par ordnado plo qu os pars aqui rfridos ram apnas ntndidos como conjuntos com dois lmntos qu podiam assim sr matrializados pla conjugação com algum objtivo prático d dois objtos distintos por xmplo conjuntos calça-camisola Assim com stas obsrvaçõs lmntars chgou-s à noção d produto d númros naturais à rsptiva utilização para contagns d conjuntos d pars qu podm agora sr assimilados a conjuntos d pars ordnados associando à primira posição do par ordnado um dos conjuntos m qu s scolhm os objtos a mparlhar a sgunda posição ao outro conjunto Podmos portanto agora traduzir os rsultados a qu s chgou nssa fas inicial do Ensino Básico dizndo qu o cardinal do produto cartsiano é igual ao produto dos cardinais dos conjuntos fators Esta última assrção pod msmo sr tomada como dfinição do produto d cardinais finitos ou infinitos; nss caso nada havria a provar quanto ao rsultado xprsso no dscritor 23 qu sria o caso particular da dfinição gral d produto d cardinais m qu os conjuntos são finitos não vazios No ntanto considrando a dfinição usual algébrica d produto d númros naturais acima rfrida ou sja como a soma d parclas iguais a idntificando-s uma soma com uma parcla com a própria parcla há qu dmonstrar o qu foi informalmnt justificado no 1º ciclo do Ensino Básico a sabr qu dados conjuntos finitos s ntão Para o fito podmos agora utilizar o Princípio d indução matmática propridads lmntars da adição d númros naturais a própria dfinição d produto pod sr formalizada plo método d rcorrência caso não s disponha prviamnt d uma dfinição rigorosa d soma d parclas a qual também podria sr dada por rcorrência Com fito fixado o rsultado é trivial para já qu nss caso por dfinição considrando um conjunto unitário i com xatamnt um lmnto { } um conjunto qualqur é imdiato qu os conjuntos são quipotnts d pois é obviamnt uma bijção a aplicação d m qu ao par associa o lmnto d Cadrno d Apoio CC12 Página 4

6 Para provar qu a propridad é hrditária suponhamos qu val para conjuntos finitos tais qu provmos qu nss caso val também para quaisqur conjuntos tais qu Para isso dados conjuntos nssas { }; é óbvio qu { } condiçõs fixmos um lmnto qualqur d sja { } { } qu plo qu portanto Podmos assim aplicar a hipóts d indução aos conjuntos obtmos: { } { } ond s utilizou o facto vidnt porqu não é lmnto d { } { } nnhum par pod star m Nsta dmonstração utilizou-s m particular o rsultado xprsso no dscritor 15 qu é consquência imdiata das propridads distributivas da disjunção m rlação à conjunção da conjunção m rlação à disjunção Esta propridad pod naturalmnt stndr-s a um qualqur númro d fators Com fito comçando por três fators: Além disso podmos rprsntar por idntificando cada lmnto com o lmnto d Utilizando uma dfinição d por rcorrência do produto cartsiano d conjuntos podria dpois dmonstrar-s facilmnt por indução o rsultado gral para o cardinal dss produto cartsiano: 24 Comntário O rsultado xprsso no dscritor 24 lva a qu s utiliz a notação para rprsntar o conjunto das aplicaçõs do conjunto no conjunto Est concito também s pod rlacionar com o d produto cartsiano; com fito o produto cartsiano d conjuntos noção rfrida no final do txto d apoio ao dscritor 23 pod idntificar-s com o conjunto das squências para todo o com sta tais qu dfinição s os conjuntos para coincidirm todos com dtrminado conjunto ntão podmos scrvr: { } } m qu são xatamnt as já qu st último símbolo rprsnta as aplicaçõs d { { } squências acaba por rprsntar o produto d lmntos d Assim cartsiano itrado d fators iguais a qu podria naturalmnt também sr rprsntado pla potência cartsiana Esta idntificação já prmit rconhcr o rsultado xprsso nst dscritor como caso particular da xtnsão a fators do rsultado xprsso no dscritor 23 também rfrida no final do txto d apoio a ss dscritor Cadrno d Apoio CC12 Página 5

7 Mais gralmnt dado um conjunto pod introduzir-s a xprssão família indiciada m como outro modo d dsignar os gráficos das aplicaçõs com domínio pod rprsntar-s uma tal família com uma notação smlhant à das squências ou sucssõs ou sja por a imagm d pla rfrida função Assim dada uma família d conjuntos sndo podmos dfinir o produto cartsiano da família com sndo o conjunto: { } Dst modo no caso particular m qu os são todos iguais a dtrminado conjunto a notação rprsnta corntmnt o produto cartsiano d uma família indiciada m constantmnt igual a Aprsntam-s m sguida xmplos d xrcícios qu também podm sr utilizados para o rconhcimnto da propridad xprssa nst dscritor com difrnts nívis d gnralidad profundidad nas abordagns 1 Cont quantas squências difrnts s podm formar insrindo 4 missangas num fio sabndo qu as missangas têm 3 cors possívis: vrmlho vrd azul } conjunto d chgada { } 2 Considr todas as possívis funçõs d domínio { 21 Rprsnt-as por diagramas d stas Mostr qu o númro dstas funçõs pod sr scrito na forma d uma potência d bas xpont natural 22 Rprsnt-as utilizando a notação habitual das squências 23 Construa uma bijção do produto cartsiano { } { } { } sobr o conjunto dstas funçõs 24 *Gnralizando o procsso utilizado na alína antrior mostr qu dados númros naturais xistm funçõs d domínio { } d conjunto d chgada { } ou sja } squências d lmntos com valors m { 25 *Justifiqu qu dados objtos xistm xatamnt formas distintas d ftuar xtraçõs sucssivas d um dsss objtos rpondo o objto scolhido após cada uma das xtraçõs 3 **Fixado um númro natural prov por indução matmática m qu para todo o númro natural xistm xatamnt funçõs d domínio num dado conjunto com lmntos d conjunto d chgada com lmntos conclua qu dados objtos xistm xatamnt formas distintas d ftuar xtraçõs sucssivas d um dsss objtos rpondo o objto scolhido após cada uma das xtraçõs 25 1 Considr um conjunto { } com lmntos 11 Dtrmin m xtnsão todas as parts não vazias d Quantos subconjuntos tm? 12 Mostr qu s obtêm todas as parts d associando a cada squência d trmos iguais a ou a o subconjunto d constituído plos lmntos tais associa-s o conjunto { qu por xmplo à squência } 13 Justifiqu qu xistm xatamnt squências das rfridas na alína antrior sm as construir xplicitamnt; compar o rsultado obtido com o rsultado da alína Utilizando argumntos inspirados nas duas alínas antriors justifiqu qu s um conjunto tivr lmntos ntão tm lmntos Cadrno d Apoio CC12 Página 6

8 2 *Prov por indução qu para qualqur subconjuntos um conjunto com lmntos tm 3 Considr um conjunto qualqur sja o conjunto das parts d 31 **Mostr qu é bijtiva a aplicação d no conjunto das aplicaçõs d m { } qu a cada { } tal qu para cada associa a aplicação : { 32 *Atndndo à alína antrior justifiqu qu s ntão tm lmntos tivr lmntos Informação Complmntar para o profssor O rsultado xprsso na alína 31 acima mostra qu para qualqur conjunto finito ou { } ond { } rprsnta o conjunto das aplicaçõs do conjunto infinito m { } Ora podmos stndr a noção d potência a cardinais não ncssariamnt finitos tomando por dfinição: dmonstra-s qu sta dfinição é cornt ou sja não dpnd da scolha dos conjuntos mas apnas dos rsptivos cardinais pois é fácil construir uma bijção ntr dsd qu sjam dadas bijçõs rsptivamnt ntr ntr Então podmos dizr qu para qualqur conjunto { } Não é difícil concluir qu não é nunca quipotnt a ; s stndrmos a todos os cardinais a rlação d ordm lata dos númros naturais considrando qu s for quipotnt a uma part d é óbvio qu já qu é obviamnt quipotnt à part d constituída plos subconjuntos d com um único lmnto Assim s provarmos qu trmos smpr como consquência podmos concluir qu não há um cardinal maior ou igual a todos os outros xist smpr um cardinal stritamnt suprior a um dado cardinal Para provarmos qu um conjunto não pod sr quipotnt a basta provar qu não pod xistir nnhuma aplicação sobrjtiva d sobr ; com fito dada uma aplicação { } é um podmos facilmnt concluir qu o conjunto lmnto d qu não stá no contradomínio d D facto s xistiss tal qu por dfinição d tríamos s tivéssmos plo qu ssa hipóts conduz a uma contradição A xistir um tal rsta ntão apnas a hipóts d s tr mas nss caso mais uma vz por dfinição d tríamos ou sja nova contradição qu mostra finalmnt qu não pod xistir um tal ou sja não pod star no contradomínio d Portanto não pod sr sobrjtiva: não xistm aplicaçõs sobrjtivas d sobr Comntário A dfinição d pod sr dada por rcorrência caso não s disponha prviamnt d uma dfinição rigorosa do produto d fators nst caso particular rprsntado por dfinição ssa qu vidntmnt também pod sr dada por rcorrência no caso gral Nst caso podmos simplsmnt aprsntar ssa dfinição nglobando os casos tratados nos dscritors através d: Cadrno d Apoio CC12 Página 7

9 tnha lugar Tal como stá xprsso no dscritor 27 para qu a igualdad também para obviamnt trmos forçosamnt ou sja a dfinição dada d é a única qu prmit mantr aqula igualdad também nss caso Qu é o númro d prmutaçõs d lmntos pod dmonstrar-s por indução ou d modo mais informal notando qu para dfinir uma prmutação d lmntos podmos simplsmnt numrar os sucssivos trmos da rfrida prmutação os quais por dfinição dvm sr dois a dois distintos plo qu há hipótss distintas para a scolha do primiro trmo m sguida sobram apnas hipótss para a scolha do sgundo plo qu no scolhas possívis para os dois primiros trmos da prmutação D modo total há scolhas possívis para os três primiros trmos da prmutação análogo há prossguindo st raciocínio concluímos qu há xatamnt scolhas possívis para os trmos da prmutação ou sja há xatamnt prmutaçõs d lmntos Informação Complmntar para o profssor Embora a utilização do método d rcorrência para dfinir a sucssão m sja apnas utilizámos o intuitivamnt fácil d acitar uma vz qu para dfinir conhcimnto prssuposto da msma xprssão para a ordm antrior m lugar d o próprio númro s atndrmos à formulação dss método aprsntada m SUC1132 a tradução do princípio gral nunciado nss dscritor para st caso particular d dfinição por rcorrência não é tão dirta como pod parcr à primira vista Com fito uma a partir d vz qu a dfinição d nvolv o produto por a função utilizada nsta dfinição por rcorrência não pod aplicar-s simplsmnt a pois nss caso a dfinição do próprio dpndria também d ou sja prcisaríamos d uma sucssão d funçõs não apnas d uma função Uma solução é considrar ond no fundo é um modo d rprsntar a sucssão para cada d funçõs dada por através d apnas uma função; assim podmos dfinir por rcorrência m primiro lugar a sucssão d por: pars ordnados Agora por dfinição 28 Comntário Trata-s aqui d gnralizar o rsultado do dscritor 26 no sntido m qu s prtnd contar o númro d amostras ordnadas com lmntos distintos qu é possívl rcolhr d um conjunto com lmntos nquanto no dscritor 26 s considrou apnas o caso já qu rcolhr sucssivamnt todos os lmntos d um dado conjunto corrspond a considrar uma ordnação particular dss conjunto ou sja o qu s dsignou por uma prmutação Um raciocínio informal como o qu foi sugrido no txto d apoio ao rfrido dscritor 26 pod sr utilizado também para obtr o rsultado xprsso nst dscritor: o Cadrno d Apoio CC12 Página 8

10 primiro trmo d uma sucssão particular d lmntos distintos d dtrminado conjunto com lmntos pod sr scolhido d maniras distintas m sguida sobram apnas maniras objtos para scolhr como sgundo lmnto ou sja há no total distintas d scolhr os dois primiros lmntos da sucssão rproduzindo st raciocínio até s chgar ao trmo d ordm da sucssão havrá no total maniras d scolhr todos os trmos d uma tal sucssão quando s vai fazr a -ésima scolha já só sobram lmntos no conjunto já qu s fizram prviamnt scolhas númro qu pod vidntmnt sr rprsntado por Aprsntam-s m sguida xmplos d xrcícios qu também podm sr utilizados para um rconhcimnto dsta propridad com divrsos nívis d profundidad gnralidad 1 Dz atltas vão fazr uma corrida Cont d quantas maniras difrnts s podrão colocar três dls no pódio 2 *Considr todas as possívis funçõs injtivas d domínio { } conjunto d chgada { } squências d dois lmntos distintos do conjunto { } 21 Rprsnt-as utilizando a notação habitual das squências Para cada scolha do primiro trmo d uma dssas squências quantas scolhas possívis sobram para o sgundo trmo? 22 *Gnralizando o rsultado da alína antrior mostr qu dados númros naturais funçõs injtivas d domínio xistm { } d conjunto d chgada { } ou sja } lmntos com valors dois a dois distintos m { 23 Justifiqu qu dados objtos xistm xatamnt squências d formas distintas d ftuar xtraçõs sucssivas d um dsss objtos sm rposição do objto scolhido após cada uma das xtraçõs 3 **Fixado um númro natural prov por indução matmática m qu para todo o númro natural xistm xatamnt funçõs injtivas d domínio num dado conjunto com lmntos d conjunto d chgada com lmntos conclua qu dados objtos xistm xatamnt formas distintas d ftuar xtraçõs sucssivas d um dsss objtos sm rposição do objto scolhido após cada uma das xtraçõs 29 Comntário A justificação pdida pod muito simplsmnt rsultar da obsrvação sgundo a qual os subconjuntos com lmntos d um conjunto com lmntos podm sr ncarados como os contradomínios das funçõs injtivas d { } m Com fito tais contradomínios têm lmntos para qualqur subconjunto com lmntos d xist por dfinição uma bijção d { } sobr qu vidntmnt dtrmina uma função injtiva d { } m com o msmo gráfico Esta obsrvação pod sr formulada numa linguagm mais intuitiva m trmos d squências qu é outro modo d dsignar as funçõs d domínio { } para um dado númro natural ; ou sja o qu acabámos d vrificar pod xprimir-s dizndo qu um subconjunto d com lmntos é xatamnt o conjunto dos trmos d uma squência d lmntos distintos d Estas squências são o qu s chama arranjos sm rptição d lmntos a d acordo com o dscritor 28 sndo os lmntos scolhidos m Cadrno d Apoio CC12 Página 9

11 Ora as funçõs injtivas d { } m d contradomínio ou sja as squências d lmntos com valors m com um dado conjunto d trmos distintos podm sr todas obtidas d uma dlas compondo-a com as difrnts prmutaçõs do conjunto { } Com fito dadas duas dssas funçõs injtivas considrando as bijçõs qu dtrminam d { } sobr a composta da invrsa d uma com a outra é vidntmnt uma prmutação d { }; são portanto m númro d Por outras palavras novamnt numa linguagm mais intuitiva podmos obsrvar qu para cada subconjunto { } d com lmntos xistm xatamnt squências tais qu { } { } cada uma dlas rsultant d uma prmutação dos trmos da squência : cada subconjunto com lmntos d pod associar-s aos arranjos sm rptição formados com sss lmntos Assim para s obtr o númro d subconjuntos d com lmntos basta dividir por o númro total d squências d trmos distintos d lmntos d arranjos sm rptição dos lmntos d a qu sabmos sr d acordo com o rsultado xprsso no dscritor 28 ou sja obtmos No caso m qu o único subconjunto d m qustão é o vazio também nss caso obtmos o rsultado prtndido pois Not-s qu também s provou indirtamnt qu é um númro natural o qu pod não parcr claro à partida Exprima cada uma das sguints somas algébricas como uma única fração simplifiqu-a tanto quanto possívl para 15 númro natural para para 2 Justifiqu qu 3 Prov para númro natural númro natural suprior a 1 é um númro natural númros naturais tais qu qu é múltiplo d 4 Dtrmin para qu valor natural d s vrifica: 42 ** 1 Considr a xpriência d rpartir um baralho d cartas plo João pla Joana Ao João dão-s cartas a Joana fica com as rstants 11 Quantos conjuntos difrnts d cartas pod o João rcbr? 12 Quantos conjuntos difrnts pod a Joana rcbr? 13 Justifiqu qu as duas alínas antriors têm o msmo rsultado traduza ssa igualdad usando combinaçõs Cadrno d Apoio CC12 Página 10

12 2 Prov qu dados númros naturais d dois modos distintos: 21 Establcndo uma corrspondência um a um ntr os subconjuntos com lmntos os subconjuntos com lmntos d um dado conjunto com lmntos 22 Através da fórmula qu prmit calcular cada um dos mmbros da igualdad 33 1 Considr um baralho d cartas 11 Dtrmin quantos conjuntos d cartas s podm constituir 12 Dtrmin quantos conjuntos d cartas têm o Ri d Copas 13 Dtrmin quantos conjuntos d cartas não têm o Ri d Copas 14 Justifiqu sm ftuar xplicitamnt os cálculos qu o rsultado obtido na alína 11 é igual à soma dos rsultados obtidos nas alínas traduza ssa igualdad usando combinaçõs 2 Prov qu dados númros naturais por dois procssos distintos: 21 *Rcordando qu é o númro d subconjuntos com lmntos d um conjunto com lmntos intrprtando o sgundo mmbro da igualdad qu s prtnd provar como o cardinal d uma união d conjuntos disjuntos qu s pod pôr m corrspondência biunívoca com o conjunto das parts com lmntos d um conjunto com lmntos 22 Utilizando as fórmulas qu prmitm calcular o valor d cada uma das xprssõs qu intrvêm na igualdad a provar como funçõs racionais d fatoriais d númros conhcidos no sgundo mmbro rduzindo ao msmo dnominador as fraçõs assim obtidas 34 Comntário Est rsultado pod sr dmonstrado por indução mas também s pod obtr xaminando as da propridad distributiva da difrnts parclas qu ocorrm por aplicação a multiplicação m rlação à adição ou mais propriamnt a dfinição do produto d polinómios aqui xprsso na forma d potência Com fito aplicando sta propridad ou dfinição a ss produto d fators obtêm-s parclas m qu o fator pod ocorrr ntr vzs; obviamnt quando o fator ocorr vzs tm d ocorrr vzs pois no total cada parcla rsultant d s aplicar a propridad distributiva corrspond ao produto d fators cada um dls igual a ou a Basta-nos agora contar o númro d parclas iguais a para cada ; numrando d até os fators iguais do produto inicial obtém-s cada uma das parclas corrspondnts a dtrminado scolhndo dos númros naturais d até tomando dos corrspondnts fators o valor dos rstants o valor para ftuando o produto dos fators assim fixados obtr uma das parclas rsultants da aplicação da propridad distributiva Ora o númro d maniras distintas d scolhr dos númros naturais d até é por dfinição plo qu é ss o númro d parclas iguais a qu s obtêm aplicando a propridad distributiva a Portanto d facto: igualdad qu vidntmnt implica a sguint pla comutatividad gnralizada da adição ou mais propriamnt pla noção d igualdad d polinómios no sntido m qu admitm uma msma forma rduzida: Cadrno d Apoio CC12 Página 11

