Simulação de um escoamento em uma cavidade através do método MAC

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1 Simulação d um scoamnto m uma cavidad através do método MAC Vanssa Avansini Botta, Dpto d Matmática, Estatística Computação, FCT, UNESP, , Prsidnt Prudnt, SP botta@fct.unsp.br, Vanssa Brtoni Dpto d Matmática, ICE, UFJF , Juiz d Fora, MG brtcast@gmail.com Rsumo: O scoamnto forçado plo movimnto da tampa d uma cavidad é um típico problma usado para a avaliação d algoritmos numéricos para as quaçõs d Navir-Stoks incomprssívis. Nst trabalho foi ralizada uma simulação numérica para st scoamnto através do método MAC (markr and cll), utilizando uma cavidad discrtizada por mio d uma malha dslocada. Introdução Em algumas ciências, como na Física na Engnharia, por xmplo, é comum o uso d quaçõs difrnciais para rprsntar fnômnos rais. A ára d mcânica dos fluidos, m spcial, possui uma grand possibilidad d aplicaçõs, como na Engnharia Aronáutica, por xmplo, os cálculos auxiliam no aumnto da sustntação arodinâmica na diminuição da rsistência m aronavs. Os concitos d mcânica dos fluidos stão fundamntados m três lis, qu são: consrvação da massa, consrvação da quantidad d movimnto (também conhcida como sgunda li d Nwton) consrvação da nrgia (primira li da trmodinâmica). Essas lis podm sr rprsntadas através d quaçõs difrnciais parciais qu modlam o scoamnto d um fluido. Nst trabalho, darmos um nfoqu principal às quaçõs utilizadas na formulação da li da consrvação da quantidad d movimnto, qu no caso d scoamntos incomprssívis são dadas por x + v y t + x + (uv) y v t + v y + (uv) x w = = 0 () = p ρ x + ν u () = p ρ y + ν v (3) ( ) w x + w y, u v são as vlocidads nas dirçõs x y, rspctivamnt, p é a prssão, ρ é a dnsidad ν é a viscosidad cinmática do fluido. Estas quaçõs rcbm o nom d quaçõs d Navir-Stoks, m homnagm a Louis M. H. Navir ( ) Gorg Stoks (89-903). As formulaçõs das outras lis d consrvação podm sr ncontradas m [3]. O objtivo dst trabalho é simular numricamnt um scoamnto forçado plo movimnto da tampa d uma cavidad através das quaçõs (), () (3), sujitas a algumas condiçõs iniciais d contorno qu srão aprsntadas adiant, do método MAC, dscrito na próxima sção. O problma é caractrizado da sguint forma: a cavidad, d altura H comprimnto L, cujas pards são sólidas imprmávis, tm su intrior totalmnt prnchido com o fluido. Inicialmnt, a tampa da cavidad o fluido stão m rpouso. No instant t 0, ao aclrar instantanamnt a tampa da cavidad para a 57

