Modelagem Matemática em Membranas Biológicas

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1 Modlagm Matmática m Mmbranas Biológicas Marco A. P. Cabral Dpto d Matmática Aplicada, UFRJ Ilha do Fundão, Rio d Janiro, RJ -mail : Nathan B. Viana Instituto d Física Laboratório d Pinças Ópticas UFRJ Ilha do Fundão, Rio d Janiro, RJ -mail : André Máximo Laboratório d Computação Gráfica COPPE UFRJ Ilha do Fundão, Rio d Janiro, RJ -mail : Danila P. Paula Laboratório Nacional d Computação Cintífica LNCC Quitandinha, Ptropolis, RJ -mail : O objtivo do trabalho é obtr informaçõs sobr o prfil d células caractrizar suas suprfícis através do tratamnto d imagns obtidas utilizando uma técnica d microscopia dnominada microscopia d dsfocalização. Basamos os xprimntos m três artigos qu implmntavam a técnica m células como macrófagos hmácias a fim d obtr informaçõs dntr as quais aqulas rlativas ao prfil das células rfridas. Em nossos xprimntos utilizamos hmácias humanas por intrss por part do hospital univrsitário m mnsurar propridads lásticas da mmbrana d hmácias já qu há rlação dirta com o tmpo máximo d stocagm d modo a garantir as boas condiçõs do sangu, além do fato d srm as hmácias humanas células anucladas assim o contrast captado na imagm é dvido grand part à intração da luz com a mmbrana da célula. A microscopia d dsfocalização consist na lv dsfocalização do microscópio óptico a fim d tornar visívis os objtos d fas qu são aquls qu possum o índic d rfração muito próximo do índic d rfração do mio no qual ls stão insridos por ss motivo, são difícis d srm visualizados. Com ssa técnica obtivmos informaçõs morfológicas d hmácias como altura m rlação à lâmina, lasticidad da mmbrana tc. Além disso ss tipo d microscopia pod sr utilizada como altrnativa à microscopia confocal qu também visa a rconstrução da célula mas para isso faz-s ncssário um tratamnto prévio da célula visando fixá-la m sguida é fita uma variação no plano d obtnção das imagns ao final, as imagns são concatnadas grando a imagm da célula m três dimnsõs, como é ncssário matá-la não há a possibilidad d grar a imagm obsrvar variaçõs m mmbranas d células dvido aos sus procssos mtabólicos. Fazndo uso da microscopia d dsfocalização podmos obsrvar células vivas mdir sus parâmtros morfológicos.

2 Nas rfrncias utilizadas o microscópio óptico foi considrado como sndo composto por duas lnts mais o sistma d iluminação, uma lnt objtiva com distancia focal f uma ocular com distancia focal f2, a dsfocalização é fita ntão movndo a lnt objtiva por uma distância focal f com rlação ao objto como mostra a figura. através das lnts dos spaços livrs com distancia z, sofrndo as sguints altraçõs: I- A q, z = A q,0 iz i q 2 2 Z (através d um spaço livr com distancia z) II- A q = f A 2Π i 0 ξ i f 2 q ξ 2 d ξ (através d uma lnt com distancia focal f ) F C O f FIG.. F-font; C-condnsador; O- objto; L-objtiva ; L2 -ocular ; Δf l d l2 f2 Para computar o spctro angular final ntão o campo létrico dvmos usar as quaçõs acima m cinco tapas: - através d uma distância f- Δf ;2- através da lnt l ; 3- através d uma distância d Δf ; 4-através da lnt l2 ; 5- através da distância f2. O spctro angular após cada tapa é dado como sgu: Após tapa - A = A 0 q i f Δf i f /2 q 2 i Δf / 2 q2 Após tapa 2- A 2 = f 2π i i f Δf i f / 2 q 2 A 0 ξ i Δf /2 ξ2 i f / qξ dξ dsfocalização positiva significa aproximação da lnt l com rlação ao objto ngativa, afastamnto da lnt com rlação ao objto. Propagamos a luz através do modlo d microscópio acima sgundo a rfrência utilizada considrando o campo létrico como sndo rprsntado pla transformada d Fourir: E ρ, z = 2Π 2 A q, z i q. ρ d q Ond q= x i y j, é a magnitud do vtor onda d luz ρ é o msmo das coordnadas cilíndricas. Na ralidad, propagamos o spctro angular A (a transformada invrsa do campo létrico E) : A q, z = E ρ, z i q. ρ d ρ Chamando B 0 q = A 0 ξ i Δf /2 q2 sua transformada invrsa b 0 ρ = F {B 0 q } tmos: A 2 = 2πf i i f Δf i f / 2 q 2 b 0 q Após tapa 3- A 3 = 2πf i i f d i f 2 / 2 q 2 b 0 Após tapa 4- A 4 = f f 2 2 q i f d i f 2 / 2 q2 b 0 ξ i f f 2 d Δf /2]ξ 2 i f 2 / q.ξ dξ Após tapa 5-