13 Aprsntam-s m sguida xmplos d xrcícios qu podm sr propostos aos alunos para rconhcrm a validad do binómio d Nwton tanto m casos particulars como no caso gral 1 Considr os polinómios nas variávis 11 Dtrmin formas rduzidas dos polinómios 12 Indiqu os valors d na sguint xprssão d modo qu s torn numa igualdad vrdadira ntr polinómios: 13 Escrva as formas rduzidas obtidas para m 11 na forma d somatório 14 Dtrmin uma forma rduzida para o polinómio nas variávis scrva-a também na forma d somatório Utilizando a dfinição d 2 *Considr o polinómio nas variávis produto d polinómios prtnd-s obtr uma forma rduzida dst polinómio; para o fito rsolva as sguints qustõs justificando todas as rspostas: 21 Ao aplicar-s sucssivamnt a dfinição d produto d polinómios ao produto d fators iguais a no rsultado final qual é o grau d cada monómio parcla do polinómio produto? 22 Quais os valors possívis para na xprssão part litral d um dos monómios? Para cada um dsss valors d qu parclas d uma forma rduzida d valors pod tr? ou sja 23 Numrando d até os fators do produto rprsntado por } com os trmos todos iguais a considrando a squência indiciada m { { } xist uma corrspondência biunívoca ntr os mostr qu para cada } as parclas da forma subconjuntos com lmntos d { qu rsultam da aplicação da dfinição d produto d polinómios a 24 Conclua das alínas antriors qu s obtêm formas rduzidas do polinómio xprssas nas igualdads: 3 ** Prov por indução qu: 41 1 Considr subconjuntos d um conjunto Simplifiqu as sguints xprssõs nomando as propridads aplicadas *[ ] Cadrno d Apoio CC12 Página 12

14 2 Indiqu justificando para cada uma das sguints igualdads s é vrdadira para quaisqur conjuntos subconjuntos d um dado conjunto caso contrário aprsnt um contraxmplo Um conjunto tm lmntos Dtrmin o númro d subconjuntos qu pod dfinir a partir dst conjunto qu tnham: 31 lmntos; 32 lmntos; 33 lmntos 4 Sis jovns a Ana a Batriz o Carlos a Dália o Eduardo a Filipa vão concorrr a um sortio d sis viagns a sabr a Barclona Brlim Londrs Madrid Paris Roma Supondo qu cada jovm vai ganhar uma viagm d quantas maniras difrnts pod rsultar st sortio? 5 Os alunos d uma turma vão participar num tornio d andbol d cinco sndo distribuídos por cinco quipas idntificadas plas ltras D quantas maniras difrnts podrá sr fita a distribuição dos alunos plas quipas? 6 Lançou-s um dado cúbico com as facs numradas d a um dado octaédrico com as facs numradas d a rgistaram-s os númros das facs qu ficaram voltadas para cima Idntifiqu o númro d rsultados possívis para sta xpriência 7 *Um conjunto tm lmntos? subconjuntos Quantos dsss subconjuntos tm xatamnt 8 **Justifiqu sm utilizar o Princípio d indução matmática qu upas 42 1 Dtrmin quantos códigos d qualqur qu sja algarismos é possívl formar 2 Um código é formado por st caractrs dos quais quatro têm d sr algarismos três têm d sr vogais Quantos códigos difrnts é possívl formar tais qu: 21 os algarismos as vogais sjam dispostos d forma altrnada? 22 os símbolos iniciais finais sjam algarismos as vogais stjam juntas? 23 as vogais fiqum nos lugars cntrais os algarismos sjam todos ímpars? 24 *haja unicamnt dois algarismos iguais a? 25 *não haja qualqur rstrição à forma como s dispõm? 3 Utilizando os algarismos do conjunto { algarismos é possívl formar d modo qu: 31 tnham xatamnt dois algarismos iguais a? 32 os númros sjam múltiplos d? 33 *o produto dos algarismos sja um númro par? } quantos númros d três 4 **D quantas maniras s podm colocar 6 fichas distintas m 9 caixas podndo havr mais do qu uma ficha por caixa mas não mais d quatro m cada caixa? Cadrno d Apoio CC12 Página 13

15 5 Foram xtraídas sucssivamnt com rposição quatro cartas d um baralho d Dtrmin d quantas maniras difrnts é possívl obtr: 51 por sta ordm um ás duas figuras um númro suprior a 52 primiro duas cartas vrmlhas dpois duas cartas d spadas 53 um ri três cartas prtas não ncssariamnt por sta ordm { 6 Considr o conjunto difrnts é possívl formar qu sjam: 61 supriors a? 62 pars? 63 múltiplos d? 64 *infriors a? cartas } Quantos númros d quatro algarismos 7 A turma da Batriz tm alunos dos quais são rapazs D quantas maniras difrnts pod rsultar a lição do dlgado subdlgado d turma s: 71 O dlgado for rapariga o subdlgado for rapaz? 72 O dlgado o subdlgado form do msmo sxo? 73 A Batriz for lita? 8 Um saco contém st cartõs indistinguívis ao tato numrados d a Foram xtraídos sm rposição três cartõs dispostos por ordm formando um númro 81 Quantos númros é possívl formar? 82 Dos númros qu é possívl formar quantos a têm dois algarismos pars? b são ímpars? 9 Duas pratliras stão vazias cada uma tm spaço para 12 livros D quantas maniras difrnts é possívl dispor 16 livros nas duas pratliras d forma qu fiqum juntos ncostados a um dos xtrmos da pratlira 91 *oito m cada pratlira? 92 *dz numa pratlira sis na outra? 10 *Num dbat participam pssoas havndo dois rprsntants por cada uma das quatro organizaçõs convidadas D quantas maniras s podm dispor numa msa quadrada s o modrador ficar num dos lados os participants m lados opostos d modo qu os lmntos da msma organização fiqum juntos haja o msmo númro d pssoas m ambos os lados? 11 Uma squência d ltras diz-s um «anagrama» d uma outra s o númro d ocorrências d qualqur ltra for igual m ambas Quantos anagramas xistm da palavra margarida? 12 Considr todos os númros qu s podm obtr altrando a ordm dos algarismos do númro 121 Quantos númros é possívl formar? 122 Quantos dsss númros são ímpars? 13 **Dz livros d Matmática cinco d Física vão sr dispostos lado a lado numa pratlira D quantas formas distintas s podrão arrumar os livros d modo qu não fiqum dois livros d Física lado a lado? 14 D quantas maniras difrnts podm lugars disponívis? Cadrno d Apoio CC12 automóvis sr arrumados num parqu com Página 14

16 15 Considr os pontos distintos prtncnts a uma circunfrência Quantas cordas xistm com xtrmos nsts pontos? 16 Numa glataria há oito sabors difrnts sndo cinco sabors d fruta ainda sabor a café a chocolat a amêndoa D quantas maniras é possívl scolhr três sabors difrnts para um copo s: 162 não houvr qualqur rstrição? 163 unicamnt dois dos sabors form d fruta? 164 plo mnos um dos sabors for d fruta? 165 o sabor a café a kiwi não form pdidos simultanamnt? 166 os sabors a café a amêndoa form smpr pdidos m conjunto? 17 D quantas maniras é possívl slcionar cinco cartas d um baralho d 52 cartas d forma qu: 172 quatro sjam figuras uma sja ás? 173 *duas sjam figuras três sjam cartas d spadas? 18 Quantos divisors naturais tm o númro? 19 Considr um prisma hxagonal rto 192 *Quantas rtas distintas passam por dois vértics do prisma não contêm qualqur arsta do prisma? 193 Das rtas idntificadas na alína antrior quantas são parallas às bass? 194 Um vértic d uma bas dois vértics da outra bas são vértics d um msmo triângulo a *Quantos dsss triângulos xistm? b **Dsss triângulos quantos são rtângulos? 195 *Prtnd-s pintar as facs do prisma d modo qu duas facs com arstas comuns não tnham a msma cor Sabndo qu xistm sis cors disponívis d quantas maniras difrnts é possívl pintar o prisma? B 20 Quantos caminhos xistm sguindo as linhas da quadrícula qu ligum o ponto ao ponto passando por sm andar da dirita para a C squrda nm d cima para baixo? A 43 1 Dtrmin os valors possívis d tais qu 2 O sxto o sétimo lmntos d uma linha do triângulo d Pascal são iguais Qual é o lmnto cntral da linha sguint? 3 Dtrmin sabndo qu 4 *Sabndo qu dados númros naturais qu Cadrno d Apoio CC12 dtrmin qu qu Página 15

17 5 Sab-s qu Dtrmin: * 6 Dtrmin o dsnvolvimnto das sguints xprssõs utilizando a fórmula do binómio d Nwton simplificando tanto quanto possívl cada uma das parclas assim obtidas Dtrmin para o 6º trmo do dsnvolvimnto plo binómio d Nwton d cada uma das sguints xprssõs aprsnt-o na forma mais simplificada * 8 *Considr a sguint xprssão Dtrmin rlativamnt ao dsnvolvimnto d plo Binómio d Nwton o trmo: 81 indpndnt d 82 d grau 3 9 Utilizando o dsnvolvimnto do binómio d Nwton dtrmin o valor d cada uma das sguints xprssõs ond é um númro natural **Dtrmin a soma dos coficints dos trmos d uma forma rduzida do polinómio utilizando o Binómio d Nwton Cadrno d Apoio CC12 Página 16

18 Probabilidads PRB12 Dscritor Txto d Apoio Informação Complmntar para o profssor No Programa optou-s por dfinir a função probabilidad m com finito não numa álgbra d subconjuntos d um conjunto gnérico com o objtivo d fazr incidir a atnção dos alunos no novo nt matmático probabilidad vitando a introdução m simultâno d mais uma outra noção álgbra d conjuntos qu pouco dsnvolvimnto podrá tr num programa qu não inclui o tópico d struturas algébricas No ntanto m turmas mais intrssadas não srá d dscurar uma discussão qu lv à construção d domínios mais variados para a probabilidad partindo por xmplo do mnor possívl xaminando d qu maniras pod sr progrssivamnt stndido D facto uma vz qu intrssa qu sja possívl formular dtrminadas propridads subjacnts ao concito intuitivo d probabilidad para disjuntos facilmnt s mostra qu dado um conjunto univrso d rsultados o mais pquno domínio ond srá razoávl dfinir uma probabilidad é a class d conjuntos A { } S dos subconjuntos d só s conhcr ou só intrssar a probabilidad d um crto acontcimnto distinto d d } Pod-s ntão pdir aos ntão bastará tomar como domínio d a class A { alunos qu justifiqum qu o mais pquno domínio admissívl para uma probabilidad qu contém dois subconjuntos d distintos ntr si distintos d d é: A { } Ou sja para além dos complmntars ao domínio d trão também d prtncr todas as uniõs intrsçõs d quaisqur dois conjuntos qu prtnçam a A atndndo às Lis d D Morgan para conjuntos basta xigir qu A contnha para além d o complmntar d cada conjunto d A a união d cada dois conjuntos d A ou m altrnativa o complmntar d cada conjunto d A a intrsção d cada dois conjuntos d A No caso m qu o conjunto é infinito podrá concbr-s a possibilidad d dtrminada class A contndo uma infinidad d subconjuntos d constituir o domínio d uma função d probabilidad mas nss caso as condiçõs a qu A dv satisfazr as próprias propridads caractrísticas d uma tal função d probabilidad são mais rstritivas do qu as impostas a uma probabilidad no caso m qu A é finito Nss caso para além d complmntars uniõs intrsçõs d famílias finitas d conjuntos d A prtndmos qu sja smpr possívl ftuar uniõs intrsçõs d famílias numrávis d tais conjuntos para qu A sja o qu s dsigna por «-álgbra d subconjuntos d» Além disso xig-s para além das propridads habituais caractrísticas das funçõs d probabilidad no caso finito uma propridad d qu no caso infinito não s pod dduzir das rstants Prtnd-s qu sja possívl calcular a probabilidad d um conjunto união d uma cadia numrávl crscnt d conjuntos d A por passagm ao limit da sucssão d probabilidads dos lmntos da cadia o qu s chama a continuidad d A conjunção dsta propridad com a aditividad qu já s impunha a uma probabilidad no caso finito é quivalnt à chamada -aditividad qu consist m prssupor qu a probabilidad da união d uma família numrávl d acontcimntos dois a Cadrno d Apoio PRB12 Página 17

19 dois incompatívis pod sr calculada ftuando a soma das probabilidads dsss acontcimntos ntndndo-s sta soma d uma infinidad d parclas qu é o qu chama a soma d uma séri como o limit da sucssão cujo trmo gral é a soma das probabilidads dos primiros acontcimntos da família prviamnt ordnados d modo arbitrário 31 1 O código d um cofr é formado por vogais sguidas d algarismos Slcionando um código dst tipo ao acaso qual a probabilidad d tr: 11 plo mnos duas vogais difrnts os algarismos todos iguais? 12 unicamnt uma ltra dois algarismos iguais a? 13 *plo mnos um algarismo igual a? 2 Num saco xistm bolas indistinguívis ao tato das quais cinco são azuis numradas d a sis são vrmlhas numradas d a 21 Extrai-s uma bola ao acaso obsrvou-s a cor o númro Qual a probabilidad d obtr: 211 uma bola com númro par? 212 uma bola azul com númro ímpar? 213 uma bola vrmlha com um númro primo? 22 Extraiu-s uma bola dpois outra bola rpondo a primira obsrvou-s a cor o númro d cada uma dlas Qual a probabilidad d obtr: 221 duas bolas da msma cor? 222 uma bola com númro par outra com númro ímpar? 223 duas bolas iguais? 23 Extraiu-s simultanamnt três bolas obsrvou-s a rsptiva cor númro Qual a probabilidad d obtr: 231 três bolas da msma cor? 232 duas bolas com númro par uma com númro ímpar? 233 uma bola azul duas bolas vrmlhas ambas com númros pars? 3 Considr todos os númros compostos por três algarismos difrnts Slcionando um dls ao acaso qual a probabilidad d: 31 tr todos os algarismos pars? 32 sr divisívl por 5? 33 *sr suprior a 250? 4 A Joana cinco amigos vão ao cinma os bilhts corrspondm a sis lugars conscutivos d uma dada fila Sabndo qu vão distribuir os bilhts alatoriamnt qual a probabilidad d: 41 a Joana ficar com um bilht corrspondnt a um lugar numa das pontas? 42 a Amélia a Joana trm bilhts corrspondnts a lugars sguidos? 43 a Joana a Luísa não ficarm ao lado uma da outra? 5 Considr uma grlha quadrada com quadrículas Nsta grlha vão sr colocadas alatoriamnt fichas iguais não mais do qu uma por quadrícula Qual a probabilidad d: 51 as duas diagonais ficarm prnchidas? 52 unicamnt uma linha ficar totalmnt prnchida? 53 ficarm prnchidas duas colunas? Cadrno d Apoio PRB12 Página 18

20 6 Considr um octógono rgular 61 Slcionando dois vértics ao acaso qual a probabilidad d o sgmnto por ls dtrminado: 611 corrspondr a um lado do octógono? 612 passar plo cntro do octógono? 62 *Slcionando três vértics ao acaso qual a probabilidad d o triângulo por ls dtrminado sr rtângulo? 7 *Uma urna tm 12 cartõs numrados d 1 a 12 Rtiram-s sucssivamnt dz cartõs dispõm-s lado a lado Qual a probabilidad d: 71 ficarm 5 cartõs com númros pars sguidos d 5 cartõs com númro ímpars? 72 somnt os últimos quatro cartõs trm númros pars? 73 os cartõs com os númros ficarm sguidos? 8 *Escolhram-s alatoriamnt duas das parclas do dsnvolvimnto plo binómio d com Nwton da xprssão Dtrmin a probabilidad d qu o rsptivo produto sja ngativo 32 1 Dado um conjunto finito tais qu uma probabilidad m 2 Dado um conjunto finito uma probabilidad prov qu: * 24 * m dois acontcimntos dtrmin: dois acontcimntos 3 Dado um conjunto finito uma probabilidad m dois acontcimntos possívis quiprovávis tais qu Dtrmin: Prov dado um conjunto finito uma probabilidad m dois acontcimntos qu 2 Sja um conjunto finito uma probabilidad m tais qu são disjuntos xprima 21 Justifiqu qu os acontcimntos m função d 22 Dtrmin: Sja um conjunto finito uma probabilidad m Avrigú s indpndnts Cadrno d Apoio PRB12 tais qu são acontcimntos Página 19

