. A é uma matriz linha se m=1, A é uma matriz coluna se n=1, A é uma matriz quadrada se m=n, e neste caso diz-se que A é uma matriz de ordem n.

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1 Apontamntos d álgbra Linar 1 - Matrizs 11 - Dfiniçõs A é uma matriz linha s m=1 A é uma matriz coluna s n=1 A é uma matriz quadrada s m=n nst caso diz-s qu A é uma matriz d ordm n 12 - Opraçõs com matrizs Soma m matriz d Chamamos matriz soma da matriz A com a matriz B dnotamos A+B à cuja ntrada é isto é A adição m tm propridads idênticas às da adição m 1 : (comutatividad da adição m 2 ) (associatividad da adição m 3 ) (xistência do lmnto nutro da adição m ) 4 sndo Z o lmnto nutro para a adição m (xistência d oposto para a adição d qualqur 122 Produto d um scalar m à matriz d m Chamamos matriz produto do scalar cujo lmnto é isto é pla matriz A dnotamos por Tm-s: m particular 6 S ntão 123 Produto d matrizs m rprsntamos por AB à matriz d Pdro Bastos das Nvs Chamamos matriz produto da matriz A pla matriz B tal qu 1/21

2 Apontamntos d álgbra Linar com A multiplicação d matrizs goza das propridads sguints: 1 (associatividad da multiplicação) 2 (distributividad à squrda da multiplicação m rlação à adição) (distributividad à dirita da multiplicação m rlação à adição) 3 Para qualqur 4 Algumas das propridads da multiplicação m 1 Em não são vrificadas pla multiplicação d matrizs: a multiplicação d matrizs não é comutativa; 2 Existm matrizs A B tais qu AB=0 ; 3 Existm matrizs A B C tais qu: A multiplicação d matrizs não é comutativa contudo podm xistir matrizs tais qu Nst caso dizmos qu A B são comutávis ou qu A B comutam É o qu sucd s considrarmos arbitrária tomarmos por xmplo ou ou m matriz d tal qu : Chamamos potência d xpont k d A rprsntamos por à 13 - Matrizs Invrtívis Diz-s qu A é invrtívl ou qu A tm invrsa s xistir uma matriz tal qu A sta matriz chama-s invrsa rprsnta-s por Vr 35 Cálculo da invrsa a partir da adjunta 14 - Transposição conjugação d matrizs Chamamos transposta d A rprsnta-s por à matriz tal qu Propridads da transposição: a) b) Pdro Bastos das Nvs /21

3 Apontamntos d álgbra Linar c) d) ) f) Uma S A é invrtívl ntão é invrtívl matriz diz-s ortogonal Diz-s qu uma matriz A é simétrica s s qu é hmisimétrica s hmiortogonal s Só podm sr simétricas ou hmisimétricas as matrizs quadradas Chamamos conjugada d A rprsnta-s por qu s obtém d A substituindo cada lmnto d A plo su conjugado isto é à matriz d Propridads das matrizs conjugadas: a) b) c) d) ) f) S m=n A é uma matriz invrtívl ntão é invrtívl g) Dizmos Chamamos transconjugada d A rprsntamos por qu uma matriz qu é à matriz é hrmítica s smi-hrmítica s ou quivalnt ou quivalnt s s 15 Transformaçõs matrizs lmntars Transformação lmntar sobr as linhas d A é uma transformação d um dos sguints tipos: 1 Troca d posição na matriz A da linha i com a linha j 2 Multiplicação d uma linha d A por Rprsnta-s Rprsnta-s por 3 Substituição da linha i d A pla sua soma com a linha j d A multiplicada por Rprsnta-s por com Chamamos matriz lmntar d sobr linhas d tipo I II ou III a toda a matriz qu s obtém d fctuando uma única transformação lmntar sobr as linhas d tipo I II ou III rspctivamnt Pdro Bastos das Nvs /21

