Análise Modal. Mecânica Estrutural (10391/1411) 2018 Pedro V. Gamboa. Departamento de Ciências Aeroespaciais

Transcrição

1 Anális Modal Mcânica Estrutural (1091/1411) 018

2 1. Introdução Um problma d valors próprios é dfinido como sndo um problma m qu dsjamos obtr os valors do parâmtro l d forma qu a quação A( u) lb( u) é satisfita para valors não triviais d u. (1.1) Aqui A B rprsntam opradors matriciais ou opradors difrnciais, os valors d l para os quais (1.1) é satisfita são camados d valors próprios. Para cada valor d l ist um vtor u, camado vtor próprio. Mcânica Estrutural

3 1. Introdução Por mplo, a quação d u d lu( ), com A B 1 qu aparc rlacionada com a vibração aial natural d uma barra ou a vibração transvrsal d um cabo, constitui um problma d valors próprios. Aqui l rprsnta o quadrado da frquência d vibração w. Em gral, a dtrminação dos valors próprios tm intrss na ngnaria na matmática. Em problmas struturais, os valors próprios rprsntam ou as frquências naturais ou as cargas d instabilidad., Mcânica Estrutural

4 1. Introdução Vamos dsnvolvr os modlos d lmntos finitos d problmas d valors próprios dscritos por quaçõs difrnciais. Uma vz qu ist smlança ntr as quaçõs difrnciais qu govrnam os problmas d valors próprios os problmas d valors d contorno, os passos ncssários para a construção dos sus modlos d lmntos finitos são totalmnt análogos. Os problmas d valors próprios difrnciais são rduzidos a problmas d valors próprios algébricos (isto é [A]{X}=l[B] ]{X}) através da aproimação do lmnto finito. Os métodos d solução dos problmas d valors próprios algébricos são usados para calcular os valors os vtors próprios. 4 Mcânica Estrutural

5 . Formulação dos Problmas d Valors Próprios 5 Mcânica Estrutural

6 .1. Equação Parabólica Considr-s a quação difrncial parcial u ca t u ka q(, t) r (.) qu aparc rlacionada com a transfrência d calor transint m sistmas d uma dimnsão (por mplo uma pard plana ou uma palta). Aqui u rprsnta a tmpratura, k a condutividad térmica, r a dnsidad, A a ára da scção transvrsal, c o calor spcífico q a produção d calor por unidad d comprimnto. As quaçõs qu nvolvm a drivada d primira ordm do tmpo camam-s quaçõs parabólicas. A solução omogéna (quando q=0) da quação (.) é frquntmnt procurada na forma d um produto d uma função d por uma função d t. 6 Mcânica Estrutural

7 .1. Equação Parabólica Usando sta técnica (a técnica d sparação d variávis) na sguint forma u (, t) U( ) T( t) (.) substituindo na solução omogéna d (.) tm-s rcau dt dt ka Sparando as variávis d t (assumindo qu rca ka são funçõs apnas d ), obtém-s 1 T dt dt d 1 1 rca U d du ka T du 0 (.4) 7 Mcânica Estrutural

8 .1. Equação Parabólica Not-s qu a part squrda da quação é apnas função d t nquanto qu a part dirita é apnas função d. Para duas funçõs d duas variávis indpndnts srm iguais para todos os valors das variávis indpndnts, ambas as funçõs têm qu sr iguais à msma constant, -l (l>0): 1 T dt dt 1 1 rca U d ka du l ou d ka dt dt du lt (.5) lr cau 0 (.6) 8 Mcânica Estrutural

9 .1. Equação Parabólica O sinal ngativo da constant l basia-s no rquisito físico d qu a solução U() tm qu sr armónica m nquanto T(t) dcai ponncialmnt com o aumnto d t. A solução d (.5) é T( t) K lt (.7) ond K é uma constant d intgração. Os valors d l são dtrminados através da rsolução d (.6), qu também dá U(). Com T(t) U() concidas, tm-s a solução omogéna (.) complta d (.). O problma d rsolvr (.6) para l U() cama-s d problma d valors próprios, l cama-s o valor próprio U() a função própria. 9 Mcânica Estrutural

10 .1. Equação Parabólica Quando k, A, r c são constants, a solução d (.6) é rc U( ) C sina Dcos a, a l k (.8) ond C D são constants d intgração. As condiçõs d frontira do problma são usadas para dtrminar as rlaçõs algébricas ntr C D. As rlaçõs algébricas podm sr prssas na forma matricial como ([A]-a[B]){V}={0}, ond [A] [B] dpndm, m gral, d k, c r, {V} é o vtor das constants d intgração C D. Uma vz qu C D não podm sr ambas zro (s não obtr-s-ia a solução trivial), é ncssário qu o dtrminant da matriz d coficints [A]- a[b] sja zro. Isto rsulta num problma d valors próprios algébrico cuja solução dá a ( daí l) {V}=(C,D). 10 Mcânica Estrutural