21 4 Sja um conjunto finito uma probabilidad m Prov qu 5 * Sja um conjunto finito uma probabilidad m é indpndnt d ntão também é indpndnt d 6 **Sja um conjunto finito uma probabilidad m não crto Prov qu s é indpndnt d s somnt s Prov qu s possívl mas 7 Duas urnas têm bolas vrds prtas A urna tm bolas vrds bolas prtas a urna tm bolas vrds bolas prtas 71 Foi rtirada uma bola da urna colocada na urna d sguida foi tirada uma bola da urna Dtrmin a probabilidad d: 711 obtr bola vrd sabndo qu a bola rtirada da urna ra prta 712 obtr bola prta 72 Foi slcionada uma urna ao acaso tirada uma bola dssa urna Dtrmin a probabilidad d: 721 sr bola vrd sabndo qu saiu da urna A 722 sr bola prta sabndo qu saiu da urna 723 sr bola vrd 724 tr saído da urna A sabndo qu é bola prta 8 Num saco xistm duas modas falsas cinco modas vrdadiras Vão sr tiradas alatoriamnt duas modas do saco uma a sguir à outra Qual a probabilidad d: 81 as duas modas srm vrdadiras? 82 plo mnos uma dlas sr vrdadira? 83 a sgunda sr falsa sabndo qu a primira ra vrdadira? 9 *O João tm duas modas no bolso sndo uma quilibrada a outra viciada Sab qu a probabilidad d sair cara na moda viciada é El rtira do bolso uma moda ao acaso lança-a tndo obtido coroa Qual a probabilidad d tr lançado a moda viciada? 10 *Uma caixa tm bolas das quais são brancas um saco tm bolas das quais algumas são brancas Ao tirar ao acaso uma bola da caixa uma bola do saco a probabilidad d s obtr plo mnos uma bola branca é igual a Quantas bolas brancas xistm no saco? 11 Uma fábrica utiliza três máquinas difrnts para produzir um tipo d pças mas qu têm nívis difrnts d ficiência A máquina produz mtad do total da produção as máquinas dividm a rstant produção m parts iguais Crca d da produção da máquina não tm qualqur dfito; a máquina produz crca d d pças dfituosas a máquina tm uma ficiência d 111 Slcionando alatoriamnt uma pça dss tipo produzida nssa fábrica qual é a probabilidad d qu sja dfituosa? 112 Foi slcionada uma dssas pças ao acaso ra dfituosa Qual é a probabilidad d tr sido produzida pla máquina? Cadrno d Apoio PRB12 Página 20

22 Funçõs Rais d Variávl Ral FRVR12 Dscritor Txto d Apoio 11 Comntário Rlativamnt a st dscritor aos sguints dst objtivo gral aprsntam-s xmplos qu podm sr propostos aos alunos para chgarm às dmonstraçõs rquridas Em alguns casos como no qu s sgu podrá chamar-s a atnção dos alunos para a convniência m rprsntar graficamnt as posiçõs numa rta numérica dos valors auxiliars considrados 1 Considr sucssõs d crta ordm alínas: convrgnts rsptivamnt para tais qu a partir Prtndmos provar qu ; para o fito rsolva as sguints 11 Suponha qu sndo justifiqu rcordando a dfinição d limit d uma sucssão qu xist tal qu s ntão 12 Dduza da alína antrior qu supondo xist uma ordm a partir da qual ou sja conclua qu nssa hipóts não s podria tr 13 Conclua da alína antrior qu Considr sucssõs tais qu a partir d crta ordm 11 Suponha qu rlmbrando o qu significa sta afirmação Fixado um númro ral mostr a xistência d uma ordm tal qu s conclua qu 12 Suponha agora qu O qu pod concluir quanto a? 1 Considr sucssõs convrgnts com o msmo limit uma sucssão tal qu a partir d crta ordm Sja 11 Utilizando o facto d mostr qu a partir d uma crta ordm 12 Utilizando o facto d mostr qu a partir d uma crta ordm 13 Conclua quanto à xistência ao valor do limit 2 *Considr sucssõs convrgnts com o msmo limit uma sucssão tal qu a partir d crta ordm Prov qu Comntário A dmonstração dos rsultados xprssos nsts dscritors é consquência simpls dos rsultados análogos para sucssõs das dfiniçõs d limit d uma função 21 Informação Complmntar para o profssor O Torma dos Valors Intrmédios constitui uma propridad cntral das funçõs contínuas A rsptiva prova qu ncssita m particular do princípio do suprmo ou d alguma propridad quivalnt não é rqurida nst Programa sndo aqui aprsntada a título informativo Cadrno d Apoio FRVR12 Página 21

23 Dada uma função contínua num intrvalo tal qu podmos supor por xmplo qu pois caso contrário a dmonstração sria idêntica mutatis mutandis sja { } O conjunto é não vazio majorado por plo qu admit suprmo Tm-s porqu é majorant d portanto por dfinição d suprmo porqu por outro lado como É fácil vrificar qu xist ntão uma sucssão d pontos d qu convrg para Basta obsrvar qu para cada por dfinição d suprmo não é majorant d plo qu xist plo mnos um lmnto dss conjunto tal qu Plo torma das sucssõs nquadradas a sucssão assim construída convrg para por dfinição d satisfaz a para todo o Assim por continuidad da função passando ao limit na dsigualdad Tm-s plo qu Por outro lado como é majorant d para todo o é stritamnt suprior a todos os lmntos d portanto não pod sr lmnto dst conjunto dond por dfinição d Passando ao limit por continuidad d m dond rsulta qu plo qu é um valor tomado por situado ntr não pod sr igual a nm a já qu num ponto stritamnt Para uma discussão da lgitimidad d s dfinir uma sucssão como acima ftuando uma infinidad d scolhas d lmntos satisfazndo a dtrminadas propridads cf a Informação Complmntar para o profssor na part final do txto d apoio ao dscritor Considr sucssõs tais qu Indiqu justificando qual o limit d para 2 Utiliz o torma das sucssõs nquadradas para calcular o limit d cada uma das sucssõs cujo trmo gral s indica [cf FEL12-43 xmplo 81 para outra abordagm ao cálculo dst limit] 3 Sab-s qu Cadrno d Apoio FRVR12 qu { Justifiqu qu Página 22

24 4 Considr a função dfinida por 41 Calcul 42 Sab-s qu uma função é tal qu Indiqu o valor d 5 Considr a função dfinida por 51 Dtrmin funçõs tais qu m d modo qu: 52 Justifiqu qu 6 *Considr funçõs dfinidas m tais qu é limitada Mostr a xistência d uma função dfinida m d limit nulo tal qu conclua qu 7 Mostr qu a sucssão d trmo gral tnd para 8 **Sja para a «part intira d» isto é o maior intiro mnor ou igual a ou sja o único númro intiro tal qu Calcul o valor d 9 *Calcul o limit 10 Considr uma função contínua tal qu Mostr qu xist tal qu 11 Sjam duas funçõs contínuas num intrvalo 111 Mostr qu s ntão xist tal qu 112 Utiliz a alína antrior para mostrar qu s ntão xist tal qu 12 Dada uma função continua num intrvalo mostr qu s a quação tm plo mnos uma solução no intrvalo 13 Dê um xmplo d uma função dfinida num intrvalo tal qu para todo o 14 Dê um xmplo d uma função contínua no intrvalo tal qu: 141 não tnha máximo; 142 não tnha mínimo; 143 * não tnha nm máximo nm mínimo 15 Considr a função ral d variávl ral dfinida m { } por { ond é um númro ral Cadrno d Apoio FRVR12 Página 23

25 151 *Dtrmin d modo qu sja contínua m 152 **Indiqu o valor lógico da afirmação: «Exist um zro da função» 16 Considr a função ral d variávl ral dfinida por no intrvalo { Estud a continuidad da função 17 *Prov qu d todos os círculos d diâmtro infrior a 18 Considr a função da função dfinida por 43 xist um cuja ára é igual a m ] ] Dtrmin o contradomínio Comntário Nas condiçõs nunciadas nst dscritor duas vzs difrnciávl num intrvalo tal qu dond s conclui a xistência d um intrvalo da forma no qual Com fito caso contrário é fácil vrificar qu xistiria uma sucssão para todo o qu não podria tr-s d limit tal qu o qu é absurdo já qu nss caso nm consquntmnt é positiva plo A xistência da sucssão pod sr justificada m rigor da sguint forma: como stamos a supor qu não xist nnhum intrvalo da forma no qual é smpr positiva podmos construir a sucssão scolhndo para cada tal qu xist plo mnos um nstas condiçõs já qu por hipóts não é positiva m todos os pontos do intrvalo Por construção plo qu plo Torma das sucssõs nquadradas A função é portanto crscnt m plo qu para todo o Um raciocínio análogo à squrda d prmit mostrar qu ral num intrvalo da forma A função nss intrvalo para todo o númro admit portanto um mínimo local m Not-s qu o mínimo é «strito» no sntido m qu para qualqur m atndndo a qu as monotonias acima rfridas para a função nos intrvalos são também stritas o qu s pod justificar invocando os sinais da drivada d m cada um dsss intrvalos Cadrno d Apoio FRVR12 Página 24

26 Informação Complmntar para o profssor A dfinição da sucssão na dmonstração qu acabámos d aprsntar nvolv uma infinidad d scolhas d lmntos satisfazndo a dtrminadas propridads uma scolha por cada mas sm s aprsntar um procsso construtivo para dtrminar cada A possibilidad d utilizar m Matmática sucssõs assim dfinidas é contstada plos matmáticos ditos intuicionistas os quais por ss motivo não acitam as dmonstraçõs qu utilizam sts procssos nm os rsultados para cuja dmonstração é ncssário rcorrr a st tipo d abordagm A lgitimação dsts procssos pod sr formalizada através do chamado «Axioma da scolha»; utilizando a dfinição gral d produto cartsiano introduzida no txto d apoio ao dscritor CC12-24 ss axioma pod sr formulado através da assrção: «É não vazio o produto cartsiano d uma família não vazia d conjuntos não vazios» Ou sja s considrarmos um produto cartsiano: ond para cada o rfrido axioma garant a xistência d plo mnos um lmnto dss produto cartsiano ou sja d uma família tal qu para cada o qu corrspond à idia intuitiva d qu podmos scolhr um msmo qu os sjam conjuntos infinitos com ls formar a família m cada gráfico d uma aplicação d domínio No caso m qu st axioma prmit justificar a xistência d sucssõs como a qu foi dfinida na dmonstração acima Nas formulaçõs da Toria dos Conjuntos m qu s admit o uso do símbolo d scolha d Hilbrt cf txto d apoio ao dscritor CC12-21 a proposição qu dsignámos por «Axioma da scolha» é um Torma ou sja pod sr dmonstrada muito simplsmnt utilizando as propridads inrnts ao uso do rfrido símbolo d Hilbrt O raciocínio qu utilizámos acima é smlhant ao qu s utiliza para dmonstrar qu são quivalnts as duas dfiniçõs usuais d limit d uma função num ponto ditas à Hin a adotada no prsnt Programa à Cauchy ; mais prcisamnt para dmonstrar qu a xistência d limit à Hin implica a xistência d limit à Cauchy Prova-s qu d facto o Axioma da scolha ou algum rcurso quivalnt é ssncial para qu ssa implicação tnha lugar; assim os matmáticos intuicionistas não acitam a quivalência das duas dfiniçõs mas apnas qu a dfinição d Cauchy implica a dfinição d Hin Sgundo Cauchy diz-s qu uma função ral d variávl ral tm limit num ponto adrnt ao rsptivo domínio s para qualqur xistir tal qu para todo o É bastant óbvio atndndo á dfinição d limit d uma sucssão qu admitida sta condição s for uma sucssão d lmntos d convrgindo para ntão tnd para ; ou sja s uma função tivr limit m à Cauchy ntão trá limit m à Hin Já para dmonstrar a rcíproca utilizando o método d contrarrcíproco supondo qu não tm limit m à Cauchy podmos utilizar o Axioma da scolha para considrar uma sucssão d lmntos d analogamnt ao qu atrás foi fito qu tnd para mas tal qu não tnd para plo qu não tm limit m à Hin Esta última dmonstração dpnd assim dirtamnt do rfrido Axioma da scolha prova-s qu d facto ssa dpndência não é fortuita mas ants qu a rfrida quivalência das duas Cadrno d Apoio FRVR12 Página 25

27 dfiniçõs d limit é m crto sntido quivalnt ao rfrido axioma qualqur das duas proposiçõs pod sr tomada como axioma xcluindo a outra d modo a obtr-s uma axiomática quivalnt 44 Comntário Dada uma função difrnciávl num intrvalo dados quaisqur três pontos do rsptivo gráfico d abcissas m o Torma d Lagrang garant a xistência d pontos tais qu Obsrvando qu obtém-s assim qu o gráfico d tm a concavidad virada para cima rsptivamnt para baixo s for crscnt rsptivamnt dcrscnt Invrsamnt s tm a concavidad virada para cima dados pontos do rsptivo domínio tal qu obtém-s considrando os pontos do gráfico d d abcissas qu por passagm ao limit quando qu dond s conclui Na vrdad é fácil obsrvar qu sta dsigualdad é strita Caso contrário como já ficou provado qu é crscnt no sntido lato sria constant no intrvalo o qu contradiz por nova aplicação do Torma d Lagrang a hipóts fita sobr o sntido da concavidad do gráfico d 51 1 Mostr qu o polinómio [ tm no máximo um zro no intrvalo ] 2 Mostr qu cada uma das sguints quaçõs tm uma única solução dtrmin-a: 21 ; [Sugstão: stud a função ] 22 [Sugstão: stud a função ] 3 *Um polinómio d grau tm 4 **Admitindo qu zros distintos Mostr qu tm 4 zros é difrnciávl mostr qu para todo o 5 **Admitindo qu é difrnciávl mostr Utiliz st rsultado para mostrar qu para todo o qu para todo o 6 Considr as funçõs dfinidas plas xprssõs 61 Justifiqu qu é stritamnt crscnt qu é stritamnt dscrscnt comçando por dtrminar os rsptivos domínios 62 Justifiqu qu as funçõs são bijtivas quando s toma para conjunto d chgada o rsptivo contradomínio fornça uma xprssão para mostr qu é stritamnt crscnt qu é stritamnt dcrscnt 63 Esboc os gráficos d Cadrno d Apoio FRVR12 Página 26

28 q 52 1 Esboc o gráfico das funçõs dfinidas plas sguints xprssõs: Nota: Alguns dos sguints xrcícios só dvm sr propostos aos alunos após o studo das funçõs trigonométricas xponnciais ou logarítmicas 1 Mostr qu s for um númro ral não ngativo ntão s somnt s stivr situado stritamnt ntr Justifiqu qu xist um um só númro positivo qu xcd o su cubo no máximo valor possívl dtrmin-o bm como ss xcsso máximo mdido 2 Considr um triângulo isóscls m qu Sndo m radianos justifiqu qu xist um valor ral d para o qual é máxima a ára do triângulo dtrmin ss valor 3 **Mostr qu d todas as rtas d dcliv ngativo qu passam plo ponto xist uma qu dtrmina com os ixos coordnados um triângulo d ára mínima Dtrmin-a mostr qu ssa rta é paralla à rta qu passa plos pontos d coordnadas qu consquntmnt a rta as rtas parallas aos ixos qu passam plo ponto dcompõm ss triângulo m quatro triângulos iguais 4 *Considr a função dfinida por 41 Dtrmin para qu valors d a quação é impossívl 42 A condição tm como conjunto solução a runião d três intrvalos disjuntos Dtrmin os possívis valors rais d 5 Considr a função dfinida por um ponto d abcissa positiva prtncnt ao rsptivo gráfico a projção ortogonal d sobr o ixo Dtrmin para qu valor ral da abcissa d é máxima a ára do triângulo 6 Numas águas-furtadas prtnd-s abrir uma janla rtangular d ára máxima A janla dv sr abrta numa fachada m forma d triângulo isóscls dois dos rsptivos lados dvm sr parallos à bas do triângulo como s ilustra na figura Rprsntando sta fachada por dtrmin as da dimnsõs da janla m função da bas do triângulo ond é portanto o altura ponto médio do sgmnto d rta Cadrno d Apoio FRVR12 Página 27

29 7 Considr a função dfinida por 71 Dtrmin o dcliv da rta scant ao gráfico d nos pontos d abcissa rsptivamnt 72 Justifiqu a xistência d um ponto do gráfico d m qu a rta tangnt tm dcliv igual ao da rta 73 *Dtrmin utilizando a calculadora gráfica um valor aproximado às cntésimas da abcissa d um ponto nas condiçõs da alína antrior justificando a validad do rsultado obtido [vr comntário rlativo à utilização das calculadoras qu figura no dscritor 55] 54 1 Uma partícula dsloca-s sobr uma rta numérica cuja unidad é o mtro A abcissa nssa rta da rsptiva posição no instant m sgundos é dada por 11 Dtrmin a vlocidad média ntr os instants 12 Calcul a vlocidad no instant 13 Supondo qu a partícula stv m movimnto ntr os instants qual a vlocidad máxima atingida? Qual a aclração da partícula nss instant? 2 Um ponto dsloca-s numa rta numérica no intrvalo d tmpo sgundos d tal forma qu a rsptiva abcissa como função d xprssão mdido m é dada pla 21 Indiqu a abcissa do ponto nos instants 22 Dtrmin a vlocidad média do ponto nos dois primiros sgundos 23 Dtrmin a vlocidad no instant 24 Estud a variação da vlocidad do ponto dtrminando os instants m qu ating a vlocidad máxima indicando a aclração nsss instants 25 Dtrmin a aclração média ntr os instants 3 Um projétil foi lançado vrticalmnt a partir d um avião a sua altura m mtros m função do tmpo dcorrido após o lançamnto m sgundos é dada por 31 Dtrmin a altura máxima atingida plo projétil 32 Dtrmin a vlocidad média do projétil nos primiros 5 sgundos 33 Dtrmin a vlocidad no instant m qu atingiu o solo 4 *Uma partícula é introduzida num aclrador linar d partículas submtida dsd o instant inicial a uma aclração constant d tal forma qu a rsptiva vlocidad sofr um acréscimo d m/s para m/s m sgundos instant m qu choca com a pard do aclrador Dtrmin: 41 a aclração da partícula 42 o spaço prcorrido pla partícula no rfrido príodo d sgundos 55 Comntário Uma vz qu as calculadoras gráficas outros rcursos tcnológicos apnas prmitm obtr valors m gral aproximados d abcissas ordnadas d um númro finito d pontos do gráfico d uma dada função o facto d s obsrvar com um dsss rcursos uma intrsção d rprsntaçõs d gráficos d duas dadas funçõs não garant só por si qu os gráficos s intrstm d facto ou qu as coordnadas dsss pontos d intrsção obsrvados nas Cadrno d Apoio FRVR12 Página 28