4 Apontamntos d álgbra Linar Pod-s fctuar qualqur transformação lmntar sobr as linhas d uma matriz prmultiplicando A pla matriz qu rsulta d fctuando sobr as suas linhas a msma transformação qu prtndmos oprar m A 16 - Formas d scada caractrística d uma matriz Chama-s pivô d uma linha não nula d uma matriz ao lmnto não nulo mais à squrda dssa linha Uma linha nula não tm pivô Pivôs d uma matriz são todos os pivôs das suas linhas não nulas linhas A stá m forma d scada(f) s nas posiçõs Para rduzir uma matriz 1 S ou s os pivôs da matriz A stão nas à forma d scada: ou a é uma matriz linha ntão A stá na forma d scada o procsso trmina; 2 Por troca d linhas (transformação lmntar d tipo I) s ncssário obtnha-s uma matriz B cuja linha 1 tm ntr todas as linhas não nulas d A um pivô com índic d coluna mínimo 3 Para cada linha i d B com i=2 m substitua-s a linha i pla sua soma com o produto d pla linha 1 (transformação tipo III) 4 Dsprz-s a linha 1 da matriz obtida antriormnt rpt-s o procsso Diz-s qu uma matriz stá m forma d scada rduzida (fr) s simultanamnt a matriz stá m forma d scada s os sus pivôs quando xistm são iguais a 1 todos os rstants lmntos das colunas dos pivôs são nulos Procsso d rdução d uma matriz não nula m forma d scada à forma d scada rduzida: 1 o pivô com maior índic d linha Para garantir qu o pivô da linha s passa a 1 multiplicas a linha s por (transformação lmntar do tipo II) B a matriz rsultant S s=1 a matriz stá m forma d scada rduzida o procsso trmina 2 Para cada linha i d B substitua-s a linha i pla sua soma com o produto d pla linha s (transformaçõs lmntars do tipo III) (Corrspond a anular os lmntos da coluna do pivô índic d linha infrior ao pivô) Obtém-s uma nova matriz C qu continua m forma d scada m qu as ntradas da coluna k são todas nulas à xcpção do pivô qu é igual a 1 3 Dsprzam-s as linhas d C d índic suprior ou igual a s aplica-s o procsso à matriz rsultant À única matriz quivalnt por linhas a A m forma d scada rduzida chama-s forma d scada rduzida d A ou forma d Hrmit d A Ao númro d linhas não nulas d qualqur matriz quivalnt por linhas a A m forma d scada chama-s caractrística d A dnota-s por r(a) (do inglês rank) As transformaçõs lmntars sobr linhas não altram a caractrística Isto é s ntão r(a)=r(b) ou sja matrizs quivalnts por linhas têm a msma caractrística As matrizs Pdro Bastos das Nvs são quivalnts por linhas s só s tivrm a msma forma d scada 4/21

5 Apontamntos d álgbra Linar rduzida 17 - Caractrísticas das matrizs invrtívis São quivalnts as afirmaçõs: 1 A é invrtívl; 2 r(a)=n; 3 é a forma d scada rduzida d A; 4 A é igual a um produto d matrizs lmntars 5 dt (ponto 33) Ao fctuar transformaçõs lmntars sobr linhas d modo a obtr a partir d A (o qu corrspond a transformar A na sua forma d scada rduzida) s a Partir d fctuarmos a msma squência d transformaçõs lmntars sobr linhas (isto é as msmas transformaçõs pla msma ordm) a matriz rsultant é m A matriz AB é invrtívl s só s A B são ambas invrtívis S ntão A B são invrtívis 2 - Sistma d Equaçõs linars Uma quação linar nas incógnitas sobr é uma quação do tipo com são os coficints da quação b o trmo indpndnt da quação S b=0 ntão a quação diz-s homogéna Diz-s qu é uma solução da quação ou qu satizfaz a quação s substituindo por s obtém uma proposição vrdadira isto é é solução da quação s é vrdadira a proposição Sistma d quaçõs homogéno é o sitma m qu todas as quaçõs são homogénas Num sistma d quaçõs linars (S) AX=B é uma solução d (S) s só s m (S) (S') sistmas d quaçõs linars sobr msmo conjunto d soluçõs Dizmos qu (S) (S') são quivalnts s têm o AX=B um sistma d quaçõs linars S [A B] [A' B'] são quivalnts por linhas isto é s ntão os sistmas AX=B A'X=B' são quivalnts AX=B um sistma d quaçõs linars possívl indtrminado incógnitas livrs isto é a chama-s grau d indtrminação do sistma Pdro Bastos das Nvs Ao númro d 5/21

