Distribuição de Fermi-Dirac

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1 Distribuição d rmi-dirac Vamos inicialmnt lmbrar as caractrísticas d uma colção d férmions: n( ) α + α nrgia d rmi NC ísica Modrna f D () - Limits d validad da distribuição d Maxwll-Boltzmann: λ << d (distância intrmolcular muito maior qu o comprimnto d onda d D Brogli). ( πm ) h m / V N h << ou, << / N V ( m ) α V α h N h N ( ) / πm V -α << para qu a função d distribuição d Boltzmann possa sr usada. +

2 Caso d mol d H m CNTP: xrcício α 0 Caso d - d condução m um fio d cobr. N V 8,5 0 8 particulas/m α 4000 Boltzmann NC ísica Modrna

3 Modlo d létrons livrs m um mtal Vamos considrar m um poço D (limits da rd cristalina) Númro d stados (caso antrior x, pois stados d spin m cada nívl): g( ) d 8πV (m h ) / / d Ocupação dos stados (distribuição d rmi): Dnsidad d stados f ( ), com α α / ( + ) / + ntão a ocupação dos stados d nrgia do gás d, fica: / / 8πV (m ) d n( ) f ( ) g( ) d ( ) / h + Normalização: s T 0 K stados populados só até f(), s < f() 0, s >. NC ísica Modrna m outras palavras, m T0K, todos os stados ntr o stado fundamntal a stão ocupados todos os stados acima d stão vazios

4 S o sistma contém N férmions, a é calculada prnchndo os stados m ordm crscnt d nrgia, 0 até a nrgia ocupada pla N-ésima partícula / X 0.6 g() N / / 8πV (m ) d n( ) f ( ) g( ) d ( ) / h + Assim: / 8πV (m ) n( ) d h 0 0 / (0) h 8m N πv / d NC ísica Modrna 6πV (m h xprssão dfin m T 0 K f(), s < f() 0, s >. ) / / 4

5 / h N h ρ ( 0) 8m πv 8m π / com ρ N/V. xclnt aprox. para << f D () f D () Vmos ntão qu, à mdida qu mais partículas são adicionadas ao sistma, crsc. S a tmpratura stivr ligiramnt acima d 0 K, dixa d sr a nrgia do último stado ocupado é dfinida como a nrgia m qu n() ½; à mdida qu T aumnta, diminui. Para tmpraturas suficintmnt altas, 0, implicando qu todos os stados, a probabilidad d ocupação inicia m ~/ cai como Boltzmann. Mas nss caso xtrmo, somm os fitos quânticos. NC ísica Modrna 5

6 m rsumo: m T0 os férmions ocupam o nívl d nrgia mais baixo disponívl para ls, mas ls não podm star todos nst nívl (princípio d Pauli). Os férmions ocuparão os nívis d nrgia disponívis até uma nrgia particular (nrgia d rmi). Com o aumnto da tmpratura a partir d T0, mais mais férmions podrão ocupar nívis mais altos. Para valors d T>0 tm-s uma pquna probabilidad da agitação térmica mandar o férmion para uma nrgia maior qu. T0 T>0 TT /k T>T NC ísica Modrna 6

7 A nrgia total do sistma, m T 0 K, é: Mas / 8πV (m ) n( ) d h 0 N 6πV (m ) / h 0 / d 5 / N 6πV (m 5h Notm qu, msmo m T 0 K, o último férmion adicionado, aqul com nrgia, tm vlocidad dada por: mv v m ) / 5/ (0) No caso d - d condução m um mtal típico ( ~ 5 V) a vlocidad d rmi é da ordm d 0 6 m/s (a 0 K!). A tmpratura d rmi é dfinida como: T /k. NC ísica Modrna 7