30 rfridas rprsntaçõs gráficas sjam aproximaçõs adquadas das coordnadas d vntuais rais pontos d intrsção dos gráficos d Invrsamnt o facto d não s obsrvar nnhuma intrsção numa dssas rprsntaçõs não garant qu os gráficos não s intrstm d facto no intrvalo considrado Como xmplo da primira situação basta pnsar no gráfico da função ; como é sabido não intrsta o ixo dos mas é fácil scolhr um intrvalo d xtrmos ngativos ainda passívl d sr rprsntado nas calculadoras gráficas no qual o gráfico da função s confund com um sgmnto do rfrido ixo dos msmo altrando arbitrariamnt as scalas dos ixos dadas as limitaçõs acima rfridas dsts mios tcnológicos Quanto às outras situaçõs é possívl qu s obsrvm dtrminadas intrsçõs qu d facto rprsntam apnas pontos suficintmnt próximos dos gráficos para qu s confundam na rfrida rprsntação como no caso rfrido da xponncial da constant igual a nquanto xistm intrsçõs rais dos gráficos m rgiõs m qu nada s dtta na rprsntação gráfica porqu por xmplo uma ou ambas as funçõs sofrm grands oscilaçõs na vizinhança d dtrminados pontos mas qu não são dttadas por ocorrrm m intrvalos do domínio situados ntr dois valors conscutivos das abcissas dos pontos dos gráficos ftivamnt rprsntados no crã No ntanto é possívl m muitos casos garantir a priori qu o qu s obsrva nas rprsntaçõs gráficas obtidas por xmplo nas calculadoras corrspond d facto a aproximaçõs até dtrminada ordm dcimal d abcissas ordnadas d pontos d intrsção d gráficos d duas dadas funçõs Um dos instrumntos tóricos qu pod sr utilizado para ss fito é o Torma dos valors intrmédios para funçõs contínuas; por mas xmplo s form contínuas m dtrminado intrvalo ntão é sguro qu os gráficos d s intrstam m plo mnos um ponto do intrvalo Com fito nss caso a função é ngativa m positiva m plo qu o rfrido Torma garant qu tm d s anular m algum ponto d Nss caso são portanto m particular aproximaçõs rsptivamnt por dfito por nss intrvalo como é óbvio Assim s xcsso d qualqur solução da quação form suficintmnt próximos podmos obtr uma aproximação d uma tal solução qu sabmos a priori xistir com dtrminado númro d casa dcimais xatas Dst modo com a informação a priori d qu as funçõs são contínuas podmos dpois utilizar um rcurso tcnológico para xaminar os gráficos d s dttarmos intrvalos como o intrvalo acima rfrido podmos concluir qu dtrminados pontos d intrsção obsrvados nas rprsntaçõs obtidas para os gráficos d têm por abcissa até uma dtrminada casa dcimal aproximaçõs d soluçõs da quação Not-s qu apnas com as informaçõs rfridas não é ainda possívl concluir m gral qu os valors das ordnadas dos pontos d intrsção obsrvados nas rprsntaçõs gráficas sjam aproximaçõs adquadas dos valors d nos rais pontos d intrsção dos gráficos já qu os valors dssas funçõs podriam oscilar fortmnt na vizinhança d uma Um caso intrssant m qu plo contrário tais solução da rfrida quação conclusõs s podm xtrair ocorr quando além do qu s supôs são stritamnt monótonas m já qu nss caso os valors d m nquadram ls próprios os valors das funçõs numa solução da rfrida quação; além disso ssa monotonia prmit garantir a unicidad do ponto d intrsção dos gráficos no rfrido intrvalo utilizar com confiança os rsultados obsrvados m intrvalos contndo o ponto d intrsção tão pqunos quanto a capacidad da calculadora o prmitir já qu nsss intrvalos trmos os msmos rsultados d monotonia d comparação das duas funçõs nos rsptivos xtrmos qu supusmos para o intrvalo inicial Cadrno d Apoio FRVR12 Página 29

31 Nos xmplos sguints xploram-s algumas situaçõs afins das qu s acabaram d dscrvr 1 Considr as funçõs dfinidas por Prtnd-s studar as possívis intrsçõs dos gráficos d no intrvalo obtndo valors aproximados para as abcissas ordnadas dos pontos d intrsção Para o fito rsolva as sguints alínas: 11 Mostr qu a função é dcrscnt a função crscnt no intrvalo 12 *Utilizando a alína antrior prov qu os gráficos das funçõs s intrstam num único ponto d abcissa no intrvalo utilizando a calculadora gráfica dtrmin um valor aproximado às cntésimas para as coordnadas dss ponto xplicando por qu razão s pod garantir a validad do rsultado obtido 2 Considr as funçõs dfinidas por 21 Dtrmin o contradomínio d 22 Justifiqu qu s o gráfico d intrstar o gráfico d a abcissa do ponto d intrsção prtncrá ao intrvalo 23 Considr a função dfinida por Dtrmin idntifiqu três intrvalos disjuntos d númros rais aos quais prtnça plo mnos um zro da função 24 Utilizando a calculadora gráfica dtrmin valors aproximados às décimas para as soluçõs da quação 3 No gráfico junto stá rprsntado o gráfico da função dfinida por uma rta com dcliv tangnt ao gráfico d no ponto d abcissa no intrvalo A 31 *Prov qu o ponto do gráfico qu admit rta tangnt com o mnor dcliv possívl tm abcissa indiqu um valor aproximado às décimas dss dcliv 32 Justifiqu qu xist plo mnos um ponto do gráfico no qual a rta tangnt tm dcliv dtrmin as coordnadas do ponto A rcorrndo à calculadora gráfica aprsntando valors aproximados às cntésimas 4 Prov qu a quação tm uma solução no intrvalo [ ] utilizando uma calculadora gráfica indiqu justificando um valor aproximado às décimas dssa raiz Cadrno d Apoio FRVR12 Página 30

32 Trigonomtria TRI12 Dscritor Txto d Apoio 11 Comntário Ants d s abordarm as dmonstraçõs das fórmulas trigonométricas para o sno o cossno da soma d ângulos é convnint tr bm prsnt como s obtêm imdiatamnt as mdidas d comprimnto dos cattos d um triângulo rtângulo através da mdida d comprimnto da hipotnusa do sno cossno d um dos ângulos agudos do triângulo É óbvio da própria dfinição dstas razõs trigonométricas qu s for dado um triângulo rtângulo m sndo o ângulo intrno d vértic m a mdida d comprimnto da hipotnusa ntão a mdida d comprimnto do catto adjacnt a é dada por a mdida d comprimnto do catto oposto a é dada por Ou sja m crto sntido podmos dizr qu para obtr o comprimnto da projção ortogonal d um sgmnto m dtrminada dirção basta multiplicar a mdida do comprimnto do sgmnto plo cossno do mnor ângulo ntr a rta suport do sgmnto ssa dirção para obtr o comprimnto da projção do msmo sgmnto numa dirção prpndicular à inicial basta multiplicar a mdida do rsptivo comprimnto plo sno do rfrido ângulo Assim m construçõs nvolvndo dirçõs mutuamnt prpndiculars torna-s fácil xprimir rapidamnt o comprimnto d projçõs d sgmntos m pars d tais dirçõs usando apnas razõs trigonométricas d um ângulo As fórmulas trigonométricas xprssas nst dscritor no sguint m conjunto com as qu prmitm calcular as razõs trigonométricas d um ângulo d amplitud igual a mtad da amplitud d um outro ângulo do qual s conhcm as razõs trigonométricas facilmnt ddutívis dstas prmitiram dsd a Antiguidad com Hiparco por xmplo matmático da Escola d Alxandria qu vivu no século II ac a laboração d tablas trigonométricas com prcisão suficint para as inúmras aplicaçõs m qu dsd ntão s utilizou a Trigonomtria nomadamnt m Astronomia Cartografia tc Nos xmplos do txto d apoio ao dscritor 41 abaixo xploram-s stas qustõs stablcndo-s as fórmulas para o sno cossno do mio ângulo rqurndo-s a construção d uma pquna tabla trigonométrica partindo d valors xatos facilmnt ddutívis d alguns ângulos utilizando m sguida fórmulas trigonométricas para s passar para os rstants ângulos da tabla Aprsntam-s m sguida xrcícios tndo por objtivo a justificação das rfridas fórmulas para o sno o cossno da soma d ângulos; nsts xmplos utilizam-s apnas argumntos d gomtria sintética mas no txto d apoio ao dscritor 12 aprsnta-s outro xmplo m qu s obtêm as fórmulas tanto as qu constam do dscritor 11 como do dscritor 12 utilizando o concito propridads do produto intrno d vtors 1 Considr dois ângulos adjacnts d vértic cuja união é um ângulo agudo Prtndmos dduzir as fórmulas qu prmitm calcular o sno o cossno d m função do sno do cossno d Para o fito no lado do ângulo qu não é comum ao ângulo considr um ponto tal qu sjam as projçõs ortogonais do ponto nas rtas suport rsptivamnt do lado comum aos dois ângulos do outro lado do ângulo rsolva as sguints qustõs: Cadrno d Apoio TRI12 Página 31

33 11 Justifiqu qu os pontos stão rsptivamnt nos rfridos lados dos ângulos qu 12 Justifiqu qu o ângulo é igual ao ângulo 13 Considr o ponto projção ortogonal do ponto na rta justifiqu qu fica situado ntr os pontos utilizando o triângulo rtângulo prov qu 14 Considr o ponto projção ortogonal do ponto na rta justifiqu qu o ponto fica situado ntr os pontos utilizando o triângulo rtângulo prov qu conclua qu 15 Conclua das alínas antriors qu 16 Utilizando novamnt os triângulos rtângulos prov qu qu conclua qu 2 **Considr dois ângulos agudos adjacnts d vértic cuja união é um ângulo obtuso Utilizando uma construção idêntica à do xrcício 1 ilustrada na figura ao lado as xtnsõs a ângulos obtusos das dfiniçõs do sno do cossno dmonstr qu qu comçando por justificar qu o ângulo é igual ao ângulo comparando os rsptivos sno cossno com o sno o cossno do ângulo 3 *Com bas nos rsultados do xrcício 1 mostr qu dados dois ângulos adjacnts d vértic obtuso cuja união é um ângulo convxo podm obtr-s também para sts ângulos as fórmulas comçando por xprimir como agudo rto comparando o sno o cossno d com o sno o cossno d o sno o cossno d com o sno o cossno d 4 **Considr dois ângulos adjacnts d vértic obtuso cuja união é um ângulo convxo Utilizando uma construção idêntica à dos xrcícios 1 2 ilustrada na figura ao lado as xtnsõs a ângulos obtusos das dfiniçõs do sno do cossno 41 Justifiqu qu o ângulo é igual ao ângulo compar os rsptivos sno cossno com o sno o cossno do ângulo 42 Dmonstr qu: Comntário Uma vz dmonstrada para quaisqur ângulos tais qu é um ângulo convxo a rlação também sria possívl provar rapidamnt a idntidad análoga para o cossno da soma utilizando as igualdads rfridas no dscritor 113 Com fito sndo um ângulo rto: Cadrno d Apoio TRI12 Página 32

34 S é um ângulo agudo m particular é obtuso Como S é obtuso m particular Um dos ângulos são agudos: é agudo: ou é agudo Suponhamos qu é o ângulo Então Em ambos os casos 12 Comntário Dado um ângulo convxo d amplitud suprior à d um ângulo convxo sndo tal qu ou sja por dfinição tal qu obviamnt é convxo as fórmulas nunciadas nst dscritor são quivalnts às igualdads 1 qu podm sr facilmnt vrificadas utilizando as idntidads rfridas no dscritor 11 a fórmula fundamntal da trigonomtria Por xmplo: D modo análogo admitindo os rsultados xprssos no dscritor 12 sria fácil provar as fórmulas do dscritor 11 Com as notaçõs acima introduzidas stas últimas fórmulas podm scrvr-s para a soma dos ângulos : 2 o qu pod sr vrificado rproduzindo mutatis mutandis os cálculos antriors rlativos às fórmulas m 1 dsd qu s admitam os rsultados do dscritor 12 Assim rcorrndo também aos argumntos aprsntados na part final do txto d apoio ao dscritor 11 basta dmonstrar uma das fórmulas m 1 ou m 2 para obtr as rstants portanto todas as qu constam dos dscritors No xmplo sguint xplora-s um método d dmonstração da primira fórmula m 1 acima qu tira partido da noção propridads do produto intrno d vtors do plano Para qu a alína 12 possa sr rsolvida com facilidad é convnint fazr prcdr a rsolução dst xrcício d considraçõs como as qu s acabaram d aprsntar 1 Considr dois ângulos convxos tais qu é um ângulo convxo Fixado um rfrncial ortonormado do plano considr os vtors d coordnadas rsptivamnt 11 Mostr qu o ângulo ntr os vtors tm amplitud igual à d obtnha uma quação nvolvndo razõs trigonométricas dos ângulos xprimindo o Cadrno d Apoio TRI12 Página 33

35 produto intrno d dois modos distintos: fazndo intrvir o ângulo ntr os dois vtors utilizando dirtamnt as coordnadas d 12 *Dduza da alína antrior as fórmulas trigonométricas para a soma difrnça d ângulos no quadro dos ângulos convxos 13 Comntário Tndo m conta as fórmulas conhcidas para ângulos convxos stas igualdads gnralizadas são consquências simpls da dfinição do sno do cossno d um númro ral [ Por xmplo tomando dfinição 𝛼 𝛽 𝜋 ] por Estas fórmulas gnralizadas também podriam sr obtidas invocando as propridads do produto intrno d vtors por um procsso análogo ao utilizado no xmplo do txto d apoio ao dscritor 12 Invrsamnt uma vz dmonstradas stas fórmulas gnralizadas o qu como s viu também pod sr fito sm invocar conhcimntos d cálculo vtorial podriam sr utilizadas para obtr a xprssão do produto intrno d dois vtors do plano a partir das rsptivas coordnadas adotando m crto sntido o caminho invrso ao dscrito no rfrido xmplo Para o fito bastaria notar qu dados dois vtors não nulos do plano podmos smpr rprsntá-los na forma: ond são vtors d norma têm portanto coordnadas m dado rfrncial para crtos ângulos d mdida d ortonormado da forma amplitud rsptivamnt m radianos sndo ntão o produto intrno dos dois vtors dado por: são as coordnadas rsptivamnt d no rfrido rfrncial ond A partir dsta fórmula para o cálculo do produto intrno sria agora possívl voltar a obtr a conhcida propridad algébrica do produto intrno rlativamnt à soma d vtors cf dscritor GA11-29 qu no 11º ano foi utilizada prcisamnt para m sguida dmonstrar a fórmula para o cálculo do produto intrno a partir das coordnadas Cadrno d Apoio TRI12 Página 34

36 21 Informação Complmntar para o profssor Considrmos fixado um rfrncial ortonormado o ângulo orintado d mdida [ [ radianos cujo lado origm coincid com o smiixo positivo das abcissas Considrmos ainda a intrsção do lado xtrmidad dst ângulo com a circunfrência trigonométrica o ponto simétrico d rlativamnt ao ixo da abcissas É bastant intuitivo rconhcr qu uma corda tm comprimnto infrior ao arco qu subtnd Assim sndo a mdida do comprimnto d por dfinição d radiano a mdida do comprimnto do arco conclui-s qu ou sja qu Est rsultado pod sr tornado mais rigoroso s dfinirmos adquadamnt o qu s ntnd por comprimnto d um arco Em gral o comprimnto d uma linha d xtrmidads é dfinido como o suprmo dos comprimntos das linhas poligonais d xtrmidads cujos vértics prtncm a stão ordnados por um procsso qu corrspond intuitivamnt a um prcurso ao longo da linha m dtrminado sntido adiant dsignadas por «linhas poligonais inscritas m» Est concito já foi abordado no cadrno d apoio do 11º ano a propósito do dscritor TRI1161 no caso particular d arcos d circunfrência nss caso qu é o qu srá invocado para obtr o rsultado xprsso nst dscritor a ordnação dos vértics da linha poligonal pod sr facilmnt dfinida através da ordnação d ângulos ao cntro da circunfrência como s xplica no rfrido txto d apoio Not-s qu nada impd à partida qu um tal suprmo não xista Nss caso xistm linhas poligonais inscritas m d mdida d comprimnto arbitrariamnt grand Diz-s ntão qu a linha tm «comprimnto infinito» É por xmplo o caso da linha conhcida como «floco d von Koch» ou «curva d Koch» qu é uma linha contínua obtida com limit uniform d uma sucssão d linhas poligonais nla inscritas das quais s aprsnta um xmplar na figura acima qu têm comprimntos a tndr para mais infinito Não é no ntanto o caso dos arcos d circunfrência como irmos confirmar mais adiant É imdiato com sta dfinição qu a mdida d comprimnto d qualqur linha poligonal inscrita m é infrior ou igual à mdida d comprimnto d Sndo m particular uma linha poligonal inscrita no arco o qu justifica a dsigualdad acima obtida: Cadrno d Apoio TRI12 para [ [ Página 35