6 Apontamntos d álgbra Linar Dizmos qu um sistma d quaçõs linars AX=B é um sistma d Cramr s A é quadrada invrtívl 3 Dtrminants 31 Dfinição chamamos dtrminant d A rprsnta-s por dt A ou dfinido da sguint forma: 1 S n=1 ntão ao lmnto d ; 2 S n>1 ntão Uma matriz é invrtívl s só s o dtrminant d A for não nulo Dados obtém d A suprimindo a linha i a coluna j d A rprsntamos por a matriz qu s Chama-s dtrminant d A rprsnta-s por dt A ou A ao lmnto d dfinido por rcorrência da sguint forma: S n=1 ntão dt S n>1 ; ntão = O dtrminant d uma matriz d ordm 2 é igual à difrnça ntr o produto dos lmntos da diagonal principal o produto dos lmntos da diagonal scundária O dtrminant d uma matriz d ordm 3 é uma difrnça d 6 parclas m qu o aditivo tm 3 parclas o subtractivo tm outras 3 parclas O dtrminant dsta matriz pod sr calculado pla rgra d Sarrus qu diz qu as parclas do aditivo são dadas plo produto dos lmntos da diagonal principal plos produtos dos lmntos abrangidos plos triângulos com bas paralla à diagonal principal As parclas do subtractivo obtêm-s da msma forma com bas na diagonal scundária com Pdro Bastos das Nvs Dsigna-s por complmnto algébrico rprsnta-s por o scalar m qu é a matriz qu s obtém d A suprimindo a linha i acoluna j 6/21

7 Apontamntos d álgbra Linar Torma d Laplac com O dtrminant d A é igual à soma dos produtos qu s obtêm multiplicando os lmntos d uma qualqur linha d A plos complmntos algébricos das rspctivas posiçõs isto é: 32 - Propridads dos dtrminants S tm uma linha nula ntão dt A=0 S A tm alinha i igual à linha j dtrminant Tm-s qu Tm-s ntão dt A=0 ou sja qu uma matriz a sua transposta têm o msmo S é uma matriz triangular (suprior ou infrior) ntão o dtrminant d A é igual ao produto dos lmntos da diagonal principal d A ntão S os lmntos da linha i da A são da forma com 33 - Transformaçõs lmntars dtrminants m Tm-s: ntão dt B = - dt A; ntão dt B = dt A; ntão dt B = dt A Numa linguagm informar diz-s qu num dtrminant um scalar pod sr posto m vidência só por star a multiplicar por uma linha (ou coluna) Ou sjao: ntão m S Então ntão dt A=0 s só s dt B=0 Procsso para calcular o dtrminant d uma matriz Pdro Bastos das Nvs : 7/21

8 Apontamntos d álgbra Linar Efctuam-s as transformaçõs linars sobr as linhas d A d forma a transformar a matriz A numa matriz A' m forma d scada Considrando as corrspondnts altraçõs no dtrminant rsultants d cada uma dssas transformaçõs lmntars obtnha-s a rlação ntr o dt A dt A' Como dt A' é igual ao produto dos lmntos da sua diagonal principal é conhcida a rlação ntr dt A dt A' obtém-s ntão o valor d dt A Tm-s qu A é invrtívl s só s dt 34 - Dtrminant do produto d matrizs m Tm-s uma matriz invrtívl ou quivalntmnt uma matriz tal qu Tm-s 35 Cálculo da invrsa a partir da adjunta Chamamos matriz dos complmntos algébricos d A rprsnta-s por à matriz qu s obtém d A substituindo cada lmnto plo complmnto algébrico da rspctiva posição Chamamos adjunta d A rprsnta-s por adj A à transposta da matriz dos complmntos algébricos d A isto é S Tm-s: ntão 1 2 S A é invrtívl ntão 36 Rgra d Cramr (Rgra d Cramr) AX=B um sistma d quaçõs linars invrtívl Para cada sja a matriz qu s obtém d A substituindo a coluna j pla coluna d B A única solução do sistma antrior é o n-uplo Só tm intrss aplicar st método d rsolução m sistmas com valors pqunos d n sndo prfrívl utilizar o método d rsolução do capítulo 2 37 Outra dfinição d dtrminant chamamos prmutação d Pdro Bastos das Nvs a qualqur aplicação bijctiva d m 8/21

