Geometria Analítica - Aula

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1 Gomtria Analítica - Aula 0 60 K. Frnsl - J. Dlgado

2 Aula 1 1. Rotação dos ixos coordnados Sja OXY um sistma d ixos ortogonais no plano sja O X Y o sistma d ixos obtido girando os ixos OX OY d um ângulo θ, 0 < θ < π, no sntido positivo. Sjam x, y x, y as coordnadas d um ponto P nos sistmas OXY O X Y, rspctivamnt, ϕ o ângulo qu o vtor OP faz com o smi-ixo positivo O X r dp, O. Então, { x r cos ϕ y r sn ϕ, { Fig. 1: Sistma O X Y obtido girando d θ o sistma OXY. x r cosϕ + θ y r snϕ + θ. Logo, { x r cos θ cos ϕ r sn θ sn ϕ y r sn θ cos ϕ + r cos θ sn ϕ, ou sja, { x cos θ x sn θ y y sn θ x + cos θ y A mudança d coordnadas pla rotação d um ângulo θ dos ixos OX OY pod sr scrita, também, na forma matricial: x y ou, na forma vtorial: cos θ sn θ sn θ x cos θ x, y cos θ, sn θx + sn θ, cos θy A mudança d coordnadas invrsa obtida pla rotação d θ dos ixos O X O Y s xprssa, m trmos d matizs, como: y

3 Gomtria Analítica - Aula 1 6 x cos θ y sn θ sn θ x cos θ y pois cos θ cos θ sn θ sn θ. Então, { x cos θ x + sn θ y ou sja, Exmplo 1 y sn θ x + cos θ y x, y cos θ, sn θ x + sn θ, cos θ y Por uma rotação d 4 o dos ixos coordnados, uma crta quação é transformada na quação 4x 9y 6. Encontr a quação original nas coordnadas x, y. Solução. Como x cos θ x + sn θ y y sn θ x + cos θ y a quação acima, nas coordnadas x, y, s scrv na forma: x + y x + y, 4 4 x + y 9 4 x + y 6, ou sja, isto é, 4x + xy + y 9x xy + y 7, x + 6xy y 7 0 Como, nas coordnadas x y, a quação pod sr scrita na forma x 9 y 4 1, la rprsnta uma hipérbol com a ; b ; c 1; cntro C 0, 0; rta focal l : y 0; vértics A 1, 0 A, 0; rta não-focal l : x 0; vértics imaginários B 1 0, B 0,, assíntotas y ± x, ou sja, x ± y 0. Usando as rlaçõs d mudança d coordnadas: x 1 x y y 1 x + y, vmos qu, nas coordnadas x y, o cntro é C 0, 0; os vértics são A 1, K. Frnsl - J. Dlgado

4 6 Gomtria Analítica - Aula 1 A,, os vértics imaginários são B 1 Usando, agora, as rlaçõs d mudança d coordnadas invrsa: x x + y y x + y, obtmos qu, nas coordnadas x y, a rta focal é l : x + y 0; a rta não-focal é l : x + y 0, as assíntotas são: x + y ± x + y 0 x + y ± x + y 0,,, B,. ou sja, r 1 : y 1 x r : y x. Fig. : Hipérbol x + 6xy y Rdução da quação Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F 0 à forma canônica, por uma rotação do sistma d ixos Considrmos a quação do sgundo grau: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F 0 Após uma rotação positiva d um ângulo θ, 0 < θ < π, dos ixos OX OY, obtmos um novo sistma d ixos ortogonais O X O Y. As coordnadas x, y x, y d um ponto P do plano nos sistmas d ixos OXY O X Y, rspctivamnt, stão rlacionadas da sguint manira: x cos θ x sn θ y y sn θ x + cos θ y. Substituindo x por cos θ x sn θ y y por sn θ x + cos θ y na quação, obtmos a quação nas coordnadas x y: A θ x + B θ x y + C θ y + D θ x + E θ y + F θ 0 ond A θ A cos θ + B sn θ cos θ + C sn θ B θ C A sn θ cos θ + Bcos θ sn θ C θ A sn θ B sn θ cos θ + C cos θ D θ D cos θ + E sn θ E θ D sn θ + E cos θ F θ F. K. Frnsl - J. Dlgado