37 Rsta-nos ainda vrificar qu Esta dsigualdad é rlativamnt imdiata fazndo considraçõs sobr as áras Dsignando por a projção ortogonal d no ixo das abcissas por o ponto da smirrta cuja projção ortogonal no ixo das abcissas é o ponto a mdida da ára do triângulo é suprior à do stor circular Tm-s portanto ou sja Est último rsultado pod igualmnt sr obtido rcorrndo dirtamnt à dfinição d comprimnto do arco vitando-s assim o rcurso a propridads das áras qu sndo bastant intuitivas rqurm para a rsptiva justificação rigorosa uma toria mais complxa Traçando uma squência d smirrtas d origm m d dcliv dsignando dcrscnt com por as intrsçõs rsptivamnt d com o arco com o sgmnto d rta podrá mostrar-s qu para Com fito fixado o sgmnto é bas do triângulos isóscls ; além disso considrando o ponto da smirrta tal qu o triângulo é um triângulo isóscls smlhant ao triângulo plo critério LAL plo qu m particular é agudo o ângulo Em contrapartida é obtuso o ângulo por sr ângulo xtrno adjacnt a um dos ângulos agudos do triângulo rtângulo plo qu o ponto situa-s ntr o ponto o ponto Então tmos por um lado já qu o lado do triângulo nl s opõ ao ângulo obtuso suplmntar do ângulo agudo plo qu é o maior dos lados dss triângulo por outro pla smlhança dos triângulos isóscls com fito para tm-s obviamnt porqu é hipotnusa do triângulo Concluímos rtângulo assim qu d facto Somando stas dsigualdads obtém-s ntão qu o comprimnto da linha poligonal d vértics é infrior a A mdida d comprimnto é portanto suprior à mdida d comprimnto d qualqur linha poligonal inscrita no arco Por dfinição d suprmo tm-s Est rsultado assim dmonstrado com rigor tm também como consquência qu os arcos d circunfrência têm ftivamnt um comprimnto finito A majoração obtida prmit msmo concluir facilmnt qu os arcos d circunfrência d amplitud igual a mtad do ângulo rto caso m qu o triângulo é isóscls têm comprimnto majorado plo comprimnto do raio da circunfrência plo qu m particular Cadrno d Apoio TRI12 Página 36

38 32 1 Esboc o gráfico das sguints funçõs nos intrvalos indicados indicando para cada uma dlas o príodo positivo mínimo o contradomínio os zros 11 m ; m [ m [ [; m [ m [; ; m m [; ; }; \{ m [ 33 [ { } Comntário Est dscritor rfr no caso unidimnsional a Rlação Fundamntal da Dinâmica Esta Rlação stablc a proporcionalidad m cada instant ntr a força a qu s ncontra submtido um ponto matrial a rsptiva aclração com constant d proporcionalidad igual à massa dss ponto Sndo um rsultado qu stá historicamnt na géns do próprio cálculo difrncial tndo m conta a importância qu o prsnt Programa confr à modlação do ral st princípio dv sr conhcido plos alunos msmo por aquls qu não frquntaram a disciplina d Física A Rlação Fundamntal da Dinâmica m conjunção com a Li d Hook prmit vidnciar d forma simpls um comportamnto d oscilação harmónica Esta li diz ssncialmnt qu uma mola fixada numa xtrmidad xrc sobr um ponto matrial d massa colocado na outra xtrmidad uma força d intnsidad proporcional à distância d sntido igual ao do vtor ond é a posição d quilíbrio qu o ponto ocupa quando a mola s ncontra m rpouso Dsignando por por as abcissas dos pontos rsptivamnt por a difrnça por a constant d proporcionalidad ntr a intnsidad da força xrcida pla mola a distância a intnsidad algébrica da força xrcida sobr no instant é dada por Tm-s assim: O dslocamnto satisfaz portanto a quação difrncial ond É imdiato vrificar qu as funçõs da forma ond são constants rais são soluçõs dsta quação difrncial Prova-s também qu todas as soluçõs são dsta forma plo qu sta class d funçõs dscrv compltamnt os possívis movimntos d um ponto matrial nas condiçõs acima dscritas ou sja aprsntou-s assim um modlo matmático fundamntado m lis da Física qu dscrv o movimnto oscilatório do ponto Cadrno d Apoio TRI12 Página 37

39 41 1 Dtrmin os valors xatos d: 11 cos 12 2 Calcul 13 sabndo qu cos [ [ 3 Rsolva m cada uma das sguints quaçõs: ; ; 34 * 35 ; ; ; 36 * 37 ** ; 4 *Dado um ângulo convxo prtndmos obtr fórmulas para o sno o cossno d m função do cossno d Para o fito considr uma circunfrência d raio cntrada no vértic do ângulo o ângulo d vértic inscrito na circunfrência com um dos lados contndo um dos lados do ângulo comprndndo ntr os sus lados o msmo arco d circunfrência qu o ângulo tal como rprsntado na figura rprsnta-s o caso m qu é agudo mas o argumnto val para qualqur ângulo convxo Sndo o ponto intrsção com a circunfrência dos lados não colinars dos ângulos rsolva as sguints alínas: 41 Justifiqu qu 42 Considr a projção ortogonal do ponto na rta suport dos lados colinars dos ângulos a projção ortogonal do cntro da circunfrência no outro lado do ângulo Invocando o torma d Pitágoras rlativo ao triângulo 43 Dduza da alína antrior qu 5 **Utilizando a fórmula prov qu conclua qu com xprimindo ambas as razõs trigonométricas d nvolvidas na fórmula apnas no sno ou no cossno do msmo ângulo dduza qu qu para qualqur ângulo convxo Cadrno d Apoio TRI12 Página 38

40 6 Utiliz as fórmulas do sno do cossno da mtad do ângulo cf xrcícios 4 5 acima do sno do cossno da soma d ângulos para cumprir as sguints tarfas: 61 Construa uma tabla trigonométrica com os valors xatos dos snos cossnos tangnts dos ângulos agudos d amplitud múltipla d utilizando uma máquina d calcular compar os valors obtidos com os forncidos pla máquina 62 *Utilizando a alína antrior dtrmin o valor xato das razõs trigonométricas do ângulo d 7 Dtrmin o domínio os zros da função g dfinida por 8 Estud a monotonia os xtrmos rlativos da função dfinida no intrvalo por indiqu o rsptivo contradomínio dfinida por 9 Avrigú s o gráfico da função vrticais m admit assíntotas dfinida por 10 Considr a função 101 Avrigú s é contínua m 102 Prov qu a rta d quação { é tangnt ao gráfico d m dfinida por 11 Considr a função { sndo Dtrmin o valor d k d modo qu g sja contínua m 12 *Considr a função dfinida por Avrigú s h é contínua m { um númro ral 13 Dtrmin utilizando a dfinição a drivada d cada uma das sguints funçõs m m Calcul nos pontos m qu xist uma xprssão da drivada da função dfinida por: * ; 15 Mostr qu a função dfinida pla xprssão qualqur intrvalo m qu s ncontr dfinida Cadrno d Apoio TRI12 é dcrscnt m Página 39

41 16 Dpois d rduzir o intrvalo d studo smpr qu possívl por argumntos d paridad d priodicidad stud os intrvalos d monotonia das sguints funçõs 161 * ** 17 Um ponto dsloca-s numa circunfrência d cntro raio no sntido anti-horário a uma vlocidad constant ou sja prcorrndo distâncias iguais mdidas como comprimntos d arcos d circunfrência m tmpos iguais Sabs qu complta uma volta intira m minutos à mdida qu s dsloca a rta tangnt à circunfrência m intrsta quando não lh é paralla a rta no ponto ond é um dado ponto distinto d 171 Dsign a mdida m radianos d por xprima a mdida m d m função d dsignando a xprssão obtida por indicando qual o maior intrvalo d xtrmo squrdo igual a m qu stá dfinida 172 Suponha qu s inicia a contagm do tmpo num instant m qu o ponto stá situado na smirrta Exprima m função do tmpo mdido m sgundos indiqu como s pod obtr dssa função da função dtrminada na alína antrior com domínio igual a a função posição do ponto no dslocamnto qu ftua na rta numérica tomando o cntímtro para unidad d mdida do comprimnto comçando no instant inicial d modo a prcorrr todos os pontos da smirrta qu não são intriors ao círculo d cntro raio 173 Dtrmin a função vlocidad do movimnto do ponto dscrito na alína antrior 174 *Dtrmin o instant m qu dtrmin a vlocidad do ponto nss instant indicando a unidad m qu stá xprssa Aprsnt o rsultado arrdondado às décimas 42 1 Um ponto dsloca-s numa rta numérica no intrvalo d tmpo mdido m sgundos d tal forma qu a rsptiva abcissa como função d é dada pla xprssão 11 Indiqu a abcissa do ponto nos instants 12 Dtrmin a amplitud do movimnto do ponto 13 Dtrmin o príodo a frquência dst oscilador harmónico 14 Dtrmin os valors d para os quais a abcissa do ponto dista da origm unidads 15 *Dtrmin m qu instants o ponto ating a distância máxima da origm Cadrno d Apoio TRI12 Página 40

42 2 Uma mola stá suspnsa por uma xtrmidad tndo na outra xtrmidad um corpo Após tr sido alongada na vrtical a mola inicia um movimnto oscilatório no instant é dada m cada instant m sgundos pla A distância ao solo do corpo xprssão: para 21 Dtrmin a distância máxima mínima do corpo ao solo 22 Indiqu o valor da amplitud do movimnto d 23 Dtrmin o príodo a frquência dst oscilador 24 Esboc o gráfico da função dtrmin a rsptiva fas 25 Dtrmin os instants m qu o corpo stá à distância d 4 mtros do solo 3 A rprsntação gráfica do movimnto d um oscilador harmónico sguint: no intrvalo éa 31 Dtrmin a amplitud a pulsação o príodo T a fas 32 Escrva uma xprssão analítica da função rprsntada 33 Utilizando a xprssão obtida m 32 dtrmin os valors d tais qu 4 Um ponto mov-s no ixo das abcissas d forma qu a sua abcissa no instant m sgundos é dada por 41 *Prov qu s trata d um oscilador harmónico 42 Indiqu a amplitud o príodo a frquência do movimnto bm como o rsptivo ângulo d fas 43 *Dtrmin os instants m qu o módulo da vlocidad d é nulo 44 Dtrmin o valor ral d tal qu 5 Para a abcissa d um ponto matrial no instant m sgundos qu s dsloca num ixo satisfaz a quação difrncial Aprsnt todos os rsultados com arrdondamnto às décimas da unidad 51 Mostr qu a função dfinida pla xprssão satisfaz a quação difrncial linar 52 *Qu ponto dv sr tomado como origm do rfrncial por forma qu a abcissa do ponto sja dada por? Considr ss rfrncial até ao final do xrcício 53 Mostr qu a função ond são constants rais satisfaz a quação difrncial 54 Admitindo qu a função é d facto da forma indicada m 53 calcul as constants sabndo qu no instant o ponto s ncontra no ponto d abcissa qu no instant a vlocidad do ponto é d unidads por sgundo no sntido contrário ao ixo Cadrno d Apoio TRI12 Página 41

43 55 Calcul m qu instants o módulo da vlocidad d é máximo m qu instants é nulo 56 *Calcul a amplitud do movimnto d 57 *Prov qu xistm constants rais tais qu para todo dtrmin-as Cadrno d Apoio TRI12 Página 42

44 Funçõs Exponnciais Funçõs Logarítmicas FEL12 Dscritor Txto d Apoio 14 Comntário Para tm-s: Esta dsigualdad dita por vzs «dsigualdad d Brnoulli» pod sr justificada da sguint forma: dond s conclui o rsultado A monotonia da sucssão d trmo gral para o quocint pod agora sr vrificada calculando : Aplicando a dsigualdad d Brnoulli com dond s conclui qu a sucssão d trmo gral é crscnt Trata-s igualmnt d uma sucssão majorada: Plo binómio d Nwton Obsrvando qu para qu para o qu é óbvio já qu pod sr xprsso como um produto d fators não infriors a bastando para o fito substituir por no produto qu ocorr na dfinição d ; st rsultado pod também sr facilmnt vrificado por indução tmos: Assim a sucssão Obsrvando qu sndo crscnt majorada é convrgnt ou sja Cadrno d Apoio FEL12 o limit d dsignado por satisfaz Página 43

45 Em altrnativa à utilização da dsigualdad d Brnoulli pod obtr-s a monotonia da sucssão utilizando também o binómio d Nwton scrvndo as rsptivas parclas nst caso como: Examinando o fito d substituir m cada parcla dstas com por facilmnt s conclui qu s obtém um valor suprior já qu com ssa substituição ftuamos o produto d uma msma constant plo msmo númro d fators cada um dls suprior ao qu vio substituir pois aumntámos o dnominador da fração ou sja diminuímos o rsptivo valor sta figura como subtrativo aumntando assim o valor da difrnça Ora o dsnvolvimnto d plo binómio d Nwton para além dstas parclas qu comparámos uma a uma com as parclas corrspondnts do dsnvolvimnto d Nwton d tm apnas mais duas parclas para iguais às corrspondnts parclas do dsnvolvimnto d ao passo qu o dsnvolvimnto dsta última potência ainda tm a parcla positiva corrspondnt a Assim forçosamnt As majoraçõs obtidas para as parclas do dsnvolvimnto d plo binómio d Nwton srão também utilizadas mais adiant num caso ligiramnt mais gral para s obtr a drivada na origm da função xponncial mbora ssa dmonstração não sja rqurida aos alunos cf txto d apoio ao dscritor 29 uma técnica smlhant pod também sr utilizada para obtr a monotonia m da função cf txto d apoio ao dscritor 27 D um ponto d vista dos juros compostos rprsnta o montant disponívl ao fim d um ano dividindo ss ano m príodos iguais capitalizando-s um juro d no final d cada um dls rlativamnt a um capital inicial d a uma taxa anual d juros d A monotonia d significa nst quadro qu quantas mais capitalizaçõs ocorrrm durant o ano maior srá o rndimnto final Podmos intrprtar o limit m dsta quantidad como o capital final obtido distribuindo o juro d d forma uniform durant o ano capitalizando-o a cada instant Nst caso o capital final não srá infinito mas ants igual a qu 21 Comntário Qu a função dfinida no conjunto dos númros racionais por é dcrscnt s crscnt s é uma consquência simpls do caso m qu Basta utilizar as propridads conhcidas das potências d xpont racional notar qu para tm-s s somnt s Cadrno d Apoio FEL12 Página 44

46 Para podmos comçar por mostrar qu para quaisqur : Est rsultado é consquência da sguint cadia d implicaçõs cuja justificação pod sr formalizada utilizando o método d indução: para qualqur Com fito torna-s dpois óbvio pla transitividad da rlação d ordm qu para qualqur : o qu é outro modo d xprimir o rsultado acima É também fácil agora stndr sucssivamnt o rsultado d a m sguida a Comcmos por notar qu das propridads das potências d xpont natural rlativamnt à rlação d ordm xprssas nos dscritors ALG da tricotomia dssa msma rlação d ordm facilmnt s conclui qu a função raiz d índic para qualqur é crscnt para valors não ngativos ss rsultado também podria sr obtido agora invocando o sinal da drivada Utilizando ss rsultado tmos ntão para quaisqur : o qu prova o rsultado prtndido m Podmos agora stndr o rsultado a todo o ; comçando por analisar o caso d dois racionais d sinais contrários s tmos obviamnt já qu por hipóts dond: Rsta assim provar o rsultado para dois racionais ngativos ou para um racional qualqur o racional nulo; xcluindo st último caso qu é trivial tmos para quaisqur s ntão dond portanto ou sja como prtndíamos 22 Comntário Para um dado comcmos por dmonstrar qu a função dfinida nos racionais por é contínua m ; para o fito provmos qu os limits d à squrda à dirita d xistm são ambos iguais a Sja ntão uma sucssão d númros racionais positivos d limit nulo Sabmos já cf SUC qu Considrando para já qu suficintmnt grand ; fixado xist portanto tm-s m particular qu por monotonia tal qu Então para ficando assim provado por dfinição qu Cadrno d Apoio FEL12 Página 45

47 O msmo s pod concluir no caso obsrvando simplsmnt qu qu sta sucssão tm por limit já qu qualqur caso: Acabámos portanto d concluir qu m Rsta agora provar qu também tnd para à squrda d ; considrando uma sucssão d númros racionais ngativos d limit nulo é obviamnt uma sucssão d númros racionais positivos d limit nulo plo qu: Mostrou-s assim qu a função vz qu xist dfinida nos racionais por é contínua m uma Considrando agora um qualqur númro racional Então a xistência do limit d m rsulta imdiatamnt da xistência do limit da função m qu por sua vz é consquência imdiata da xistência do limit d m já qu obviamnt cf FRVR Conclui-s assim qu é contínua m 23 Comntário A prova da propridad xprssa nst dscritor pod sguir linhas muito smlhants à da propridad nunciada no dscritor antrior Dado como cf SUC xist m particular tal qu Considrando uma sucssão d racionais d limit a partir d crta ordm Por monotonia tm-s a partir dssa msma ordm qu ficando assim dmonstrado qu 25 Comntário Nos dscritors foi cuidadosamnt studada a função dfinida nos racionais por No prsnt dscritor faz-s a xtnsão d ao conjunto dos númros rais mantndo-s as propridads d monotonia os limits as propridads algébricas da função inicial Essa xtnsão é fita d forma intuitiva Em rigor para dfinir quando sria ncssário tomar uma sucssão d númros racionais d limit mostrar qu convrg qu ss limit é indpndnt da sucssão scolhida Pod motivar-s sta dfinição utilizando as aproximaçõs dos númros rais por dízimas finitas dadas pla rprsntação habitual dsts númros na forma d dízima finita ou infinita Cadrno d Apoio FEL12 Página 46

48 plo qu da continuidad monotonia da função Sabmos por xmplo qu xponncial com domínio podmos garantir qu por xmplo para : ou sja Ora s considrarmos agora um númro irracional a rsptiva rprsntação como dízima infinita não priódica sja por xmplo podmos considrar a sucssão crscnt das potências d xpont racional: ou sja: Sndo sta sucssão crscnt majorada por qualqur racional por xmplo por concluímos qu é ncssariamnt convrgnt m ; é ss limit qu prtndmos idntificar como Em sguida tndo m conta as propridads conhcidas dos limits podr-s-iam dmonstrar uma a uma as propridads prtndidas Por xmplo tomando limits rsptivos númros rais sucssõs d racionais d dfinição propridad dos limits d sucssõs convrgnts propridad algébrica das potências d xpont racional dfinição uma vz qu 27 Informação Complmntar para o profssor Sja por a função dfinida m É possívl mostrar qu é crscnt m comçando por mostrar qu a rstrição d ao conjunto dos númros racionais positivos é crscnt stndndo m sguida ssa propridad a por passagns ao limit com técnicas smlhants às rfridas a propósito do dscritor 25 Provmos ntão qu é crscnt m Sjam tais qu ; tmos: prtndmos provar qu: Cadrno d Apoio FEL12 Página 47