11 .1. Equação Parabólica Para organizar as idias, considr-s a quação (.6) sujita às condiçõs d frontira (por mplo uma palta com uma tmpratura spcificada m =0 isolada m =L) Pod vr-s qu as condiçõs d frontira não omogénas podm sr convrtidas m condiçõs d frontira omogénas através da mudança d variávis. Usando as condiçõs d frontira acima m (.8), obtém-s ou du U( 0) 0, ka 0 L 0 C 0 D1, 0 a( C cos al DsinaL) C 0 a 0 cosal sinal D 0 (.9) (.10) 11 Mcânica Estrutural

12 .1. Equação Parabólica Para a solução não trivial (isto é, C D não podm sr ambas zro), colocamos o dtrminant da matriz d coficints m (.10) igual a zro obtém-s (uma vz qu a não pod sr zro) cosal 0 a L n (n 1) Daqui, a solução omogéna fica (notar qu a constant K m (.7) é absorvida por C n ) u (, t) n 1 C n l t n sina, n l a (.11) As constants C n são dtrminadas usando as condiçõs iniciais do problma, u(,0)=u 0 (): n n k rc, a n (n 1) L 1 Mcânica Estrutural u (,0) Cn sina n u0( ) n1

13 .1. Equação Parabólica Multiplicando ambos os lados por sina m, intgrando no intrvalo (0,L) usando a condição d ortogonalidad obtém-s L 0 sin 0, sina m L, s m n a n (.1) C n L L 0 u0( ) sin s m n a n (.1) A solução complta d (.6) é dada pla soma da solução omogéna com a solução particular p u(, t) u (, t) u (, t) 1 Mcânica Estrutural

14 .1. Equação Parabólica O mplo aprsntado acima mostra a ncssidad d calcular os valors próprios (a n ) no contto da dtrminação da rsposta transint d uma quação parabólica. Em sguida, irá considrar-s a rsposta transint d uma quação d sgunda ordm no tmpo, concida por quação iprbólica. 14 Mcânica Estrutural

15 .. Equação Hiprbólica O movimnto aial d uma barra, por mplo, é dscrito pla quação u u r A EA f (, t) (.14) t ond u rprsnta o dslocamnto aial, E o módulo d lasticidad, A a ára da scção transvrsal, r a dnsidad f a força aial por unidad d comprimnto. A solução d (.14) consist m duas parts: a solução omogéna u (quando f=0) a solução particular u p. A solução omogéna é obtida pla técnica da sparação das variávis, como visto antriormnt para a quação parabólica. 15 Mcânica Estrutural

16 .. Equação Hiprbólica A solução omogéna da quação (.14) também é assumida como tndo a forma d (.). Substituindo (.) na forma omogéna d (.14) dá d T rau dt d EA Assumindo qu ra EA são apnas funçõs d, fica-s com du T 0 16 ou 1 T Mcânica Estrutural d T dt d 1 1 ra U d T dt du EA d a T du EA 0 a rau a 0 (.15) (.16)

17 .. Equação Hiprbólica O sinal ngativo da constant a basia-s no rquisito físico d qu u(,t) é armónica m t. A solução d (.15) é T ( 1 ilt t) K K cos at K sinat (.17) ond K 1 K são constants d intgração. A solução d (.16), quando E, A r são constants, é U r E ( ) C sina Dcosa, a a (.18) 17 ond C D são novamnt constants d intgração. No procsso d dtrminar as constants C D usando as condiçõs d frontira do problma, é ncssário rsolvr um problma d valors próprios. Mcânica Estrutural

18 .. Equação Hiprbólica Ao contrário do caso do problma da condução d calor, as quantidads a n no caso das barras têm um significado físico dirto, nomadamnt, rprsntam as frquências naturais do sistma. Assim, na mcânica strutural podmos star intrssados m dtrminar apnas as frquências naturais do sistma não a rsposta transint. Quando stamos intrssados apnas nas frquências naturais do sistma, o problma d valors próprios pod sr formulado dirtamnt da quação d movimnto (.14) assumindo qu a forma da solução é priódica no tmpo t u(, t) U( ) iwt (.19) ond w rprsnta a frquência natural d vibração i é Mcânica Estrutural

19 .. Equação Hiprbólica Em (.19) U() rprsnta a configuração da strutura na frquência dada, camada forma modal (isto é, para cada valor d w ist uma forma modal associada). Substituindo (.19) na forma omogéna (.14) dá raw U d du EA iwt 0 ou d du EA w rau 0 o qu é idêntico a (.16) com a=w. Equaçõs similars podm sr formuladas para as frquências naturais d vigas. 19 Mcânica Estrutural

20 .. Equação Hiprbólica Outro problma qu stá dirtamnt rlacionado com as quaçõs d quilíbrio d govrno é a instabilidad d vigascolunas. Em rsumo, os problmas d valors próprios associados a quaçõs parabólicas são obtidos a partir das quaçõs d movimnto corrspondnts assumindo uma solução na forma u(, t) U( ) at, l a (.0a) Enquanto qu os problmas associados a quaçõs iprbólicas são obtidos assumindo uma solução com a forma iwt u(, t) U( ), l w (.0b) 0 ond l rprsnta o valor próprio. Mcânica Estrutural