9 Apontamntos d álgbra Linar rprsntamos por o conjunto d todas as prmutaçõs d Numa prmutação uma invrsão é um par númro d invrsõs d por Dada uma prmutação d sguint: Existm n! prmutaçõs d tal qu Rprsntamos um procdimnto simpls para calcular o númro d invrsõs d éo Para cada lmnto d da prmutação fctu-s a contagm do númro d lmntos à sua dirita infriors a Rprsnta-s tal númro por Tm-s Diz-s qu uma prmutação ímpar) é par (rspctivamnt ímpar) s é um númro par (rspctivamnt : 1 Considrm-s todos os produtos do tipo sndo prmutaçõs d isto é todos os produtos possívis d n lmntos da matriz d forma a qu m cada produto figurm um um só lmnto d cada linha um um só lmnto d cada coluna d A 2 Afct-s cada um dos produtos obtidos m 1 do sinal + s as prmutaçõs têm a msma paridad do sinal - no caso contrário Dsignamos por dtrminant d A rprsnta-s por dt A ou Assim a soma dos scalars obtidos m 2 O torma d Laplac diz-nos qu o dtrminant d A é igual à soma dos produtos qu s obtêm multiplicando os lmntos d qualqur linha d A plos complmntos algébricos das rspctivas posiçõs O msmo é válido para as colunas 4 Espaços vctoriais 41 Dfinição propridads E um conjunto não vazio ou Considrmos dfinidas duas opraçõs: Uma a qu dsignamos por adição m E rprsntamos por + qu é uma opração binária isto é associa a cada par (uv) d lmntos d E um um só lmnto d E qu rprsntamos por u+v Uma opração qu dsignamos por multiplicação xtrna rprsntamos por qu a cada par associa um um só lmnto d E qu dnotamos por Dizmos qu E stas opraçõs é um spaço vctorial sobr sobr s: 1 A adição intrna ou qu é um spaço vctorial tm as sguints propridads: utativa associativa lmnto nutro lmnto simétrico Pdro Bastos das Nvs /21

10 Apontamntos d álgbra Linar 2 A multiplicação xtrna tm as sguints propridads: distributiva m distributiva m associativa mista Elmnto nutro um spaço vctorial sobr Aos lmntos d E chamamos vctors S qu E é um spaço vctorial complxo s dizmos qu é um spaço vctorial ral dizmos E um conjunto não vazio + uma opração binária m E com as propridads (A1) a (A4) Tm-s: 1 O lmnto nutro da adição é único (Habitualmnt rprsntado por 0E) 2 Para cada o oposto d u para a adição é único (O oposto para a adição d rprsntado por 3 S são tais qu ntão (Li do cort à squrda) 4 S são tais qu ntão (Li do cort à dirita) E um spaço vctorial sobr sjam é Tm-s: ntão 42 - Subspaços vctoriais E um spaço vctorial sobr Dizmos qu um subconjunto d F d E é um subspaço vctorial d E ou simplsmnt qu é um subspaço d Es F é também um spaço vctorial sobr com as opraçõs nl naturalmnt dfinidas por sr subconjunto d E (a qu s chamam opraçõs induzidas plas opraçõs d E no conjunto F) (Critério d subspaço vctorial) E um spaço vctorial sobr só s satisfaz cada uma das condiçõs sguints: Tm-s F é um subspaço d E s ou quivalnt s satisfaz as condiçõs qu rsultam das antriors substituindo 2 por S E é um spaço vctorial sobr ntão E triviais d E sndo iguais s só s são subspaços d E dsignam-s por subspaços S F G são subspaços d um spaço vctorial E ntão m F G subspaços d um spaço vctorial E Tm-s ou é ainda um subspaço d E é um subspaço d E s só s m F G subspaços d um spaço vctorial E Chamamos soma do subspaço F com o subspaço G rprsntamos por F+G a Dizmos qu E é a soma d F G Pdro Bastos das Nvs /21