49 ou sja o qu é ainda quivalnt lvando ambos os mmbros a a: Basta agora comparar stas duas potências utilizando o Binómio d Nwton analogamnt ao qu s fz no txto d apoio ao dscritor 14 num dos procssos d dmonstração da monotonia da sucssão xponncial; tmos: analogamnt: Uma vz qu por hipóts o somatório no dsnvolvimnto da primira potência tm mnos parclas do qu o somatório no dsnvolvimnto da sgunda cada uma das parclas do primiro somatório é infrior à corrspondnt parcla do sgundo somatório plo qu d facto: como prtndíamos mostrar Para podrmos stndr a a propridad d monotonia d é convnint m primiro lugar justificar qu é contínua Para o fito convém comçar por dfinir a função logarítmica tal como s indica nos dscritors Qu uma tal função é contínua pod justificar-s invocando um rsultado gral d continuidad da função invrsa d uma função ral d variávl ral bijtiva contínua dfinida num intrvalo mas vrmos uma dmonstração dirta dss facto no txto d apoio ao dscritor 311; sndo assim a continuidad d rsulta da simpls obsrvação d qu é composta d funçõs contínuas como fica patnt ao notar-s qu: Agora s podmos considrar racionais tais qu sucssõs d racionais a convrgir rsptivamnt para podmos já supor qu para Cadrno d Apoio FEL12 Página 48

50 qualqur pois stas dsigualdads têm d vrificar-s plo mnos a partir d crta ordm Então d dduzimos qu para todo o particular como prtndíamos A função dond m também é monótona m mas tal rsultado não é ncssário para o qu s sgu pod sr dmonstrado mais tard rcorrndo já ao studo da função utilizando o cálculo difrncial cf o xmplo 4 do txto d apoio ao dscritor 63 Agora como qu m particular para todo o xist um númro natural Tomando ntão uma qualqur sucssão d limit igual a da qual A partir dssa ordm por monotonia tal xist uma ordm a partir Por outro lado como para todo o é imdiato qu para todo o ond é um intiro qualqur suprior ou igual a Mostrou-s assim qu a partir d crta ordm sucssão d limit igual a plo qu para qualqur Por dfinição tmos assim: Obsrvando qu para tmos: Tomando agora o caso é imdiato [ Como ] consoant o sinal d cf 26 Por continuidad da função ou sja Cadrno d Apoio FEL12 Página 49

51 29 Informação Complmntar para o profssor Embora não s rquira a dmonstração do rsultado xprsso nst dscritor convém rfrir qu ssa dmonstração pod sr lvada a cabo utilizando dirtamnt os rsultados já conhcidos d aproximação da função xponncial nomadamnt o qu ficou xprsso no dscritor 27 Com fito s comçando por supor por substituirmos para um arbitrário na xprssão obtrmos utilizando o binómio d Nwton xprimindo as rsptivas parclas d modo análogo ao qu foi fito no txto d apoio aos dscritors atrás: Podmos agora utilizar uma majoração análoga à qu s utilizou para obtr uma stimativa do númro para m particular vrificar qu a sucssão xponncial é limitada comçando por notar qu para analogamnt ao qu s obsrvou no rfrido txto d apoio ao dscritor 12 pod nss caso scrvr-s como o produto d parclas não infriors a dond finalmnt uma vz qu supusmos supondo agora também qu obtmos da igualdad antrior o nquadramnto: Uma vz qu para passando ao limit m as dsigualdads acima obtmos : Então passando agora ao limit quando tnd para Para obtr o limit quando tnd para stas dsigualdads concluímos qu tmos ainda para : dond s dduz imdiatamnt qu d facto Comntário Conhcidas as propridads das funçõs xponnciais dfinindo as funçõs logarítmicas como as rsptivas funçõs invrsas é possívl dduzir todas stas propridads com bastant facilidad Cadrno d Apoio FEL12 Página 50

52 A título d xmplo tomando S Tm-s dados númros rais positivos : ntão como a função xponncial d bas ou sja Por contra-rcíproca acabámos d provar qu a função é crscnt Sndo a função xponncial d bas é crscnt bijtiva 311 Comntário A difrnciabilidad a fórmula para o cálculo da drivada da função pod dduzir-s dirtamnt do rsultado para o caso particular da função st último d um torma gral rlativo à difrnciabilidad num ponto d continuidad da função invrsa d uma dada função difrnciávl com drivada não nula no ponto corrspondnt S for difrnciávl num ponto do domínio uma vz provada a difrnciabilidad d no ponto da igualdad do Torma d drivação da função composta aplicado no ponto podrá obtr-s dond rsulta m particular qu ncssariamnt qu Embora não s rquira a dmonstração da difrnciabilidad da função invrsa sta pod sr obtida dirtamnt a partir da dfinição d drivada; prtndmos provar qu xist o limit quando da razão incrmntal: { }; ss facto rsulta é ponto adrnt a Em particular tmos d vrificar qu { } pois isso significa qu xist uma sucssão d por hipóts sr ponto adrnt a d trmos no domínio d distintos d dond por continuidad { } já qu é injtiva Considrando agora uma sucssão d obviamnt os são distintos d por trmos m distintos d pondo plo qu: continuidad d m tndo-s Ond o limit é d facto finito igual ao valor indicado porqu por hipóts é difrnciávl m Concluímos assim como prtndíamos qu é difrnciávl m : Daqui rsulta para a função Cadrno d Apoio FEL12 invrsa d qu: Página 51

53 Esta dmonstração prssupõ no ntanto qu s conhc a continuidad da função propridad qu tm d sr prviamnt dmonstrada para s provar d manira simpls o qu é rqurido no dscritor 311 Admitida ssa continuidad podmos também vidntmnt dispnsar o torma gral rlativo à difrnciabilidad da função invrsa qu acabámos d xaminar muito simplsmnt utilizar dirtamnt a dfinição d drivada para o caso particular dsta função; assim trmos: Ora para cada o argumnto do logaritmo no último mmbro dsta cadia d quaçõs como sabmos convrg para quando tnd para qur por valors positivos qur por valors ngativos já qu nss caso convrg para ou para Portanto o limit m do primiro mmbro da cadia xist smpr é igual a Agora é fácil calcular a drivada d qualqur pois d obtmos portanto: dond: Rsta apnas provar a continuidad da função Para o fito sja uma sucssão a tndr para tal qu para qualqur ; prtndmos provar qu a sucssão d trmo gral convrg para Ora: assim tmos d mostrar qu dado xist uma ordm tal qu para : Como a função é crscnt sta cadia d dsigualdads é quivalnt a: ou sja a: Ora do qu s conhc da função xponncial dduz-s qu ; como a sucssão d trmo gral tnd para por dfinição d limit sabmos qu Cadrno d Apoio FEL12 Página 52

54 a partir d crta ordm trmos simultanamnt Portanto d facto atndndo às quivalências acima rfridas a convrg para sucssão d trmo gral o qu trmina a dmonstração da continuidad d ln Comntário Para calcular o limit m qustão podmos comçar por minorar a função dfinida m para um dado ss fito: ond por uma função qu tnd para é a função dfinida m por m por Tm-s ntão para qu é crscnt tnd para m cf txto d apoio rlativo ao dscritor 27 Ou sja dond s dduz cf FRVR12-15 o rsultado prtndido Est rsultado stnd-s facilmnt ao caso m qu é um qualqur númro ral; pois o caso m qu é trivial já qu s obtmos o produto d duas funçõs qu tndm para m A justificação do rsultado xprsso no dscritor 42 é bastant simpls bastando notar qu: aplicando m sguida o rsultado xprsso no dscritor antrior no caso qu tm limit m 43 atndndo a 1 Calcul caso xistam os sguints limits: * ; ; ; ; Cadrno d Apoio FEL12 ; Página 53

55 16 ; 17 2 Calcul m o limit das funçõs dfinidas plas sguints xprssõs utilizando mudança d variávl smpr qu lh parcr convnint ; 25 * ; 26 * ; 27 * 28 ; 29 ; 210 ; 211 * ; 212 ; 213 ; 3 Calcul ond é um númro natural 4 Calcul 5 Dadas sucssõs d trmos grais rsptivamnt tais qu tm os trmos todos positivos mostr qu: [Sugstão: comc por justificar qu ] 6 *Com hipótss adquadas dmonstr rsultados smlhants ao xprsso no xmplo 5 Admitindo qu possa também sr ou possa também sr ou Cadrno d Apoio FEL12 Página 54

56 7 Calcul os limits das sguints sucssõs: Calcul os limits das sguints sucssõs: 81 [cf FRVR12-31 xmplo 23] Comntário Nst dscritor rfrm-s alguns problmas m difrnts áras do conhcimnto cujo studo pod lvar a um modlo matmático nvolvndo o qu s chama uma «quação difrncial ordinária d 1ª ordm» d tipo muito particular nomadamnt qu pod sr scrita na forma ond é um dado númro ral Ou sja uma quação cujas soluçõs são funçõs rais d variávl ral dfinidas m intrvalos difrnciávis satisfazndo m cada ponto do rsptivo domínio Considrmos para comçar o problma qu consist m dtrminar a volução ao longo do tmpo da massa d dtrminada substância radioativa Dsd a dscobrta da radioatividad qu s sab qu dtrminadas substâncias mitm continuamnt partículas o qu corrspond a altraçõs da rsptiva strutura atómica d tal modo qu ao longo do tmpo os átomos da substância inicial s vão transformando m átomos d outras substâncias sofrm o chamado «dcay» «dcaimnto» ou «dsintgração radioativa» numa cadia caractrística d cada lmnto radioativo Da substância inicial sobra smpr uma porção corrspondnt aos átomos qu ainda não s dsintgraram qu vidntmnt diminui progrssivamnt com o tmpo Dsignando por a massa d substância qu ainda não s dsintgrou proporcional ao númro d átomos qu não sofrram o chamado dcaimnto radioativo o problma stá m obtr informaçõs acrca da função m dado intrvalo d tmpo A anális do fnómno físico qu prsid à variação d com o tmpo sugr qu a probabilidad d um átomo d dtrminada substância iniciar o procsso d dsintgração radioativa durant um príodo d uma unidad d tmpo é constant ou sja m cada um dsss príodos a massa d substância qu sofr dsintgração é m média uma prcntagm fixa da massa xistnt Assim obtém-s a massa total qu s dsintgra ntr os instants multiplicando por ssa prcntagm da massa xistnt; st postulado stá formulado com crto grau d imprcisão uma vz qu a massa dvrá variar ntr os instants plo qu s pod pôr a qustão d sabr xatamnt d qu massa s dv considrar a prcntagm Podmos comçar por supor qu srá da massa considrada Cadrno d Apoio FEL12 Página 55

57 m crto instant intrmédio ; trmos ntão: para crta constant ou sja Para podrmos supor qu a função é solução d alguma quação difrncial trmos d fazr a hipóts d s tratar d função difrnciávl Esta hipóts tm vidntmnt algum grau d irralismo já qu m crto intrvalo d tmpo o númro d átomos qu comçou a dsintgrar-s é intiro plo qu a variação d s faz por múltiplos intiros da massa d um átomo da substância tratando-s portanto smpr d função m scada logo dscontínua m muitos instants portanto crtamnt não difrnciávl Como no ntanto a massa d cada átomo é muito rduzida rlativamnt à massa total m studo podmos tntar aproximar a função massa por uma função difrnciávl pois por xmplo para intrvalos d tmpo rduzidos mas significativos do ponto d vista xprimntal tmos a prcção d qu a variação d massa srá também rduzida o qu plo mnos justifica a hipóts d continuidad Formalmnt podríamos até justificar a continuidad através da quação acima pois dla rsulta qu para cada é dcrscnt como função d plo qu podríamos majorar por qu tnd para zro quando analogamnt substituindo na rfrida quação por obtmos para dond s dduz qu tnd para zro quando ou sja também tnd para zro quando o qu mostra qu é d facto contínua m todo o D qualqur modo os prssupostos qu s fazm ao procurar adotar um modlo matmático para studar dtrminado fnómno têm smpr algum grau d arbitraridad corrspondndo a crta simplificação da ralidad Uma vz dsnvolvidas as consquências matmáticas do modlo adotado confrontados os rsultados com a ralidad m studo pod-s afrir o grau d prcisão do modlo Caso s vrifiqum discrpâncias notávis com os rsultados da xpriência dvr-s-ão rxaminar os prssupostos qu lhs srviram d bas procurando vntualmnt aproximá-los mais da ralidad obsrvada Rpt-s ntão o procsso d dsnvolvr a toria matmática rsultant agora dos novos prssupostos d confrontar com a ralidad os rsultados tóricos obtidos podndo prossguir-s do msmo modo indfinidamnt o qu constitui no fundo o progrsso normal das ciências nvolvndo procssos d matmatização No caso sobr o qual nos stamos a dbruçar fita a hipóts d continuidad d podmos passar ao limit quando no sgundo mmbro da última quação acima pois ssa continuidad garant qu ss limit é igual a já qu indpndntmnt da scolha d para cada tr-s-á smpr quando já qu por construção Obtmos assim: Raciocínio idêntico pod sr lvado a cabo rlativamnt a cada intrvalo prmit obtr também: o qu Cadrno d Apoio FEL12 Página 56

58 A igualdad dsts dois limits garant qu a função é difrnciávl : Examinmos agora outro xmplo d problma cuja rsolução nvolv uma quação do msmo tipo Pnsmos na volução d dtrminada população por xmplo d srs humanos nacionais d dtrminado país Dsignando por o númro d indivíduos xistnts m dado instant prtndmos studar a volução da função procurando fazr hipótss tão ralistas quanto possívl acrca da população d modo a podrmos no ntanto supor qu é solução d dtrminada quação difrncial Tal como para o caso da dsintgração radioativa também é claro agora qu a população só aproximadamnt s pod considrar como função difrnciávl do tmpo ou msmo contínua uma vz qu só pod tomar valors intiros uma função contínua só tomando valors intiros m dado intrvalo sria ncssariamnt constant Nst caso porém considrando populaçõs constituídas por grand númro d indivíduos rlativamnt à variação qu nssas populaçõs ocorr m pqunos intrvalos d tmpo podmos conjturar qu a aproximação por funçõs difrnciávis srá adquada plo mnos m crtos casos Comcmos por supor qu a variação d ao longo do tmpo é apnas consquência das morts nascimntos qu vão ocorrndo ou sja supõ-s qu a migração imigração s compnsam; m primira aproximação é razoávl supor qu o númro d morts qu ocorr por unidad d tmpo é proporcional à população total xistnt com crta constant d proporcionalidad diz-s taxa d mortalidad média por habitant bm como o númro d nascimntos com crta constant d proporcionalidad taxa d natalidad média por habitant Trmos ntão o sguint cálculo aproximado para a população no instant dada a população no instant : not-s qu podríamos comçar por fazr uma anális mais fina dstas hipótss à imagm por com do qu s fz como dcaimnto radioativo substituindo sguindo o raciocínio acima dsnvolvido Com a hipóts d difrnciabilidad trmos m cada instant por passagm ao limit quando : quação já nossa conhcida pois é mais uma vz da forma por «taxa d crscimnto médio por habitant» Muitas vzs dsigna-s Finalmnt considrmos a li d Nwton do arrfcimnto/aqucimnto qu stablc qu a taxa d variação instantâna da tmpratura d um corpo é dirtamnt proporcional à difrnça ntr a tmpratura ambint a tmpratura do corpo Rprsntando por a tmpratura do corpo no instant por a tmpratura ambint suposta constant trmos ntão para crta constant : Embora sta quação não sja xatamnt da msma forma das antriors s dfinirmos trmos: Cadrno d Apoio FEL12 Página 57

59 Not-s qu podríamos tr passado por uma ddução da quação mais cuidadosa a xmplo do qu s fz para a dsintgração radioativa comçando por xprimir a li d Nwton do arrfcimnto primiramnt não m tmos da taxa d variação instantâna da tmpratura o qu faz dsd logo intrvir uma drivada mas da variação da tmpratura m pqunos intrvalos d tmpo postulando qu a variação da tmpratura por unidad d tmpo é uma prcntagm fixa da difrnça d tmpratura ntr o corpo o ambint havndo arrfcimnto ou aqucimnto consoant o corpo stá a uma tmpratura suprior ou infrior ao ambint fazndo considraçõs smlhants às ftuadas a propósito do dcaimnto radioativo ou do modlo aprsntado d crscimnto populacional 52 Comntário Establcidos alguns modlos d fnómnos da naturza qu conduzm a studar as funçõs dfinidas m intrvalos d qu satisfazm para no rsptivo domínio a: ond é uma constant indpndnt d podmos agora procurar caractrizar ssas funçõs utilizando xprssõs analíticas nossas conhcidas Ora conhcmos uma função a xponncial cuja drivada coincid com a própria função facilmnt s constrom a partir dla funçõs satisfazndo a quação acima para todo o Com fito tmos obviamnt: ond a difrnciação é fita naturalmnt m ordm a Ou sja a função é solução da primira quação acima m todo o o msmo s podndo concluir para qualqur função dada por uma xprssão analítica da forma ond é uma constant ral qualqur Põ-s agora a qustão d sabr qu outras funçõs também srão soluçõs dssa msma quação Ora s supusrmos qu uma dada função é solução da rfrida quação m s multiplicarmos ambos os dado intrvalo d ou sja s para mmbros dsta quação por obtrmos para todo o : A última quação dsta cadia garant qu a função xist tal qu para todo o : é constant m ou sja qu ou ainda: Acabámos d dmonstrar qu as funçõs dadas plas xprssõs analíticas m intrvalos d sgotam as soluçõs dfinidas m intrvalos da quação difrncial Ainda podmos notar qu s conhcrmos o valor d dtrminada solução m crto ntão trmos: portanto xist uma somnt uma solução m da quação considrada qu é dada por: Cadrno d Apoio FEL12 Página 58