2 vlocidad u 0, tmos a origm do scoamnto. Nst problma, stamos considrando as vlocidads u v nulas no contorno da cavidad, qu tm dimnsõs H = L =. Na tampa da cavidad tmos u = v = 0, como podmos obsrvar na Figura. Além disso, ρ = R = u 0H =, qu é o númro d Rynolds, ν ν qu dfin s um scoamnto é laminar ou turbulnto. Mais dtalhs a rspito dsts tipos d scoamntos podm sr ncontrados m [3]. Figura : Dscrição do problma. A simulação foi fita para númro d Rynolds 0 00 m duas malhas, uma 0 0 outra Método O método MAC (markr and cll), dscrito m 965 por Harlow Wlch [], foi dsnvolvido para simular tanto scoamntos intrnos como xtrnos com suprfícis livrs. Como xmplo tmos as simulaçõs d quda d uma gota d água d ondas qubrando na praia. Sjam (x i, y j ), i =,..., NI j =,..., NJ pontos da malha dfinida por 0 x 0 y, = NI, = NJ t = 0 3. Para discrtizar a cavidad, utilizamos uma malha dslocada, qu consist m calcular os valors para as variávis da sguint forma: a variávl u (ou a vlocidad u) é calculada no ponto (i ± ), j ; a vlocidad v é calculada m ( i, j ± ) ; a prssão p é calculada no ponto (i, j). Para facilitar a implmntação, basta somar ao índic i ao índic j para as vlocidads u v, rspctivamnt, obtndo u i,j no lugar d u i,j, u i+,j m vz d u i+,j, v i,j substituindo v i,j v i,j+ no lugar d v i,j+. Os índics para a prssão não s altram. No tmpo t = 0, as variávis u, v p são inicializadas com zro m todo o domínio. No contorno, as vlocidads u v são nulas na tampa da caixa tmos u = v = 0. As condiçõs d frontira sobr as pards latrais infrior são não scorrgadias. Assim, para i =,, 3,..., NI j =,, 3,..., NJ, tmos u i,0 = 0, ou sja, u i, + u i, = 0, ob- tndo u i, = u i, na pard infrior, da msma forma, v,j = v,j v NI,j = v NI,j nas pards latrais. Para a tampa suprior, dvido à movimntação, tmos a sguint condição d frontira, obtida pla técnica d rflxão : para i =,, 3,..., NI, u i,nj = u 0 u i,nj. Para a discrtização tmporal das quaçõs d momnto, foi utilizado o método d Eulr xplícito, todos os trmos qu nvolvm vlocidads são discrtizados no nívl d tmpo n. O trmo qu nvolv a prssão é discrtizado no nívl d tmpo n +. Então, dpois d calcular as vlocidads u n+ v n+, todas as variávis do scoamnto são avançadas no tmpo. A drivada tmporal é discrtizada por difrnças progrssivas d O( t). ( Para discrtizar a quação () no ponto i + ),, j foram utilizadas as quaçõs x i+,j u i+,ju i+,j u i,j u i,j (4) (uv) y i+,j α (5) p x i+,j p i+,j p i,j (6) u x β i+,j () (7) u y i+,j γ () (8) t i+,j u i+,j u i+,j + O( t)(9) t Técnica o valor d u i,nj é dado pla xtrapolação da rta qu passa sobr os valors d u 0 u i,nj. 58

3 α = u i+,j+ v i+,j+ u i+,j v i+,j, β = u i,j u i+,j + u i+ 3,j, γ = u i+,j+ u i+,j + u i+,j. As quaçõs (4) (5) aprsntam os trmos u i+,j, u i,j, (uv) i+,j+ (uv) i+,j, qu não stão dfinidos na malha. Para rsolvr ss problma, dvmos obtr aproximaçõs dsss trmos através d intrpolaçõs. Então, sjam u i = u i,j + u i+,j u i+ = u i+,j + u i+ 3,j. Para u i,j u i+,j, considrmos a função d intrpolação upwind, rprsntada por ( ) ( ) + Si,j u i,j = u i,j + Si,j u i+,j (0) { s ui,j 0 S i,j = S(u i,j ) = s u i,j < 0. Obtmos u i+,j substituindo i por i + m (0). Substituindo as quaçõs (4), (5), (6), (7), (8) (9) m (), obtmos u n+ i+,j = un i+ + ( t) (δ pn+ i+,j ) pn+ i,j,(),j ρ() δ = Conv n i+,j + V iscn i+,j Conv n V isc n são os trmos convctivos viscosos, no tmpo n, dados rspctivamnt por Conv n i+,j = (u ) n i+,j (u ) n i,j +(uv) n i+,j+ (uv) n i+,j u n V isc n i i+,j = ν,j un i+,j + un i+ 3,j () u n i+ +ν,j+ un i+,j + un i+,j (). O trmo F n é dfinido por i+,j Assim, F n i+,j = un i+ + ( t)δ. (),j u n+ i+,j = F n t p n+ i+,j ρ i+,j pn+ i,j. (3) Procdndo d manira análoga ( para a discrtização da quação (3) no ponto i, j + ), obtmos v n+ i,j+ = G n i,j+ G n i,j+ Conv n i,j+ V isc n i,j+ t p n+ ρ i,j+ pn+ i,j, (4) = v n i,j+ + ( t)λ (5) = ξ + σ ( η = ν () + ϕ ) () λ = Conv n i,j+ + V isc n i,j+ ξ = (v ) n i,j+ (v ) n i,j σ = (uv) n i+,j+ (uv) n i,j+ η = v n i,j v n i,j+ + v n i,j+ 3 ϕ = v n i,j+ v n i,j+ + v n i+,j+ Então, G n i,j+ dpois d dtrminados F n i+,j por mio d () (5), dvmos calcular os valors dssss trmos para todos os pontos do domínio. Na frontira, os valors d F n G n podm sr substituídos plas rspctivas componnts normais da vlocidad no nívl d tmpo n +. Como as pards são imprmávis, ssas componnts são todas nulas. Assim, nas pards squrda dirita, tmos, para j =,..., NJ, F,j n = 0 FNI,j n = 0, nas pards suprior infrior, para i =,..., NI, tmos G n i, = 0 G n i,nj = 0. Considrmos agora a quação (). Discrtizando-a no nívl d tmpo n +, tmos 59 x n+ i,j + v y n+ i,j + u n+ i+ un+,j i,j v n+ v n+ i,j+ i,j = 0. Substituindo na xprssão acima as xprssõs (3), (4) as xprssõs corrspnts para u n+ i vn+, obtmos a vrsão,j i,j discrta da quação d Poisson para a prssão,

