estados. Os estados são influenciados por seus próprios valores passados x

Transcrição

1 3 Filtro d Kalman Criado por Rudolph E. Kalman [BROWN97] m 1960, o filtro d Kalman (FK) foi dsnvolvido inicialmnt como uma solução rcursiva para filtragm linar d dados discrtos. Para isto, utiliza quaçõs matmáticas qu implmntam um stimador prditivo d stados, buscando corrigir intrativamnt a rsposta d um dtrminado sistma através d múltiplas variávis rlacionadas a l. Suas áras d aplicação são muito divrsificadas, tais como: procssamnto d imagm, suprvisors d vntos discrtos, procssamnto d sinais, sistmas d infrência, tc. A strutura original do filtro d Kalman stá basada no modlo d spaço d stados (MEE) dsnvolvido, inicialmnt, para sistmas linars. Est modlo busca dfinir a rlação ntrada-saída d um sistma linar indirtamnt, por mio d um conjunto d variávis intrnas dnominadas stados. Os stados são influnciados por sus próprios valors passados plas ntradas do sistma, u, por sua vz influnciam as saídas do sistma z. O modlo propriamnt dito é dfinido por duas quaçõs: a quação d procsso (Equação 1) a quação d mdida (Equação 2), também conhcida por quação d obsrvação. = A. 1 + B. u + w 1, R (1) z = H, n. + v z R (2) A quação d procsso stima o stado atual, também chamado d stado a postriori, através da soma d três parclas matmáticas. A primira é composta por uma matriz A, qu rlaciona o stado atual do procsso com o stado antrior. A sgunda também possui uma matriz B qu rlaciona o stado a postriori com os pontos d monitoramnto d ntrada control do procsso, rprsntados por um vtor 2 u R. A última parcla

2 Capítulo 3 Filtro d Kalman 19 w rprsnta um ruído d procsso do tipo branco com distribuição d probabilidad normal, qu simula uma altração gradativa d su stado ao longo do tmpo. A quação d mdida tm como objtivo associar o stado d ntrada à saída do sistma através d um histórico d mdidas. Para isto, é criado um novo valor d mdida z através da soma do produto da matriz d corrlação H, das mdidas d ntrada plo stado atual, com o ruído d mdida v, qu possui as msmas caractrísticas do ruído d procsso, porém, qu indpnd do stado do msmo. A abstração dst modlo prmit a laboração d um algoritmo computacional capaz d stimar os valors ótimos do vtor d stado para os quais a saída vai sr ótima. Dsta forma, é possívl grar uma sqüência d valors d stado por unidad d tmpo, prvndo stados futuros com a utilização d stados atuais, prmitindo a implmntação d sistmas com atualizaçõs m tmpo ral. Ants d dscrvr como foi cutado o filtro d Kalman é important dfinir alguns concitos variávis qu srão utilizadas no algoritmo propriamnt dito. A variávl ˆ rprsnta o stado a priori do procsso m um dtrminado instant d tmpo. Já a variávl ˆ rprsnta o stado a postriori, também no tmpo, dado um valor d mdida z calculado. Com stas informaçõs é possívl calcular os rros rlativos a postriori = a priori =, consqüntmnt, suas stimativas a T priori P = E[ ] a postriori P = E[ ] rlacionadas à covariância grada ntr os valors da ntrada do procsso. Conform pod sr visto na Figura 1, o algoritmo laborado qu cuta o filtro d Kalman stá dividido m basicamnt duas tapas d procssamnto, uma é dnominada atualização d tmpo outra atualização da mdida. A sguir stá dscrita dtalhadamnt a cução dst procdimnto. T

3 Capítulo 3 Filtro d Kalman 20 Figura 1: Algoritmo do filtro d Kalman. O primiro passo do algoritmo é stimar um valor d mdida inicial qu ˆ rprsntará o stado antrior 1 sua rspctiva stimativa 1. Com sts valors dtrminados, s torna possívl cutar a tapa d atualização d tmpo, rsponsávl por calcular a projção do stado a priori, aplicando a conhcida quação d procsso do MEE a projção do rro d covariância. Dando prossguimnto, é cutada a tapa d atualização d mdida, qu é rsponsávl por calcular o ganho d Kalman, stimar o stado a postriori atualizar a covariância do rro. Not qu nas quaçõs istm dois trmos qu não foram dfinidos antriormnt, são ls o q o r, qu, por sua vz, rprsntam as matrizs d covariância dos ruídos w v, rspctivamnt. Considrando qu a grand maioria dos procssos da naturza são modlados por funçõs não linars, o filtro d Kalman original prcisou sofrr algumas adaptaçõs no su concito, d modo qu prmitiss a gnralização dstas aplicaçõs [BOOTER96]. Sndo assim, utilizando pansõs m séri d Taylor, é possívl linarizar a stimativa d um dado m torno da stimativa atual, utilizando as drivadas parciais das funçõs d procsso mdida, msmo com rlaçõs não linars, dfinindo, dsta forma, o filtro d Kalman stndido (FKE). Sndo assim, o FKE é rgido por quaçõs difrnciais stocásticas não linars, sgundo o MEE, ond a função f rlaciona o stado no instant -1, o sinal d ntrada u o ruído w, com o stado no instant, ou sja, P

4 Capítulo 3 Filtro d Kalman 21 ( u w ) = f,, 1 ; a função h rlaciona o stado o ruído v, com a mdida z, ou sja, z h(, v ) =. Como os valors instantânos d cada ruído W V não são conhcidos, utiliza-s um rsultado aproimado dos vtors d stado d mdida para ralizar a linarização das quaçõs = f (, 1 u,0) z = h(,0) através d pansõs por séris d Taylor. Como rsultado obtém-s as rlaçõs dadas plas Equaçõs 3 4, adiant. =. A( ˆ 1 1) + w1 (3) z = z + H( 1) + v (4) Ond: z são vtors rais d stado mdida; z são vtors aproimados d stado mdida; ˆ é o stimador a postriori do stado no instant ; A é matriz jacobiana das drivadas parciais d f m rlação a ; w é matriz jacobiana das drivadas parciais d f m rlação a w; H é matriz jacobiana das drivadas parciais d h m rlação a ; v é matriz jacobiana das drivadas parciais d h m rlação a v; Basado nstas novas notaçõs os rros d prdição rsidual podm sr rscritos como = A( ˆ 1 ) 1 + ε = H + η, ond ε η rprsntam variávis alatórias com média zro matrizs d covariância WQW T VRV T, sndo Q R as covariâncias do ruído d procsso d mdida, rspctivamnt. Maiors sclarcimntos podm sr ncontrados m [JULIER96], d qualqur forma, é válido aprsntar como é cutado o algoritmo do FKE (Figura 2) qu influências sriam causadas com a insrção d ruídos brancos no sistma.

5 Capítulo 3 Filtro d Kalman 22 Figura 2: Algoritmo do filtro d Kalman stndido. Novamnt, o primiro passo do algoritmo é stimar um valor d mdida inicial qu rprsntará o stado antrior 1 sua rspctiva stimativa P 1. Da msma forma qu no filtro d Kalman original, cuta-s a tapa d atualização d tmpo, calculando a projção do stado a priori do procsso da covariância do rro. Uma vz dfinidas tais variávis, pod-s aplicar a tapa d atualização d mdida, calculando o ganho d Kalman, stimando o stado a postriori atualizando a covariância do rro. A rcursividad s complta quando os valors a postriori são substituídos plos novos valors a priori, os cálculos do FKE são ralizados novamnt. ˆ