3 A 5 = f f 2 i f f 2 d b 2 0 ξ i f f 2 d Δf /2]ξ 2 i f 2 / q.ξ dξ Para simplificar a xprssão acima tomamos ξ = f / ξ ntão obtmos: A 5 = f f 2 i f f 2 d b 0 ξ i f f 2 d Δf /2f 2 ] ξ 2 i f 2 / q. ξ dξ para obtr o campo létrico calculamos a transformada invrsa da quação acima: E ρ = f 2 2πf i f f i[ f / f 2 ξ ρ ]. q dqb 0 usando a dfinição da função dlta d Dirac substituiçõs rsultam m: E ρ = f 2 i i [ f f f 2 d f 2 d Δf / 2f 2π 2 f A 0 q i[ Δf /2].q2 i [ f / f 2 ρ ] considrando f / f 2 ρ= ρ tmos: E ρ = 2 2π 2 iα i[ Δf /2].q iρ A 0 q.q dq ond iα = i f f 2 d i[ f f 2 d Δf /2f ρ2 2] considrando pqunas dsfocalizaçõs aproximamos i[ Δf /2 ]. q2 = i[ Δf /2 ]. q 2 substituindo acima tmos: E ρ = 2π 2 iα A 0 q iρ.q dq iδf /2 A utilizando a rprsntação do campo létrico dada pla transformada d fourir tmos: 2 E ρ = 2π 2 iα A 0 q q 2 iρ.q dq E ρ = iα E 0 ρ i Δf /2 2 E 0 ρ assumindo qu o objto é iluminado por uma onda d luz plana com intnsidad E0 o campo ltrico d luz ao passar plo objto é: E 0 ρ =E0 iϕ ρ, ond ϕ ρ é a difrnça d fas substituindo na q. acima tmos: E ρ = iα E0 iϕ ρ [ i Δf /2 ϕ ρ 2 Δf /2 2 ϕ ρ ] considrando a intnsidad d luz I ρ α E ρ 2 xpandindo-a mas considrando apnas os trmos d primira ordm m Δf obtmos a xprssão para a imagm dsfocalizada: C ρ = I ρ I 0 / I 0 = Δf 2 ϕ ρ Tais considraçõs a rspito da propagação da luz rsultam: C ρ = Δf 2 [ Δnh ρ ] (contrast da imagm dsfocalizada) ond: Δf- distancia objtiva ao objto, Δn-índic d rfração(hm)-índic d rfração(mio) Δh-altura. Considrando Δn constant tmos: C ρ =ΔfΔn 2 h ρ O fito da dsfocalização m um contrast d uma imagm pod sr visto a sguir: FIG 2. Δf 0 Δf =0 Δf 0 Aplicação às hmácias: substituindo novamnt acima tmos:

4 FIG 6. Δf 0 FIG 3. Aplicando a fórmula do contrast às hmácias, considrando simtria circular rflxão simétrica tmos: h 2 r h r 2 righ ] 2 h 2 r Em nossos Δf xprimntos considramos Δn constant C r =2Δn igual a 0.042, mdimos o contrast m dois planos focais difrnts calculamos a difrnça ntr ls, portanto: 2 h 2 r = C 2Δn [ 2 r C r Δf 2 Δf ] Ond h2- maior altura h-mnor altura com rlação á lâmina do microscópio. Contrast m vários planos focais: FIG 4. Δf 0 Chgamos portanto à quaçõs do tipo: 2 h 2 r = K Ond K é a constant dada pla rlação ntr as difrnças dos contrasts as dsfocalizaçõs. Considramos dois casos d condiçõs d contorno : Ambas as constants d intgração iguais a zro. A primira constant d intgração nula a sgunda dtrminada após a intgração impondo h 2 r =0 na borda. Utilizamos ntão o programa Kalidagraph para intgrar o qu nos forncu ntão os sguints prfis:,6,4 G G I Data 5,2 FIG 5. Δf = h h 2 /2 0,8 0,6 0,4 0, p(micron)

5 FIG 7. Altura X Raio Considrando as hipótss d simtria rflxão,fazndo uso do Blndr,um softwar d computação gráfica gramos a imagm da célula m três dimnsõs m ambos os casos d condiçõs d contorno. Primiro caso: Ambas as constants iguais a zro: FIG 9. Rfrências: []- Cll surfac fluctuations studid with dsfocusing microscopy U.Agro,C.H.Monn,C.Roprt,R.T.Gazzinll i and O.N.Msquita. Physical rviw E 67,05904(2003). [2]- Ral tim masurmnts of mmbran surfac dynamics on macrphags and phagocytosis of Lishmania parasits. U.Agro,D.C.P.Olivira,J.C.Nto,R.T.Gazzin lli and O.N.Msquita. Exprimntal cll rsarch 303 (2005) FIG 8. Sgundo caso: Primira nula dtrminada pós-intgração:

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