11 Apontamntos d álgbra Linar scrvmos um lmnto d G s todo o lmnto d E s pod scrvr como soma d um lmnto d F com A soma d dois subspaços d um spaço vctorial E é ainda um subspaço d E m F G subspaços d um spaço vctorial E Dizmos qu E é a soma dircta d F G scrvmos s para cada xist um único par tal qu Nstas condiçõs dizmos qu G (rspctivamnt F) é um subspaço suplmntar d F (rspctivamnt G) m E Dizmos ainda qu o vctor u é a projcção d w sobr F sgundo G qu o vctor v é a projcção d w sobr G sgundo F m F G subspaços d um spaço vctorial E São quivalnts as afirmaçõs: 1 2 Quaisqur qu sjam s ntão E um spaço vctorial sjam F G subspaços d E São quivalnts as afirmaçõs: Combinação linar d vctors subspaço grado E um spaço vctorial sobr sjam linar dos vctors s xistirm scalars lmntos d E Dizmos qu tais qu: Aos scalars chamamos os coficints da combinação linar a coficints da combinação linar é combinação a squência dos OBSERVAÇÃO: Concluir qu um vctor v d um spaço vctorial E é combinação linar d vctors d E é um problma qu frquntmnt s rduz a vrificar qu um sistma d quaçõs linars é possívl S o sistma é dtrminado tal quival a a firmar qu v é combinação linar d sndo nst caso únicos os coficints da combinação linar E um spaço vctorial vctors isto é lmntos d E O conjunto d todas as combinaçõs linars dos é um subspaço d E m pla squência vctors lmntos d um spaço vctorial E chamamos subspaço (d E) grado ou plos vctors ao conjunto d todas as combinaçõs linars dos Tal subspaço é frquntmnt dnotado por S squência Pdro Bastos das Nvs dizmos ainda qu é gradora d F gram F qu são gradors d F ou qu a 11/21

12 Apontamntos d álgbra Linar Dizmos qu um spaço vctorial é finitamnt grado s xistirm E um spaço vctorial sjam 1 tais qu: vctors d E Tm-s: s só s para qualqur é combinação linar dos vctors vctors s só s para qualqur é combinação linar dos para qualqur é combinação linar dos vctors 2 S são vctors d um spaço vctorial E s xist linar rstants vctors ntão tal qu é combinação uma squência d vctors d um spaço vctorial E sobr sja uma squência qu s obtnha d S fctuando um númro finito d transformaçõs dos sguints tipos: I Troca das posiçõs na squência dos vctors II Multiplicação do vctor III Substituição do vctor por por Tm-s 44 Dpndência indpndência linar E um spaço vctorial sjam dizmos qu a squência Para Para dizmos qu é uma squência linarmnt dpndnt ou qu os vctors são linarmnt dpndnts quando plo mnos um dos vctors é combinação linar dos rstants vctors A uma squência dizmos qu os vctors ou qu o vctor é linarmnt dpndnt quando qu não é linarmnt dpndnt chamamos linarmnt indpndnt são linarmnt indpndnts Esta dfinição no caso particular d r=2 prmit afirmar qu uma squência com dois vctors é linarmnt dpndnt s só s uma dos vctors é um múltiplo scalar do outro vctor isto é s é igual ao produto d um scalar plo outro vctor Critério d indpndência linar E um spaço vctorial sobr sjam vctors d E Os vctors são linarmnt indpndnts s só s a única forma d scrvr como combinação linar d é tomando todos os coficints da combinação linar iguais a zro É o msmo qu afirmar qu os vctors são linarmnt dpndnts s só s xistm não todos nulos (isto é qu plo mnos um sja não nulo) tais qu E um spaço vctorial sjam vctors d E Os vctors indpndnts s só s para todo o vctor qu sja combinação linar d coficints da combinação linar Pdro Bastos das Nvs são linarmnt são únicos os 12/21

13 Apontamntos d álgbra Linar uma squência d vctors d um spaço vctorial E sja uma squência qu s obtnha d S fctuando um númro finito d transformaçõs dos tipos I II ou III do capítulo 43 Tm-s S é linarmnt dpndnt (rspctivamnt indpndnt) s só s S' é linarmnt dpndnt (rspctivamnt indpndnt) 45 Bas dimnsão E um spaço vctorial uma squência d vctors d E Dizmos qu é uma bas d E s é uma squência gradora d E é linarmnt indpndnt Convncionamos qu s ntão a squência vazia é bas d E Num spaço vctorial E finitamnt grado qualqur squência gradora d E tm um númro d vctors suprior ou igual ao númro d vctors d qualqur squência linarmnt indpndnt O qu implica qu s um spaço vctorial E admit uma bas com n lmntos ntão todas as bass d E têm n lmntos E um spaço vctorial qu admit uma bas com n lmntos dimnsão n scrvmos dizmos ntão qu E tm E um spaço vctorial d dimnsão n Tm-s: 1 Qualqur squência d vctors d E com um númro d vctors infriors a n não é gradora d E; 2 Qualqur squência d vctors d E com um númro d vctors suprior a n não é linarmnt indpndnt E um spaço vctorial finitamnt grado São quivalnts as sguints afirmaçõs: 1 2 Exist uma squência gradora n vctors d E qualqur squência gradora d vctors d E tm no mínimo n lmntos 3 Exist uma squência linarmnt indpndnt n vctors d E qualqur squência linarmnt indpndnt d vctors d E tm no máximo n lmntos E um spaço vctorial sjam vctors d E Tm-s s todo o vctor d E é combinação linar dos vctors combinação linar m E um spaço vctorial sobr únicos tais qu a squência das coordnadas d v na bas é uma bas d E s só são únicos os coficints da uma bas d E Para cada aos scalars chamamos as coordnadas d v na bas a Dsignamos por bas canónica d rprsntamos por a bas sndo o n-uplo com todas as componnts nulas xcpto a i-ésima componnt qu é igual a 1 S é uma squência gradora d um spaço vctorial E ntão xist uma subsquência d S qu é uma bas d E E um spaço vctorial sjam não é combinação linar dos vctors Pdro Bastos das Nvs vctors d E linarmnt indpndnts S é tal qu ntão são linarmnt indpndnts 13/21