21 .. Formulação m Elmnto Finito Comparando as quaçõs (.6) (.16) com a quação modlo 1 obsrva-s qu as quaçõs qu govrnam os problmas d valors próprios são casos spciais das quaçõs modlo studadas antriormnt. Aqui vamos vr rsumidamnt os passos na formulação d problmas d valor próprio plo método dos lmntos finitos. Podm vr-s dois casos: 1. Uma quação m uma incógnita (problmas d transfrência d calor, d barras, d vigas d Eulr-Brnoulli);. Um par d quaçõs m duas variávis (viga d Timosnko). Mcânica Estrutural d du a cu f 0 para 0 L

22 ..1. Problmas Tipo Barra Considr-s o problma d rsolução da quação para l U(). Nsta quação a, c c 0 são incógnitas qu dpndm do problma físico, l é o valor próprio U é o vtor próprio. Casos spciais da quação (.1) são, por mplo: 1. Transfrência d calor. Barras d du a( ) c( ) U( ) lc0( ) U( ) a 0 (.1) ka, c P, c rca (.) Mcânica Estrutural a 0 EA, c 0, c ra (.)

23 ..1. Problmas Tipo Barra Num lmnto W típico, procura-s uma aproimação por lmnto finito d U na forma U A forma fraca d (.1) é n ( ) u ( ) ( ) (.4) j1 ond w é a função d pondração Q 1 Q n são as variávis scundárias nos nós 1 n, rsptivamnt Q du j b dw du 0 a cwu l c0wu Q1 w( a) Qn w( b ) (.5) a j du 1 a, Qn a (.6) a b Mcânica Estrutural

24 ..1. Problmas Tipo Barra Substituindo a aproimação d lmnto finito na forma fraca rsulta no modlo d lmnto finito da quação d valors próprios (.1): K u l M u Q (.7a) 4 ond K ij A quação (.7a) contém os modlos d lmnto finito das quaçõs d valors próprios (.6) (.16) como casos spciais. Mcânica Estrutural b a d i a( ) M ij b a d j c0( ) i j c( ) i j (.7b)

25 ..1. Problmas Tipo Barra A montagm das quaçõs do lmnto a imposição das condiçõs d frontira nas quaçõs montadas prmanc igual aos casos státicos vistos antriormnt. No ntanto, a solução das quaçõs condnsadas para as variávis nodais primárias qu não são concidas fica rduzida a um problma algébrico d valors próprios ond o dtrminant da matriz d coficints é igualada a zro para dtrminar os valors d l consquntmnt os valors da função própria U(). 5 Mcânica Estrutural

26 ... Vibração Natural d Vigas Para a toria da viga d Eulr-Brnoulli, a quação d movimnto tm a forma 4 w w ra ri t t ond r rprsnta a dnsidad mássica por unidad d comprimnto, A rprsnta a ára da scção transvrsal, E é o módulo d lasticidad I é o sgundo momntod ára da scção. A prssão qu nvolv ri é concida plo trmo da inércia rotativa ( rotary inrtia ). A quação (.6) pod sr formulada como um problma d valors próprios para s obtrm as frquências naturais d vibração, assumindo o movimnto priódico w w EI q(, t) (.6) iwt (, t) W( ) (.7) 6 Mcânica Estrutural

27 ... Vibração Natural d Vigas ond w é a frquência do movimnto natural transvrsal W() é a forma do modo d movimnto transvrsal. Substituindo a quação (.7) m (.6) dá ond l=w. d A forma fraca d (.8) é dada por a v d ond v é a função d pondração. b d v 0 EI EI d W d W EI d W d W raw ri 0 l (.8) d W lraw lri d W lri b a d v d W EI b a (.9) 7 Mcânica Estrutural

28 ... Vibração Natural d Vigas Not-s qu o trmo da inércia rotativa contribui para o trmo da força d cort, rsultando numa força d cort ftiva qu tm qu sr concida num ponto d contorno quando a dflão é dsconcida nss ponto. Para obtr o modlo d lmnto finito da quação (.9), assum-s uma aproimação d lmnto finito da forma W ( ) 4 j1 f ( ) j j (.40) ond f j são os polinómios cúbicos d Hrmit obtém-s o modlo d lmnto finito K w M Q (.41a) 8 ond Mcânica Estrutural

29 ... Vibração Natural d Vigas M ij b d f d i Kij EI a f j d i ra i j ri b a d j (.41b) Q Q 1 d d W EI d d W EI d W lri d W lri a, b, Q Q d W EI 4 d W EI a b (.41c) 9 Mcânica Estrutural

30 Mcânica Estrutural Vibração Natural d Vigas Para valors constants d EI ra, a matriz d rigidz [K ] a matriz d massa [M ] são Quando a inércia rotativa é dsprzada, omit-s a sgunda part da matriz d massa. (.4) ] [ I E K ] [ I A M r r

31 ... Vibração Natural d Vigas Na vibração natural, quando a simtria do sistma é usada para modlar o problma, apnas modos simétricos são prvistos. É ncssário modlar o sistma complto para s podr obtr todos os modos d vibração. 1 Mcânica Estrutural