5 Gomtria Analítica - Aula 1 64 Por uma vrificação dirta, tmos qu: A θ B θ / cos θ sn θ A B/ cos θ B θ / sn θ cos θ B/ C sn θ C θ sn θ cos θ D θ E θ cos θ sn θ sn θ D cos θ E Dtrminmos, agora, o ângulo θ θ 0, 0 < θ 0 < π, para o qual o coficint B θ 0 da quação nas variávis x, y, é igual a zro. Sndo B θ0 C A sn θ 0 cos θ 0 + Bcos θ 0 sn θ 0 C A sn θ 0 + B cos θ 0 0, tmos qu: 1. θ 0 4 o, s A C.. tg θ 0 B, s A C. A C Pla rlação 1 + tg θ 0 sc θ 0, plo fato qu tg θ 0 cos θ 0 têm o msmo sinal, já qu 0 < θ 0 < 180 o, obtmos qu: cos θ 0 cos θ tg θ 0, s tg θ 0, s B A C > 0, B A C < 0. Além disto, como cos θ 0 cos θ sn θ cos θ + sn θ 1, tmos qu: cos θ 0 cos θ 0 1 cos θ 0 cos θ 0 1 cos θ 0 1 sn θ 0 sn θ 0 1 sn θ 0, ou sja, cos θ cos θ 0 sn θ 0 1 cos θ 0 Fazndo θ θ 0, A A θ0, C C θ0, D D θ0, E E θ0 F F θ0 F a quação do sgundo grau fica na forma Ax + Cy + Dx + Ey + F 0 ond K. Frnsl - J. Dlgado

6 6 Gomtria Analítica - Aula 1 A 0 cos θ 0 sn θ 0 A B/ cos θ 0 sn θ 0 0 C sn θ 0 cos θ 0 B/ C sn θ 0 cos θ 0 D cos θ 0 sn θ 0 D E sn θ 0 cos θ 0 E Dfinição 1 O indicador da quação do sgundo grau Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F 0, é o númro I B A B/ 4AC 4 dt B/ C Como o dtrminant d um produto d matrizs é igual ao produto dos dtrminants das matrizs fators, tmos, por, qu, para todo θ R, I θ B θ 4A A θ B θ / A B/ θc θ 4 dt 4 dt I, B θ / C θ B/ C cos θ sn θ cos θ sn θ pois dt dt 1. sn θ cos θ sn θ cos θ Em particular, fazndo θ θ 0, tmos qu I B 4AC 4A C. Dizmos, ntão, qu a quação do sgundo grau é do tipo: líptico, s I B 4AC 4A C < 0. parabólico, s I B 4AC 4A C 0. hiprbólico, s I B 4AC 4A C > 0.. Exmplos Exmplo a Rduza, por uma rotação dos ixos coordnados, a quação x + xy + y x + y à sua forma canônica. b Dtrmin o foco, o vértic a dirtriz da cônica nas coordnadas x, y. c Faça um sboço da curva. K. Frnsl - J. Dlgado

7 Gomtria Analítica - Aula 1 66 Solução. a Os coficints da quação são A 1, B, C 1, D 1, E 1, F 1, su indicador é I B 4AC Então a quação é do tipo parabólico. Sndo A C 1, o ângulo da rotação ncssária para liminar o trmo misto xy é θ 4 o as rlaçõs d mudança d coordnadas, por ssa rotação, são: x cos4 o x sn4 o y x y 1 y sn4 o x + cos4 o y x + y x cos4 o x + sn4 o y x + y y sn4 o x + cos4 o y x + y Nas coordnadas x, y, a quação s scrv na forma: A x + C y + D x + E y + F 0 ond F F 1, A 0 0 C / / / 1 / / / / / 1 / / D E / / / / , ou sja, A, C 0, , ou sja, D 0, E. Portanto, nas coordnadas x y, a quação da cônica s scrv na forma: isto é, x + y + 1 0, x y +, K. Frnsl - J. Dlgado

8 67 Gomtria Analítica - Aula 1 qu é a forma canônica d uma parábola. b A parábola, nas coordnadas x, y, possui os sguints lmntos: vértic: V 0, ; rta focal: l : x 0; parâmtro: p 4 p 8 ; foco: F 0, 8 dirtriz: y ; 0, 8 ; Dtrminação dos lmntos da parábola nas coordnadas x y: 1 Por 1, V, 1 é o vértic, F 8 8, é o foco, por, l : x + y 0 é a rta focal L : x y 4 é a dirtriz da parábola nas coordnadas x y. c Na figura abaixo mostramos o sboço da parábola. Fig. : Parábola x + xy + y x + y Exmplo a Rduza, por uma rotação dos ixos coordnados, a quação x + 4xy + y + 0x + 0y , à sua forma canônica. b Dtrmin os focos, os vértics, o cntro, a rta focal a rta não-focal da cônica nas coordnadas x, y. c Faça um sboço da curva. d Prov qu a rta x + y 10 não é tangnt à curva. K. Frnsl - J. Dlgado