8 Parêntss trmodinâmico Lmbrando d dos limits d validad da distribuição d Maxwll-Boltzmann: λ << d. Sndo λ o comprimnto d onda d D Brogli da partícula. Podmos ntão dfinir o comprimnto d onda térmico d D Brogli, como aqul associado ao momnto médio d uma partícula m quilíbrio térmico no sistma, cuja nrgia cinética é /: λ h πm Considrmos um sistma com um númro grand d partículas, com nrgia total, m quilíbrio térmico à tmpratura T. Suponhamos qu ss sistma sja um gás qu l sja comprimido, lntamnt, rduzindo su volum m dv. Isso provoca um aumnto nos nívis d nrgia, pois diminuímos o tamanho da caixa. Assim, um nívl ε i passa a ε i + dε i as partículas nss stado ganham nrgia dε i. O ganho total do sistma srá: d n dε ss ganho d nrgia vio do trabalho ralizado para i i i comprimir o sistma. S uma das arstas do cubo for rduzida d dl por uma força, trmos: dw dl. NC ísica Modrna 8

9 A força é ncssária para s opor à prssão do gás. Assim, PA. Substituindo na xprssão do trabalho: dw PAdL PdV. Como o trabalho dv sr igual ao aumnto d nrgia do sistma, tmos: PdV d n idε i P i i n NC ísica Modrna i dε i dv Os nívis d nrgia d uma caixa cúbica são dados por: ( ) π h / ε n nn n + n + n ε C V i i ml / / dε i dciv 5/ CiV ε i Assim: CiV dv dv V V Dssa forma, para um gás idal, sja l clássico, frmiônico ou bosônico, tmos: dε i P ni niε i dv V i i V ond é a nrgia total média do gás. No caso d um gás clássico (Boltzmann) a nrgia média, por partícula, é: ε 9

10 A nrgia total do sistma é: N ε PV N NC ísica Modrna nrt qu nos rmt à conhcida xprssão da li dos gass idais. Nós vimos qu as distribuiçõs quânticas s rduzm à clássica quando α é muito grand. Podmos scrvr as funçõs d distribuição como: f (ε) α ε ± α ± α ε ε com o sinal d cima valndo para férmions o d baixo para bósons. A distribuição d Boltzmann é obtida fazndo o dnominador igual a, o qu α é quivalnt a ε << Vamos tntar uma aproximação um pouco mlhor fazr uma xpansão binomial (para x << ): ± x m x + x L Nss caso a distribuição fica: f (ε) α ε m α ε + L A partir dss rsultado, sguindo um caminho um pouco trabalhoso, pod-s mostrar qu a li dos gass pod sr scrita como: 0

11 PV N λ N ± + L 5/ V No caso da nrgia média, por partícula, do sistma, tmos: ε N ± λ + L 5/ N V Substituindo o valor do comprimnto d onda térmico: ε N h ± + L 5/ N V ( ) / πm + férmions bósons Daí pod-s prcbr qu a nrgia média d um gás d férmions é um pouco suprior à d um gás idal, nquanto à d um gás d bósons é um pouco mnor. Valor do trmo d corrção é boa indicação da ncssidad, ou não, d s usar as distribuiçõs quânticas. S o trmo d corrção << a distribuição d Boltzmann ( os rsultados dcorrnts dla) são OK. NC ísica Modrna

12 Vimos qu a função distribuição n() para létrons é dscrita pla figura ao lado. o n o xato d - dpnd da tmpratura (forma da curva) qu muda com T. A nrgia total do sistma nos gás d rmi a qualqur tmpratura: n( ) d 0 8πV (m h ) / 0 / d + Sommrfild obtv na tmpratura ambint απ /4 Constant > A contribuição do gás d férmions (gás d létrons livrs) para o calor spcífico molar do sólido: c V d N k S voltarmos na tabla antrior vmos qu T ~0 4, portanto para T00K a contribuição dos létrons livrs do mtal para o c v do matrial é da ordm d 0 - R (qu é o valor mdido xprimntalmnt). ss valor é muito mnor qu a contribuição R qu vm das nrgias d oscilação dos átomos nos matriais não condutors qu forma a rd, ou dos íons dos matriais condutors da rd do sólido. - α A dt T NC ísica Modrna 5 N c αr V +αn T T

13 xrcício A) Cobr T 8.x0 4 K Us a toria d frmi para calcular a contribuição ltrônica ao calor spcífico molar do (a T9K) (Dê o valor m função d R) A) cobr B) prata T cv αr T com απ /4 c π 9 V R 0. 08R 4 8.x0 4 B) Prata T 6.6x0 4 K c π 9 V R 0. 0R 4 6.6x0 4 Vmos qu a contribuição ltrônica para o calor spcífico molar não é muito difrnt para sts condutors, mas é muito pquno comparado com R NC ísica Modrna