60 Um outro método qu pod sr utilizado para s obtr sta forma gral para as soluçõs da quação inicial após a abordagm do domínio «Primitivas Cálculo Intgral» consist m partir da quação intgrar ambos os mmbros num intrvalo gnérico da forma Utilizando a fórmula d Barrow obtmos imdiatamnt: No txto d apoio ao dscritor 64 vrmos como aplicar stas conclusõs aos problmas rfridos no dscritor 51 para m cada caso avançarmos na rsolução d divrsas qustõs qu s podm colocar 61 1 Foi ftuado um dpósito a um ano d num banco no rgim d juro composto à taxa anual d 11 Qual o capital acumulado ao final d um ano? 12 Mostr qu o capital acumulado ao fim d anos é d aproximadamnt 13 Justifiqu qu a sucssão dos capitais acumulados m cada um dos anos a partir do primiro é uma progrssão gométrica d razão 14 Obtnha a xprssão qu prmit obtr o capital acumulado ao fim d anos 15 Utiliz a calculadora para dtrminar ao fim d quantos anos é possívl obtr um capital acumulado suprior a 16 Supondo qu é dada a opção d capitalizar juros pagos proporcionalmnt m cada príodo d três mss mas com uma taxa d apnas 19% ao ano dtrmin s um tal dpósito prmit obtr ao fim d um ano um capital acumulado maior ou mnor do qu o obtido na opção acima dscrita 2 *O snhor Estvs adriu a um plano d poupança a uma taxa d juro smstral d m rgim d juro composto Para tal ftuou um dpósito d m janiro d compromtu-s a ftuar rforços d cada sis mss Sabndo qu st plano d poupança trmina m janiro d qual o capital acumulado ao fim dst príodo d tmpo? qu 62 1 Considr númros rais positivos difrnts d tais qu Dtrmin o valor d: 11 ; 12 ; 13 + ; 14 ; 2 Rsolva m as sguints condiçõs xprimindo as soluçõs como intrvalos ou uniõs d intrvalos quando não form m númro finito ou numrávl: Cadrno d Apoio FEL12 Página 59

61 26 27 ; 28 ; 29 * ; 3 **Mostr qu para todo o 63 1 Considr as funçõs dfinidas por 11 Indiqu o domínio d stud a xistência d assíntotas ao gráfico d 12 Rsolva a quação 13 Dtrmin uma xprssão analítica para a função invrsa d o rsptivo domínio 14 Dtrmin a função drivada d idntifiqu os intrvalos d monotonia d 15 Dtrmin o domínio da função 16 Justifiqu qu o ixo é assíntota do gráfico d m m 17 Avrigu s o gráfico da função admit assíntotas vrticais 18 Rsolva a condição 2 A partir do instant m qu foi administrada uma mdicação por via oral a quantidad do mdicamnto xistnt no sangu m é dada pla fórmula com m horas 21 Qual a quantidad d mdicamnto xistnt no organismo ao fim d horas? Aprsnt o rsultado arrdondado às décimas 22 Ao fim d quanto tmpo a quantidad d mdicamnto no organismo ating o valor máximo? Aprsnt o rsultado m horas minutos arrdondados às unidads 23 Sab-s qu a ficácia do tratamnto dpnd da xistência d uma quantidad mínima d no organismo Utiliz a calculadora gráfica para dtrminar durant quanto tmpo é garantida a quantidad mínima no organismo ftuando um studo prévio da função qu lgitim o procsso Aprsnt o rsultado m horas arrdondado às décimas 3 Esboc os gráficos das funçõs dadas rsptivamnt por cada uma das sguints xprssõs analíticas comçando por dtrminar os rsptivos domínios intrvalos d monotonia xtrmos rlativos concavidads inflxõs 31 ; * 34 ** * * ; Cadrno d Apoio FEL12 Página 60

62 39 ** ; 310 ** 4 Considr a função dfinida m por 41 *Calcul a drivada d 42 **Mostr qu a drivada d pod sr xprssa como o produto d por uma função qu é crscnt m dcrscnt m tnd para zro m m conclua qu é crscnt tanto m como m 43 Srá uma função crscnt? Justifiqu 44 **Calcul os limits d m m sboc o gráfico d 64 Comntário Ao abordarm situaçõs concrtas do tipo das rfridas no dscritor 51 ou sja as qu podm sr modladas rcorrndo a quaçõs difrnciais da forma ond é uma constant ral é mais provitoso qu plo mnos numa primira fas os alunos procurm sguir os procssos dscritos no txto d apoio ao dscritor 52 m lugar d aplicarm apnas as conclusõs finais ntão rfridas No ntanto dando squência a ssa xposição vjamos m cada um dos modlos rfridos m 51 alguns xmplos do qu pod sr intrssant dsnvolvr a partir das conclusõs rfridas m 52 podndo as considraçõs qu s sgum constituir uma font d inúmros problmas concrtos d aplicação dsts concitos No caso do dcaimnto radioativo traduzindo dirtamnt a conclusão final do txto d apoio ao dscritor 52 uma vz qu as funçõs massa satisfazm ficamos a sabr qu tais funçõs são todas da forma: ond é a massa da substância radioativa m dtrminado instant Para qu sta solução possa sr utilizada para a rsolução d problmas práticos é ncssário conhcr a constant caractrística d cada substância A própria forma das soluçõs prmit-nos chgar a um procsso xquívl para a dtrminação d ; com fito supondo conhcida a massa da substância radioativa prsnt m dtrminada amostra m dois instants s dsignarmos por a massa no instant trmos: ou sja podmos agora scrvr a solução apnas m função d : Estas fórmulas prmitm também notar qu no caso particular m qu obtmos: m particular o tmpo qu a massa lva a rduzir-s a mtad dsignado por «halflif» «smivida» não dpnd da massa inicial é uma quantidad caractrística da Cadrno d Apoio FEL12 Página 61

63 substância radioativa m qustão S dsignarmos a smivida por trmos ntão: obtmos também m função da smivida: O fnómno d dcaimnto radioativo prmit m alguns casos dtrminar a idad d dtrminados objtos construídos com substâncias d origm orgânica madira por xmplo plo facto d s sabr qu a prcntagm d carbono 14 isótopo radioativo no carbono xistnt nos srs vivos s mantém snsivlmnt constant já qu sts srs ao alimntarm-s acabam por absorvr o carbono 14 xistnt no dióxido d carbono da atmosfra através da fotossínts das plantas qu dirta ou indirtamnt ntram na cadia alimntar; quanto ao carbono 14 xistnt na atmosfra a rsptiva prcntagm no carbono total dvido aos bombardamntos prmannts por raios cósmicos mantém-s snsivlmnt constant ao longo do tmpo as variaçõs ftivas dssa prcntagm podm sr lvadas m conta numa anális mais fina Quando um dsss srs morr o carbono 14 qu continha comça a dcair d acordo com a li qu acabámos d studar já qu não há absorção d novas quantidads dssa substância Comparando a taxa d dsintgração radioativa na amostra qu s prtnd datar num sr ainda vivo é possívl sabr há quanto tmpo morru o sr a árvor por xmplo d ond foi colhido o matrial utilizado Para o fito basta utilizar a fórmula acima para m função d s quisrmos xprimir o rsultado m função da smivida a fórmula qu rlaciona com : Como m gral o qu s md dirtamnt são as taxas d dcaimnto não as massas subsistnts d substância radioativa podmos ainda notar qu da própria quação rsulta imdiatamnt qu: plo qu a fórmula antrior para o lapso d tmpo qu s procura conhcr pod xprimir-s na forma: fórmula qu pod sr dirtamnt usada no chamado método d datação plo Carbono 14 Quanto ao modlo proposto d crscimnto populacional as soluçõs podm sr todas xprssa na forma: ond é a população no instant Assim s a taxa d natalidad média por habitant for suprior à taxa d mortalidad a população trá crscimnto xponncial ao passo qu no caso a população tndrá xponncialmnt para a xtinção Est modlo dito Malthusiano m homnagm a Malthus clsiástico inglês qu na viragm do século XVIII para o século XIX aprsntou st modlo fazndo a partir dl prvisõs catastróficas para Cadrno d Apoio FEL12 Página 62

64 o futuro da Humanidad tm vidntmnt forts limitaçõs pois não lva m conta a limitação dos rcursos a imigração migração as variaçõs das taxas d natalidad mortalidad os conflitos tc Embora não sjam rfridos nas mtas xistm modlos populacionais gralmnt mais ralistas qu o prcdnt qu lvam m conta as limitaçõs d rcursos dtrminando qu uma dada população não pod ultrapassar crto valor limit nss caso supõ-s qu a taxa d crscimnto médio por habitant m dado instant é ants proporcional ao produto Obtém-s assim a quação dita «d crscimnto logístico» para crto : Curiosamnt podmos chgar a uma quação do msmo tipo fazndo a hipóts d qu para além dos nascimntos morts naturais sujitos a taxas médias constants por habitant há outras morts qu rsultam da conflitualidad ou comptição ntr indivíduos supondo-s por xmplo qu cada ncontro ntr dois indivíduos tm dtrminada probabilidad constant d sr fatal o qu dtrmina qu o númro d morts dst tipo por unidad d tmpo sja suposto proporcional ao númro d ncontros possívis ntr dois indivíduos da população ocorrndo sts ncontros alatoriamnt mas uniformmnt m rlação ao tmpo o qual vidntmnt srá m dtrminado instant igual ao númro d pars não ordnados qu s podm formar com indivíduos qu é no caso m qu é um númro natural Assim tríamos com as aproximaçõs habituais: o qu conduz à quação: com Não studarmos propriamnt st tipo d quaçõs mas nada impd qu s dscrva o modlo aos alunos qu vrifiqum por xmplo qu dtrminada função é solução propondo-s problmas nvolvndo ssa função Not-s qu o studo dsta quação pod rduzir-s a uma primitivação dirta pois supondo qu a população nunca ating nm s anula a quação é quivalnt a: E podmos facilmnt intgrar ambos os mmbros ntr dois instants obtndo a forma gral das soluçõs com aqulas caractrísticas dsd qu conhçamos uma primitiva da função d : Assim st studo pod corrspondr a problmas d nívl mais avançado qu podm também sr abordados a propósito do domínio «Primitivas Cálculo Intgral» Cadrno d Apoio FEL12 Página 63

65 Tal como no caso do dcaimnto radioativo também agora no caso malthusiano podmos dispnsar o conhcimnto prévio da constant dsd qu s tnha acsso a cnsos da população m dois instants difrnts; assim rfazndo os cálculos acima ftuados no caso do dcaimnto obtmos para valors da população m instants rsptivamnt : portanto: Finalmnt quanto ao modlo d Nwton d aqucimnto/arrfcimnto ou sja com trmos: sndo a tmpratura do corpo no instant portanto: ou sja a tmpratura m cada instant é uma média psada ntr a tmpratura inicial do corpo a tmpratura ambint d modo qu o pso associado à tmpratura do corpo tnd para zro xponncialmnt o pso associado à tmpratura ambint tnd para também xponncialmnt Tal como nos modlos antriors também s podria dtrminar o valor d conhcndo o valor da tmpratura m instants rsptivamnt : Sgum-s alguns xmplos d problmas qu podm sr propostos aos alunos rlacionados com sts modlos Os nunciados os nívis d dsmpnho podrão sr adaptados d acordo com o qu tivr sido discutido prviamnt acrca dos divrsos modlos abordados 1 A população da Nova Zlândia ra d habitants m 1921 d 1344 m 1926; supondo qu a volução da população dst país obdcia a uma li Malthusiana taxa constant d crscimnto populacional por habitant dtrmin a população para qualqur instant Sabndo qu os valors rais ram m milhõs d habitants rsptivamnt m 1935 m 1945 m 1953 m 1977 discuta a adquação do modlo adotado à ralidad no príodo d tmpo considrado calculando as prcntagns d rro do modlo rlativamnt aos dados rais 2 *Durant um crto príodo a população d um dado país é dada m milhõs d habitants por ond é o tmpo m anos dcorrido dsd o dia 1 d Janiro d 1960 A taxa d mortalidad anual é aproximadamnt d para cada habitants a taxa d natalidad d para cada habitants Todos os anos chgam ainda ao país crca d novos imigrants 21 Calcul m função d 22 Supondo qu as morts nascimntos s distribum uniformmnt ao longo do tmpo ou sja qu as taxas d mortalidad natalidad por habitant m dtrminado príodo d tmpo mdido m anos são dirtamnt proporcionais a calcul m função d Cadrno d Apoio FEL12 Página 64

66 23 Fazndo a aproximação para suficintmnt pquno mostr qu a função satisfaz a quação difrncial 24 Dtrmin uma xprssão para a função dfinida por dpois d stablcr uma quação difrncial satisfita por sta função sabndo qu m 1950 a população do país é d milhõs d habitants 25 Dtrmin uma xprssão para a função Nst rgim ao fim d quanto tmpo duplicará a população? 3 Uma massa d gramas d Rádio 226 xistnt numa amostra no instant dsintgra-s ao longo do tmpo Em todo o instant a taxa d variação instantâna da massa é proporcional à massa xistnt nss instant Sabndo qu ao fim d ano a massa d Rádio é igual a gramas calcul o tmpo ncssário à dsintgração d mtad da massa inicial Aprsnt o rsultado m anos arrdondado a unidad 4 O Carbono 14 sofr dsintgração radioativa d tal forma qu a taxa d variação da massa xistnt ao fim d anos é dirtamnt proporcional a sndo a constant d proporcionalidad igual a 41 Prov qu a partir d uma massa inicial a massa xistnt ao fim d anos é dada pla fórmula 42 Uma amostra rcolhida num túmulo contém apnas do carbono 14 prvisto m organismos vivos Dtrmin a idad aproximada dssa amostra m anos aproximada à unidad 43 Uma amostra d origm vgtal foi datada d aproximadamnt anos Qual a prcntagm d carbono 14 contida nssa amostra? Aprsnt o rsultado arrdondado às cntésimas 5 Durant um crto príodo o númro d ursos numa rsrva natural é dado por ond é o tmpo m anos dcorrido a partir do dia 1 d Janiro d 1990 A função vrifica 51 Mostr qu a função dada pla xprssão satisfaz a quação difrncial Admitirmos até ao final do xrcício qu é d facto dsta forma 52 Calcul o valor da constant m função da população inicial 53 Qual a volução da população s? Intrprt o rsultado obtido 54 **Considr qu Em qu instant a taxa instantâna é máxima? Esboc o gráfico d intrprtando gomtricamnt dtrminando valors aproximados dos vntuais pontos notávis do gráfico com o auxílio d uma calculadora gráfica [Sugstão: para o studo da função nomadamnt para studar a monotonia concavidads pod utilizar a própria quação difrncial] 6 Uma substância dsintgra-s d tal forma qu uma massa inicial d 12mg s rduz a 4mg m mia hora Sab-s por outro lado qu a taxa d variação instantâna da massa ou «taxa d dsintgração» m dtrminado instant é proporcional à massa xistnt nss instant 61 Prov qu considrando a massa inicial indicada a massa m dsta substância ao fim d horas é dada pla xprssão 62 Dfinindo a «taxa d dsintgração média» num dado intrvalo por compar a taxa d dsintgração média na primira na sgunda hora Cadrno d Apoio FEL12 Página 65

67 63 Dtrmin a taxa d dsintgração ao fim d uma hora mia ao fim d 3 horas 64 Dtrmin a xprssão d stud o rsptivo sinal dscrva como varia a taxa d dsintgração dsta substância xpliqu o significado dss rsultado no contxto da situação 7 *Um copo com água acabada d frvr portanto à tmpratura d C é dixado arrfcr numa sala à tmpratura ambint d C Sabndo-s qu ao fim d dois minutos a tmpratura da água ating C ao fim d quanto tmpo atingirá a tmpratura d C? Cadrno d Apoio FEL12 Página 66

68 Primitivas Cálculo Intgral PCI12 Dscritor Txto d Apoio 16 Comntário Ainda qu as justificaçõs pdidas sjam bastant simpls há qu tr m atnção qu não s trata aqui d mostrar igualdads ntr funçõs mas igualdads ntr famílias d funçõs D facto rprsnta a família d funçõs dadas por xprssõs da forma ond é uma qualqur primitiva d rprsnta a família d funçõs ou sja ond são rsptivamnt primitivas d d Assim mostrar qu é quivalnt a mostrar qu difrm por uma constant ou sja uma vz qu s trata d funçõs difrnciávis num intrvalo qu têm a msma drivada: Da msma forma para mostrar qu o qu é vrdad por linaridad da difrnciação qu 17 é quivalnt a mostrar 1 Calcul m intrvalos convnints as sguints primitivas: ** ** 117 Cadrno d Apoio PCI12 Página 67

69 21 Comntário Uma construção rigorosa do intgral dfinido - rcorrndo por xmplo a somas d Rimann ou d Darboux ncontra-s fora do âmbito do prsnt Programa Dsta forma é ftuada nos rstants objtivos grais dst domínio uma introdução à noção d intgral rcorrndo à noção d ára Not-s qu m rigor a ára d rgiõs do plano dlimitadas por gráficos d funçõs contínuas por rtas vrticais não s ncontra dvidamnt dfinida plo qu a prsnt abordagm dv sr considrada intuitiva 22 Informação complmntar para o profssor O símbolo atualmnt utilizado para rprsntar o intgral d uma função foi introduzido por Libniz no século XVII é muito simplsmnt a forma ntão gralmnt utilizada para a ltra «s» xcto quando na posição final das palavras ou na sgunda posição d um duplo «s» no intrior d uma palavra Prtndia-s assim abrviar a palavra latina summa ou sja soma qu ra a dsignação qu Libniz prtndia atribuir à soma d quantidads infinitsimais mbora tnha sido suplantada pla d intgral qu Johann Brnoulli popularizou O símbolo ra inicialmnt utilizado sm a indicação dos xtrmos qu quando ncssário ram concrtizados no dcorrr da xposição As parclas rprsntavam o produto do valor d uma função m dtrminado ponto do rsptivo domínio plo comprimnto d um intrvalo ond s situava considrado infinitsimal ou sja d comprimnto dsprzávl ond portanto s supunha qu o valor da função não variava tomando smpr o valor Quando a função ra positiva rprsntava portanto a mdida d ára d um rtângulo com um dos lados d mdida infinitsimal a soma das áras d todos os rtângulos assim considrados sria igual dst modo à ára abaixo do gráfico da função m unidads quadradas Uma notação ntão utilizada para a drivada ainda hoj bastant vulgarizada consistia m rprsntar a drivada d uma função por O qu rcorda a origm da noção d drivada qu é o limit d uma razão ntr o acréscimo da variávl dpndnt o acréscimo a qu corrspond na variávl indpndnt Com sta notação a rprsntação utilizada para o intgral a rsptiva intrprtação forncm d alguma manira uma mnmónica para a fórmula d Barrow já qu s cortarmos no dnominador com o do símbolo d intgração como s a drivada foss um vrdadiro quocint o no símbolo d intgral foss uma vrdadira quantidad multiplicativa obtríamos S a última xprssão for intrprtada como uma soma dos acréscimo corrspondnts aos acréscimos infinitsimais sucssivos m qu imaginamos qu s ftuam para qu prcorra dtrminado intrvalo d intgração notamos qu as sucssivas parclas para ntr s anulam todas com xcpção d corntmnt com a fórmula d Barrow já qu plo qu o rsultado final é vidntmnt é uma primitiva d Cadrno d Apoio PCI12 Página 68