9 Gomtria Analítica - Aula 1 68 Solução. a Os coficints da quação são A, B 4, C, D 0, E 0, F 44, su indicador é I B 4AC < 0. Portanto, a quação é do tipo líptico. Como A C, tmos qu tg θ B A C 4 > 0. Logo, 1 1 cos θ 1 + tg θ /9 > 0, d ond obtmos: 1 + cos θ cos θ 1 cos θ sn θ As rlaçõs d mudança d coordnadas são: x x y 1 y x + y 1 + / 1 / a quação nas coordnadas x, y fica na forma: ond F F 44; D E A 0 0 C 1 1 4, 1 1. A x + C y + D x + E y + F 0, x x + y y x + y , ou sja, A 6 C 1; Logo, a quação da lips, nas coordnadas x y, é dada por: Compltando os quadrados, tmos:,, ou sja, D 1 E 4. 6x + y + 1 x + 4 y x + x + y + 4 y 44 6x + x + + y + 4 y x + + y + 6 E : x + + y + qu é a forma canônica d uma lips. 6 1, K. Frnsl - J. Dlgado

10 69 Gomtria Analítica - Aula 1 b A quação rprsnta uma lips E com a 6; b 1; c, qu nas coordnadas x y tm: cntro: C, ; rta focal: l : x, paralla ao ixo O Y; rta não-focal: l : y, paralla ao ixo O X; vértics sobr o ixo focal: A 1, 6 A, + 6; vértics sobr o ixo não-focal: B 1 1, B + 1, ; focos: F 1,, F, +, ; xcntricidad:. 6 Dtrminação dos lmntos da lips nas coordnadas x y. Tmos, por, qu: l : x + y é a rta focal; l : x y 10 é a rta não-focal;, por 1, C 0, é o cntro; F 1 1, 7 F 1, são os focos; 0 A 1, 0 0 A, + 0 são os vértics sobr a rta focal; B 1, B, + são os vértics sobr o ixo não-focal da lips nas coordnadas x y. c Na figura ao lado mostramos o sboço da lips. Fig. 4: Elips x + xy + y x + y d Nas coordnadas x, y, a rta r : x + y 10 é dada por: r : x y + x + y 10, ou sja, r : x + y 10. Então x, y E r s, somnt s, y 10 x 6x x + 6 6x + 1 x x 7 x x 60 x Como ssa quação possui duas raízs, pois o su discriminant é K. Frnsl - J. Dlgado

11 Gomtria Analítica - Aula > 0, r E consist d dois pontos. Então a rta r não é tangnt à lips E. Exmplo 4 a Rduza, por uma rotação dos ixos coordnados, a quação 11x + 10 xy + y + 10 x + 10 y , à sua forma canônica. b Dtrmin os focos, os vértics, o cntro, a rta focal as assíntotas, s xistirm, da cônica nas coordnadas x, y. c Faça um sboço da curva. Solução. a Os coficints da quação são A 11, B 10, C 1, D + 10, E + 10, F 4 10, su indicador é I B 4AC > 0. Então a quação é do tipo hiprbólico > 0, Como A C, tmos qu tg θ 0 B A C > 0. Logo cos θ / cos θ 0 sn θ 0 isto é, θ 0 0 o. Assim, as rlaçõs d mudança d coordnadas são: x 1 x y y 1 x + y 1 a quação, nas coordnadas x y, é dada por: Ax + Cy + Dx + Ey + F 0, 1 1/ 1, x 1 x + y y 1 x + y ond F F 4 10 ; A C , ou sja, A 16 C 4, 0 4, K. Frnsl - J. Dlgado

12 71 Gomtria Analítica - Aula 1 D 1 1 E , ou sja, D E 4 1. Nas coordnadas x, y, a quação s scrv como: 16x 4y x 41 y Compltando os quadrados nssa quação, obtmos: 16x + 1x 4y + 1 y x + 1x y + 1 y x 4 y y + 1 H : x + 1 qu é a forma canônica d uma hipérbol. b A quação rprsnta uma hipérbol com a 1, b 4, c a + b, qu nas coordnadas x y tm: cntro: C, ; 4 1, rta focal: l : y 1, paralla ao ixo O X; + 1 rta não-focal: l : x, paralla ao ixo O Y; + 1 focos: F , F + 1, ; vértics: A 1, A, ; vértics imaginários: B 1, B, ; xcntricidad: c a 1 ; assíntotas: x ± y 0; Dtrminação dos lmntos da hipérbol nas coordnadas x y. Tmos, por, qu: K. Frnsl - J. Dlgado

13 Gomtria Analítica - Aula 1 7 l : x y 1 é a rta focal; l : x + y + 1 é a rta não-focal; { r 1 : 1x y 1 0 r : + 1x 1 + y 1 0 são as assíntotas;, por 1, C 1, 1 é o cntro; 1 F 1 1, 1 F A 1 1, 1 A 1 1 +, , são os focos; são os vértics; B 1, 1 B 0, 1 + são os vértics imaginários da hipérbol nas coordnadas x y. c Na figura abaixo mostramos o sboço da hipérbol. Fig. : Hipérbol 11x + 10 xy + y + 10 x + 10 y K. Frnsl - J. Dlgado