14 xrcício a) Calcul a nrgia d rmi para o Au a 0K b) Calcul a vlocidad d rmi para o Au a 0K c) Calcul a tmpratura d rmi para o Au a 0K A dnsidad do Au é 9. g/cm o pso molar é 97 g/mol. Assumindo qu cada átomo contribuiu com - livr para o gás d rmi n (9. g/cm x 6.0x0 létrons/mol) / (97 g/mol). n 5.9x0 8 létrons/m / / h N h ( 0) n 8m πv 8m π [(6.65x0-4 J.s) / (8*9.x0- kg)]*[*5.9x0 8 létrons/m) /.4)] 5.5 V / / 9 x5.85x0 J 6 v.9x0 m / s - m 9.x0 kg Assim um gás d partículas clássica tm qu sr aqucido a ~64000 K para tr 5.5V T 64000K uma nrgia média por partícula igual a 5 k 8.6x0 v / k nrgia d rmi a 0 K. NC ísica Modrna 4

15 létrons livrs m um mtal final Analisamos os - como férmions m uma caixa D (poço infinito). Sabmos, no ntanto, qu - são capazs d dixar o mtal (foto-létrico, missão trmiônica, tc.), portanto o poço tm uma profundidad finita. Sabndo qu a ocupação dos stados dv obdcr a uma distribuição d rmi qu os - d nrgia mais alta prcisam d W (função trabalho) para srm arrancados, podmos avaliar a profundidad do poço. S o poço tm profundidad V 0, os - d nrgia mais alta têm acima do fundo. São sss qu prcisam d W para srm arrancados. Assim: V 0 + W. Com ss modlo podmos ntndr fnômnos como o potncial d contato ntr mtais a missão trmiônica. NC ísica Modrna 5

16 Potncial d contato ntr mtais. Not qu não é (W B W A )/ Potncial d contato NC ísica Modrna 6

17 MQ átomos > < Moléculas moléculas sólidos núclos partículas Vamos tratar o caso das moléculas. pontos d vista: conjunto d núclos - ; associação d átomos. Abordagm corrta: combinação linar das duas, pois os átomos prdm algumas d suas caractrísticas, mas mantém muitas outras. Os - xtrnos mudam muito, mas os intrnos nada. orças intratômicas são ltromagnéticas os - xtrnos dominam os procssos. Os tipos mais importants d ligação molcular são: covalnt, iônica van dr Waals. Vamos comçar com a covalnt, tratando da molécula qu é, para a física molcular, o qu o átomo d H é para a física atômica: o sistma + H Nss caso, tmos um sistma bm simpls, com prótons -. Vamos usar a aproximação d Born- Oppnhimr, qu considra os núclos fixos, apnas os - s movimntam. NC ísica Modrna 7

18 A nrgia potncial prcbida plo - durant su movimnto é: nrgia do stado fundamntal do H Oprador nrgia cinética do - nrgias potnciais atrativas d cada um dos prótons A q. d Schrödingr para a autofunção ltrônica é dada por: k 4πε ε é um autovalor da nrgia do - rpulsão próton-próton, incluída como part da nrgia do - S tivéssmos apnas próton (potnciais dados plas linhas pontilhadas) tríamos átomo d H, cuja solução é conhcida. 0 NC ísica Modrna 8

19 A solução do problma rprsntado plo potncial dos prótons pod sr aproximado por uma combinação da autofunção para o - nas vizinhanças do próton m z R/ da autofunção para o - no potncial m z + R/. Mas xistm combinaçõs possívis: ψ + ( r) ψ s ( r R / ) + ψ s ( r + ψ ( r) ψ s ( r R / ) ψ s ( r + No caso do [ / ) ] R [ / ) ] R + H, R 0, nm. R NC ísica Modrna 9

20 ψ + ψ NC ísica Modrna 0

21 ψ ψ + NC ísica Modrna

22 Cálculo da nrgia d rmi NC ísica Modrna

23 h N α ( ) / πm V n N V α h N ( πm ) / V 4700 Boltzmann NC ísica Modrna