14 Apontamntos d álgbra Linar Torma do compltamnto S é uma squência linarmnt indpndnt d vctors d um spaço vctorial E d dimnsão n ntão xist uma bas E d tm S como subsquência Tal corrspond afirmar qu xistm vctors d E tais qu é uma bas d E E um spaço vctorial d dimnsão finita S F é um subspaço d E ntão xist um subspaço G d E tal qu isto é todo o subspaço d um spaço vctorial d dimnsão finita tm um suplmntar E um spaço vctorial d dimnsão n Tm-s: 1 Qualqur squência gradora d E com n vctors é uma bas d E 2 Qualqur squência linarmnt indpndnt d n vctors d E é uma bas d E E um spaço vctorial d dimnsão finitatm-s: 1 S F é um subspaço d E ntão 2 S F é um subspaço d E dim F = dim E ntão F=E 46 Torma das dimnsõs E um spaço vctorial (não ncssariamnt d dimnsão finita) sjam F G subspaços d E tais qu Tm-s: 1 2 S são squências linarmnt indpndnts ntão a squência é linarmnt indpndnt s só s Torma das dimnsõs S E é um spaço vctorial (não ncssariamnt d dimnsão finita) F G são subspaços d E d dimnsão finita ntão F+G têm dimnsão finita S F G são subspaços d dimnsão finita d um spaço vctorial E são quivalnts as afirmaçõs: Matrizs spaços vctoriais As linhas não nulas d uma matriz m forma d scada são linarmnt indpndnts As matrizs são muito útis para rsolvr os principais problmas dst capítulo nomadamnt dtrminar: 1 S uma squência d vctors é linarmnt indpndnt A squência é linarmnt indpndnt s só s 2 S um vctor prtnc ao subspaço grado por uma dada squência d vctors Pdro Bastos das Nvs /21

15 Apontamntos d álgbra Linar s só s 3 Uma bas d um spaço a partir d uma squência gradora S com não nulos ntão a squência é uma bas d F 4 Uma bas d um spaço a partir d uma squência linarmnt indpndnt sndo conhcida a dimnsão do spaço uma squência linarmnt indpndnt d vctors d um subspaço F d com dim F=s sja uma bas d F S ntão considram-s as m índics d coluna linhas d W' pivôs distintos dos da matriz U' Nstas condiçõs a squência é uma bas d F portanto o msmo sucd a 5 S duas squências d vctors gram o msmo spaço vctorial m squências d vctors d ntão S s só s são iguais as linhas não nulas das matrizs U'' V'' 48 Mais sobr a caractrística d uma matriz vctorial d Dsignamos por spaço das linhas d A rprsntamos por grado plas m linhas d A O subspaço vctorial d rprsntado por Às dimnsõs dos subspaços Pdro Bastos das Nvs o subspaço grado plas n linhas d A é dsignado por spaço das colunas d A é chamamos rspctivamnt caractrística d linha d A 15/21