70 24 25 Comntário A monotonia do intgral dfinido no caso considrado no dscritor 24 pod sr considrada como consquência imdiata d uma propridad intuitiva da noção d ára qu admitirmos: uma part do plano tm smpr ára suprior ou igual a um su subconjunto Quanto ao dscritor 25 a prova pdida pod por xmplo sr a sguint basando-s mais uma vz m propridads intuitivas da noção d ára qu admitirmos para st fito utilizarmos quando ncssário sm as nomar xplicitamnt: Sja ntão uma função contínua não ngativa num intrvalo dfinida m Fixado por dado tal qu é plo dscritor 21 a mdida da ára da rgião do plano dlimitada plo gráfico d o ixo das abcissas as rtas vrticais formadas plos pontos d abcissas Tm-s assim Plo Torma d Wirstrass admit um mínimo um máximo no intrvalo ambos não ngativos Como para nss intrvalo s tm o rsultado mncionado no dscritor 24 implica qu ou sja Dstas dsigualdads pod-s concluir qu Obsrvando qu por continuidad d no ponto plo Torma das funçõs nquadradas Cadrno d Apoio PCI12 Página 69

71 Por um procsso análogo fixando facilmnt s conclui qu considrando tal qu plo qu plo rsultado xprsso no dscritor FRVR11 17 é difrnciávl m Tm-s ainda já qu s trata da ára d um sgmnto d rta stá contido m rtângulos d ára arbitrariamnt pquna plo qu tal ára majorada por númros positivos arbitrariamnt pqunos só pod sr nula 26 Comntário Com as notaçõs do dscritor antrior basta obsrvar tomando qu Tomando agora uma qualqur primitiva garant a xistência d tal qu Assim na igualdad da função no intrvalo o dscritor 12 Comntário Nsts dscritors stnd-s o concito d intgral às funçõs contínuas dfinidas num dado do intrvalo intrvalo para as quais xist uma «dcomposição» tal qu m cada intrvalo é não positiva ou não ngativa São ssncialmnt as funçõs qu altrnam d sinal um númro finito d vzs Not-s qu xistm funçõs contínuas qu não satisfazm st critério como por xmplo a função dfinida no intrvalo por s A intgrabilidad d tais funçõs fica portanto fora do âmbito do prsnt Programa Cadrno d Apoio PCI12 Página 70

72 Para s chgar à dfinição xprssa no dscritor 210 uma primira tapa dscritor 28 consist m dfinir o intgral d uma função contínua não positiva num intrvalo como o simétrico da mdida da ára da rgião do plano dlimitada plo gráfico da função as rtas d quação o ixo das abcissas Com sta dfinição rconhcndo intuitivamnt qu a ára d uma dada rgião do plano é prsrvada pla rflxão d ixo assim como por qualqur isomtria facilmnt s obtém qu Podrá ntão dfinir-s o intgral no intrvalo d uma função qu altrn d sinal nss intrvalo um númro finito d vzs como mncionado mais acima pla fórmula dvndo naturalmnt tr-s o cuidado d obsrvar qu sta quantidad não dpnd da scolha da dcomposição É fácil vrificar qu com sta dfinição o Torma Fundamntal do Cálculo s stnd a sta class d funçõs: Dado xist tal qu é não ngativa ou não positiva no intrvalo S for não ngativa nss intrvalo sabmos já qu antriormnt ond como S for não positiva no intrvalo a idntidad prmit rduzir o problma ao caso antrior Da msma forma s mostra qu para qu dond s conclui Podrá ntão stndr-s facilmnt a stas funçõs a fórmula d Barrow m sguida as rstants propridads lncadas no dscritor Calcul o valor d cada um dos sguints intgrais: Cadrno d Apoio PCI12 Página 71

73 * 111 * 2 Calcul a drivada das funçõs dfinidas plas sguints xprssõs: * 24 ** 3 Dada uma função contínua num intrvalo dfin-s a «média d m» por 31 Calcul a média das funçõs dfinidas plas sguints xprssõs nos intrvalos indicados: 311 [ ] ; 312 ; 313 num intrvalo d amplitud igual ao rsptivo príodo positivo mínimo 32 **Considr um ponto matrial qu s dsloca ao longo d um ixo Mostr qu a média da função vlocidad sgundo sta dfinição coincid com a vlocidad média 33 *Sja uma função afim Dtrmin um ponto do intrvalo tal qu 4 **Considr a função dfinida m por 41 Mostr qu é ímpar 42 Mostr qu a função é limitada comçando por justificar qu para 43 Estud a monotonia d o sntido da concavidad do rsptivo gráfico 44 Mostr qu xist é finito 45 Calcul a quação da rta tangnt ao gráfico d nos pontos d abcissa 46 Mostr qu para todo o 47 Esboc o gráfico d 5 **Mostr qu a primitiva nula m d uma função par dfinida m é impar Cadrno d Apoio PCI12 Página 72

74 6 Calcul num intrvalo convnint a primitiva nula m 61 das funçõs dfinidas por 62 7 Calcul constants rais não nulas tais qu para todo o dduza uma xprssão da primitiva por 32 nula m { } da função dfinida no intrvalo 1 Sjam funçõs dfinidas primitivávis num intrvalo 11*Drivando o produto mostr qu sndo uma primitiva d é uma primitiva d 12 Dduza da alína antrior qu: ntão 13 Utilizando o rsultado da alína antrior dtrmin a primitiva das sguints funçõs comçando por scrvê-las adquadamnt na forma : ** Um ponto matrial dsloca-s na rta numérica stando m cada instant sndo o tmpo mdido m sgundos submtido à aclração igual a unidads d comprimnto por sgundo quadrado Calcul a posição qu ocupa o ponto no instant sabndo qu s ncontra no instant na origm qu a vlocidad d é no instant d unidads d comprimnto por sgundo no sntido positivo 3 Um ponto matrial dsloca-s na rta numérica stando m cada instant na unidad d aclração corrspondnt submtido à aclração 31 *Mostr qu s a vlocidad inicial ou sja no instant d for não nula ating pontos arbitrariamnt afastados da rsptiva posição inicial 32 Esta propridad mantém-s quando a vlocidad inicial d é nula? 33 Calcul a vlocidad a posição inicial d sabndo qu nos instants o ponto s ncontra na origm do rfrncial 4 *Um ponto matrial dsloca-s na rta numérica stando m cada instant ond submtido à aclração Calcul para qu vlocidads inicialais ou sja no instant a trajtória d é limitada isto é todas as posiçõs d ao longo do tmpo prtncm a um dado intrvalo limitado Calcul nss caso a amplitud da trajtória d isto é a maior distância ntr dois pontos dssa trajtória 33 1 Calcul a mdida da ára da rgião do plano formada plos pontos qu do plano tais 2 *Calcul a mdida da ára da rgião do plano formada plos pontos qu do plano tais 3 Calcul a mdida da ára da rgião do plano dlimitada plos gráficos das funçõs dfinidas por Cadrno d Apoio PCI12 Página 73

75 4 Na figura stão rprsntadas parts dos gráficos das funçõs dfinidas por Calcul a mdida da ára da rgião do plano dlimitada plos gráficos plas rtas parallas ao ixo qu intrstam o ixo nos pontos d abcissa 5 *Na figura stá rprsntado um quadrilátro num rfrncial d tal forma qu Dtrmin a mdida da ára do quadrilátro utilizando intgrais adquados 6 *Na figura stão rprsntadas parts dos gráficos das funçõs dfinidas por Calcul a mdida da ára da rgião do plano dlimitada plos gráficos d plos ixos coordnados utilizando intgrais adquados 7 Calcul a mdida da ára da rgião do plano dlimitada plas parábolas d quação 8 *Calcul a mdida da ára da rgião do plano dlimitada pla parábola d quação plas tangnts ao gráfico d nos pontos d intrsção com o ixo das abcissas Cadrno d Apoio PCI12 Página 74

76 Númros Complxos NC12 Dscritor Txto d Apoio Informação Complmntar para o profssor A mudança d variávl prmit transformar a quação do trciro grau ond na quação com Dsta forma para dtrminar as raízs d uma qualqur quação do trciro grau bastará studar as quaçõs da forma m qu o coficint d é nulo Tratando-s d uma quação do trciro grau a dtrminação d uma única raiz prmit conhcr todas as vntuais rstants raizs por divisão d polinómios utilização da fórmula rsolvnt para quaçõs do sgundo grau É nst contxto qu s insr a fórmula dita d Cardano: quando o discriminant é positivo ou nulo o númro ral é raiz da quação D facto tomando sta última quação é quivalnt a ou sja Dsta forma uma condição suficint para s obtr uma raiz consist m rsolvr o sistma Substituindo na sgunda quação sgundo grau obtém-s a quação do cujo discrimant é igual a Dsta forma s tomando da quação inicial é possívl scolhr ou sja isto é Tm-s ntão Obtém-s assim o rsultado anunciado: da quação é uma raiz ral Os númros complxos aparcm historicamnt no dcurso d uma tntativa d obtr soluçõs rais d quaçõs do trciro grau d discriminant Um xmplo caractrístico ntr outros é a quação O discriminant é igual a Cadrno d Apoio NC12 obtndo-s assim Página 75

77 Esta xprssão não tm obviamnt qualqur significado uma vz qu o símbolo não tm significado No ntanto oprando formalmnt com st símbolo considrando qu tm-s ou ainda Embora todos sts cálculos não tnham significado obtv-s qu é d facto uma raiz da quação É com sts cálculos qu nasc a motivação d s construir d forma matmaticamnt corrta uma xtnsão d das rsptivas opraçõs qu contnha um lmnto tal qu Comntário Ainda qu todos sts cálculos não sjam ncssariamnt aprsntados aos alunos com todo o pormnor é important qu associm historicamnt o aparcimnto dos númros complxos à atividad prática d dtrminar raízs rais d polinómios do trciro grau 13 Comntário O conjunto dos númros complxos é construído no sgundo objtivo gral dst domínio No prsnt dscritor prtnd-s apnas obsrvar prviamnt qu s stivr construída uma xtnsão d das rsptivas opraçõs d adição d multiplicação por forma a gozarm das propridads usuais dsignada por s contivr um lmnto tal qu ntão ncssariamnt os lmntos d da forma com opram-s da sguint forma: dados Ests cálculos prévios prmitm motivar adquadamnt a dfinição qu é dada no dscritor 21 do conjunto das rsptivas opraçõs d adição d multiplicação Dpois dsta construção fita d s acabar por dar no dscritor 25 um sntido à xprssão pd-s a vrificação no dscritor 28 d qu ftivamnt stas duas igualdads têm lugar 21 Comntário Nst dscritor é forncida uma dfinição do conjunto dos númros complxos das rsptivas opraçõs d adição d subtração Existm numrosas formas d s introduzir o conjunto Optou-s por dfinir como o conjunto munindo-o d uma opração d adição qu coincid com a opração d adição d vtors do ponto d vista das rsptivas coordnadas d uma opração d multiplicação spcial motivada plos cálculos prévios propostos no dscritor 13 Uma outra possibilidad consistiria m comçar por postular a xistência d uma solução para a quação No ntanto para a tornar minimamnt adquada crdívl sria ncssário um trabalho concptual bm mais xignt Não é possívl d manira gnérica dcidir qu uma dada quação à partida sm soluçõs nos conjuntos conhcidos possui Cadrno d Apoio NC12 Página 76

78 ftivamnt uma solução num conjunto mais alargado qu as opraçõs usuais s stndm a ss conjunto maior mantndo as rsptivas propridads algébricas pois ss procsso podria introduzir contradiçõs no difício da Matmática Além disso sta abordagm lvada a cabo d forma não sustntada tm como consquência frquntmnt qu prmança nos alunos a dúvida da vrdadira xistência da unidad imaginária msmo dpois d já manipularm os númros complxos com alguma dstrza Um modo d vitar ssas situaçõs é prcisamnt o qu aqui s propõ ou sja construir xplicitamnt utilizando apnas objtos matmáticos conhcidos um modlo concrto do conjunto mais alargado das opraçõs gnralizadas qu nl s dfinm no quadro do qual s ncontram soluçõs da rfrida quação No dscritor 23 ftua-s a idntificação ntr o complxo o númro ral dpois d s vrificar qu as opraçõs m opram nos complxos com sgunda coordnada nula da msma forma do qu a adição a multiplicação opram no conjunto dos númros rais É agora possívl dscritor 24 xibir gnuinamnt um númro complxo cujo quadrado é igual a : tomando 43 1 Escrva os sguints númros complxos na forma com ral positivo : 2 *Considr um númro complxo não nulo 21 Mostr qu admit uma dcomposição na forma ond w =1 22 Mostr qu a dcomposição obtida na alína antrior é única 51 1 Rsolva no conjunto dos númros complxos as quaçõs O qu pod conjturar quanto ao númro d soluçõs da quação para? 2 **Considr para { } a quação 21 Mostr qu s é solução ntão 22 Mostr para qu o númro complxo é solução da quação s somnt s é da forma ond é um argumnto d 23 Justifiqu qu a quação tm xatamnt soluçõs 61 1 Dtrmin a part ral a part imaginária dos sguints númros complxos: Dtrmin o conjunto dos númros complxos tais qu 21 * é um númro ral; 22 é um númro imaginário puro Cadrno d Apoio NC12 Página 77

79 3 *Considr númros naturais 31 Dtrmin númros naturais tais qu Sugstão: utiliz a igualdad para númros complxos 32 Utiliz o rsultado da alína antrior as igualdads para scrvr o númro como soma d dois quadrados 62 1 Para cada uma das sguints funçõs indiqu s s trata d uma translação rotação rflxão rflxão dslizant ou homottia intrprtando-as como transformaçõs do plano complxo construa a imagm do afixo d um númro complxo gnérico : 11 ; ; 14 ; 15 * 16 ** 2 Construa a imagm do triângulo d vértics por cada uma das transformaçõs indicadas no xrcício antrior 3 Considr um dtrminado ponto afixo d um númro complxo o ponto afixo do númro complxo 31 *Mostr qu o afixo d é a imagm d pla rotação d cntro d ângulo 32 **Dado proponha uma xprssão para o númro complxo cujo afixo é a imagm d pla rotação d cntro ângulo 4 Num plano munido d um rfrncial cartsiano d origm considr as sguints transformaçõs: : rotação d cnto ângulo ; Mostr qu translação d vtor ; translação d vtor 63 1 Dtrmin o módulo um argumnto dos sguints númros complxos: [ [ 15 * 2 Aprsnt na forma algébrica o númro complxo 3 Considr o númro complxo Calcul dduza uma rprsntação d na forma trigonométrica Cadrno d Apoio NC12 Página 78

80 4 Considr o númro complxo não nulo ond Dtrmin m função d d o módulo um argumnto dos sguints númros complxos: 41 ; 42 ; 43 * ; 44 * ; * Mostr qu 6 ** Dado considr um númro complxo tal qu Mostr qu para todo o númro natural 64 1 Considr os númros complxos cujos afixos são rsptivamnt os pontos 11 Rprsnt os pontos no plano complxo 12 Mostr qu o quadrilátro é um trapézio rtângulo 2 Dtrmin o conjunto dos pontos afixos dos númros complxos qu vrificam a condição 3 Dado um númro complxo considr os pontos afixos rsptivamnt dos númros complxos 31 Dtrmin para qu valors d os pontos são dois a dois distintos 32 Dtrmin para qu valors d o triângulo é rtângulo m 4 *Dtrmin o conjunto dos valors do númro complxo para os quais os pontos afixos rsptivamnt dos númros complxos stão alinhados 5 Rprsnt as rgiõs do plano dfinidas plas sguints condiçõs: 51 ; Considr m a quação 11 Rsolva a quação mostr qu os pontos afixos das rsptivas soluçõs são vértics d um polígono rgular 12 Dtrmin a ára do polígono rfrido m 11 Cadrno d Apoio NC12 Página 79

81 2 Fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado considr um pntágono rgular inscrito numa circunfrência d cntro 21 Sabndo qu um dos vértics do pntágono é a origm dtrmin as coordnadas dos rstants vértics 22 *Indiqu uma quação cujas soluçõs sjam os númros complxos cujos afixos são os vértics do pntágono 3 Considr o hxágono rgular cujo cntro é a origm do rfrncial ortonormado rprsntado Sab-s qu o ponto é o afixo do númro complxo 31 Dtrmin as coordnadas dos rstants vértics do hxágono 32 Indiqu uma quação cujas soluçõs sjam os númros complxos cujos afixos são os vértics do hxágono 66 1 Calcul a raiz quadrada do númro complxo 2 Rsolva as quaçõs: sabndo qu 3 Dtrmin númros complxos é solução tais qu 4 *Establça uma condição ncssária suficint sobr os rais soluçõs da quação tnham módulo por forma qu as 5 *Considr a quação 51 Mostr qu s é solução da quação é igualmnt solução 52 Dtrmin todas as soluçõs da quação sabndo qu uma dlas é da forma Cadrno d Apoio NC12 Página 80