4 qu é p n+ i+,j pn+ i,j + p n+ i,j () = ρ t F n i+,j F n i,j + pn+ i,j+ pn+ i,j + p n+ i,j () + G n i,j+ G n i,j Como o gradint da prssão é nulo nas frontiras, tmos, para i =,..., NI j =,..., NJ, p,j = p,j p NI,j = p NI,j (pards squrda dirita) p i, = p i, p i,nj = p i,nj (pards suprior infrior). Para calcular os valors para as vlocidads prssão no nívl d tmpo n +, sguimos os sguints passos:. para obtr p n+, utilizamos o método SOR por ponto (succssiv ovr rlaxation), com critério d parada R = R i,j = ρ t NI i= NJ j= / Ri,j 0 8,. ( F + G ) ( ϖ () + ɛ ) (), F = F n i+,j F n i,j G = G n i,j+ G n i,j ϖ = p n+ i+,j pn+ i,j + p n+ i,j ɛ = p n+ i,j+ pn+ i,j + p n+ i,j ;. após a convrgência do método PSOR (point succssiv ovr rlaxation) a obtnção do campo d prssõs no nívl d tmpo n +, dtrminamos as componnts u n+ v n+ plas xprssõs (3) (4). O critério d parada scolhido para st problma é NI NJ u n+ i,j u n t i,j + vi,j n+ vi,j n (6) i= j= 0 6 N N é o númro d células m qu s calcula a prssão. Ess critério foi scolhido porqu quanto mnor for o trmo ntr parêntss na xprssão (6), mais prto starmos do stado stacionário. 3 Rsultados Aprsntamos, a sguir, os rsultados obtidos pla implmntação do método MAC para o problma da cavidad. O algoritmo foi implmntado m linguagm C os gráficos foram fitos no softwar Mathmatica. As figuras aprsntam a dirção do scoamnto dntro da cavidad. Nas Figuras 3, rspctivamnt, tmos o campo d vlocidad para uma malha 0 0 com R = 0 R = 00. Rfinando a malha para 30 30, podmos obsrvar, através das Figuras 4 5, mlhors dtalhs do scoamnto. Dvido à movimntação, as maiors vlocidads ocorrm próximas à tampa da cavidad. Além disso, s o númro d Rynolds é grand, o scoamnto é turbulnto, como podmos obsrvar nas Figuras Figura : Vtors indicando a dirção do scoamnto para R = 0 numa malha Conclusão Nst trabalho aprsntamos uma simulação numérica do scoamnto d um fluido dntro d uma cavidad, obtido através do movimnto da tampa. A solução numérica aprsntada é important porqu através dla podmos prvr o comportamnto do fluido dntro da cavidad. Além disso, como os problmas qu nvolvm scoamnto d um fluido são usados m

5 Figura 3: Vtors indicando a dirção do scoamnto para R = 00 numa malha 0 0. Figura 5: Vtors indicando a dirção do scoamnto para R = 00 numa malha [] F. H. Harlow and J. E. Wlch, Numrical calculation of tim-dpndnt viscous incomprssibl flow of fluid with fr surfac, Phys. Fluids, 8, 8 (965). [3] M. C. Pottr D. C. Wiggrt, Mcânica dos fluidos, Thomson, São Paulo, 004. Figura 4: Vtors indicando a dirção do scoamnto para R = 0 numa malha várias ciências, é important a rprsntação numérica do problma, pois, m alguns casos, a solução xata é muito complxa. Rfrências [] A. O. Fortuna, Técnicas computacionais para dinâmica dos fluidos - concitos básicos aplicaçõs, Edusp, São Paulo,