ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA. Determinação dos parâmetros

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1 ANÁLISE IMENSIONAL E SEMELHANÇA trminação dos parâmtros Procdimnto: d Buckingham 1. Listar todas as grandzas nvolvidas.. Escolhr o conjunto d grandzas fundamntais (básicas), x.: M, L, t, T. 3. Exprssar todas as grandzas m trmos das grandzas básicas. 4. Slcionar, da listagm, as grandzas rptitivas m númro igual ao das grandzas básicas.uas grandzas rptitivas não dvm tr dimnsõs qu difiram simplsmnt d um xpont. Não incluir grandzas dpndnts. 5. Establcr as quaçõs dimnsionais combinando as grandzas slcionadas no passo 4 com cada uma das outras grandzas m jogo para formar grupos adimnsionais. 6. Vrifiqu s cada grupo é adimnsional. 7. A rlação funcional nt os parâmtros dv sr dtrminada xprimntalmnt.

2 Exmplo: Escoamnto Turbulnto m tubulação No scoamnto turbulnto plnamnt dsnvolvido não podmos avaliar analiticamnt a quda d prssão. Porém, sabmos da obsrvação qu a quda d prssão p dvida ao atrito m tubo horizontal d sção constant dpnd do diâmtro, do comprimnto L, da vlocidad média V, da dnsidad ρ da viscosidad do fluido µ, da altura da rugosidad. trminar o conjunto d grupos adimnsionais qu podm sr usados para corrlacionar os dados. Sguindo o procdimnto: 1. p, ρ, µ, V, L,, 7 grandzas. São 3 grandzas básicas = M, L, t. 3. p, ρ, µ, V, L,, M M M L,,,, L, L, 3 Lt L Lt t ρ,v, p 4. Obs.: é a grandza dpndnt primordial. A viscosidad difr d p somnt no xpont da unidad t. Finalmnt, L, assim como, tm msma dimnsão d. [ ] [ ] [ L]

3 Sguindo o procdimnto (cont): 5. Formação dos grupos adimnsionais Númro d Eulr = M = L a L t c ( L) = M L a b c 1 ρ V p t 3 b M Lt M : 0 = a + 1 a = 1 L : 0 = 3a + b + c 1 b = t : 0 = b c = 0 Consquntmnt: 1 = 1 0 ρ V p = p = ρv Eu

4 Númro d Rynolds µ M L d L t f ( L) = M L d f = ρ V = t 3 M Lt M : 0 = d + 1 L : 0 = 3d + + f 1 b = 1 t : 0 = 1 c = 1 Consquntmnt: a = 1 µ = = ρv 1 R Analogamnt: 3 = L 4 =

5 6. É adimnsional? 3 p M L L t = : = 1 ρv t L M L [ 1] idm para os dmais Pi s 7. A rlação funcional é: ou (, ) 1 = f 3, L Eu = f R,, 4

6 dução do fator d atrito por anális dimnsional Aplicando a anális dimnsional a um scoamnto totalmnt dsnvolvido m um tubo, tmos: p = φ R, ρv L Substituindo a Eq. (5) m (9), tmos:, h l L = φ R,, V Expriências mostram qu h l é dirtamnt proporcional a L/, assim: h l 1 V = L φ R, Obs. prda d carga adimnsionalizada pla nrgia cinética do fluido scoant A função dsconhcida φ (R, /) é dfinida como o fator d atrito, f. h l = f L V

7 iagrama d Moody (1944), obtido xprimntalmnt rug gosidad rlativa / Quadro ngro

8 Equaçõs da Continuidad d Navir-Stoks na sua forma adimnsional Estas são, rspctivamnt, as quaçõs da consrvação da massa da quantidad d movimnto adimnsionais. Not qu os fators d scala, ou sja, as variávis dscrvndo a dimnsão vlocidad global do sistma suas propridads físicas, stão concntrados m apnas dois grupos adimnsionais:

9 Smlhança inâmica 1. S m dois sistmas difrnts os fators d scala são iguais, por xmplo os númros d Froud Rynolds, ntão ambos sistmas são dscritos por quaçõs difrnciais adimnsionais idênticas.. S, m adição, as condiçõs iniciais condiçõs d contorno são as msmas (o qu é possívl apnas s os dois sistmas difrnts são gomtricamnt smlhants), ntão os dois sistmas são idênticos matmaticamnt; ou sja, v*(x*, y*, z*, t*) p*(x*, y*, z*, t*) são os msmos m ambos sistmas difrnts. 3. Tais sistmas são, ntão, ditos srm dinamicamnt smlhants Rsumindo: sistmas difrnts são dinamicamnt smlhants quando são gomtricamnt smlhants, possum as msmas condiçõs d contorno iniciais possum os msmos númros adimnsionais com valors idênticos.

10 Parâmtros Adimnsionais comuns

11 O significado físico d cada parâmtro pod sr dtrminado obsrvando qu cada númro adimnsional pod sr scrito como a rlação ntr duas forças. Obsrv qu as forças são:

12 Assim, obsrvamos qu:

13 Parâmtros adimnsionais comuns m Mcânica dos Fluidos

14 Parâmtros adimnsionais comuns m Transfrência d Calor

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