16 Apontamntos d álgbra Linar caractrística d coluna d A m sja matrizs quivalnts por linhas Por cada a coluna i d B S xistm ntão S ntão as colunas (rspctivamnt indpndnts) s só s o msmo sucd às colunas sja a coluna i d A tais qu d A são linarmnt dpndnts d B Tm-s: 1 As transformaçõs lmntars sobr linhas (rspctivamnt colunas) não altram a caractrística d coluna (rspctivmnt d linha ) d A 2 A caractrística d linha a caractrística d coluna d A são iguais coincidm com a caractrística d A isto é 3 As matrizs A têm a msma caractrística São quivalnts as afirmaçõs: 1 A caractrística d A é o númro d linhas não nulas d qualqur matriz quivalnt por linhas a A m forma d scada 2 A caractrística d A é a dimnsão do spaço das linhas d A 3 A caractrística d A é a dimnsão do spaço das colunas d A 4 A caractrística d A é o númro máximo d linhas linarmnt indpndnts d A 5 A caractrística d A é o númro máximo d colunas linarmnt indpndnts d A Dsignamos por spaço nulo d A ou núclo d A rprsntamos por o subspaço vctorial d constituido plos vctos qu são solução do sistma d quaços linars homogéno isto é À dimnsão d chamamos nulidad d A S ntão 5 Aplicaçõs linars 51 Dfinição xmplos propridads Dizmos qu uma aplicação sguints: é aplicação linar (sobr ) s satisfaz as duas condiçõs 1 2 uma aplicação linar Tm-s: 1 Pdro Bastos das Nvs /21

17 Apontamntos d álgbra Linar 2 para qualqur 52 Opraçõs com aplicaçõs Sndo dnotamos por m rprsntamos por m 1 2 aplicaçõs arbitrárias chamamos aplicação soma das aplicaçõs f g tal qu para qualqur à aplicação uma aplicação arbitrária Chamamos aplicação produto d à aplicação tal qu para qualqur aplicaçõs linars sja por f Tm-s: é uma aplicação linar é uma aplicação linar m A B C conjuntos aplicaçõs Chamamos aplicação composta d g com f (também dsignada por g após f ) rprsntamos por à aplicação tal qu para qualqur A aplicação obtida por composição d duas aplicaçõs linars é ainda uma aplicação linar m à aplicação uma aplicação tal qu Chamamos potência d xpont k d f rprsntamos por 53 Imagm núclo uma aplicação linar Chamamos núclo d f rprsntamos por Nuc f ou Kr f (do inglês krnl ) ao conjunto uma aplicação linar Tm-s: 1 Nuc f é um subspaço d E 2 Im f é um subspaço d E' m uma aplicação linar W um subspaço d E' W' um subspaço d E' Chamamos imagm d W por f a imagm rcíproca d W' por f a A imagm d uma aplicação prmit dtrminar s a aplicação é sobrjctiva uma vz qu sobrjctiva s só s é O núclo d uma aplicação linar prmit dtrminar s a aplicação é injctiva uma vz qu injctiva s só s é uma aplicação linar Tm-s: 1 S E é finitamnt grado Pdro Bastos das Nvs ntão Dizmos ntão qu 17/21

18 Apontamntos d álgbra Linar f transforma gradors d E m gradors d 2 S são linarmnt indpndnts f é injctiva ntão são linarmnt indpndnts Dizmos qu s f é injctiva ntão f transforma vctors linarmnt indpndnts d E m vctors linarmnt indpndnt da As dimnsõs d s por por d dsignam-s por nulidad d f por caractrística d f rprsntam- Torma da dimnsão S também têm dimnsão finita é uma aplicação linar E d dimnsão finita ntão S é uma aplicação linar E E' ambos d dimnsão finita vrificam qu ntão são quivalnts as afirmaçõs: 1 f é injctiva; 2 f é sobrjctiva 3 f é bijctiva Torma da Extnsão Linar - m uma bas d E sjam aplicação linar tal qu spaços vctoriais E d dimnsão finita vctors arbitrários d E' Exist uma uma só Atndndo ao torma da xtnsão linar é usual afirmar qu s o spaço d partida d uma aplicação linar tm dimnsão finita ntão a aplicação fica compltamnt dtrminada dando as imagns dos vctors d uma bas arbitrária do spaço d partida 54 Aplicaçõs invrtívis isomorfismos m A B conjuntos Dizmos qu uma aplicação é invrtívl s xist uma aplicação tal qu Rprsntamos tal aplicação (única) por qu dsignamos por invrsa d f Uma aplicação é invrtívl s só s for bijctiva A uma aplicação linar bijctiva (invrtívl) simplsmnt isomorfismo) d E m E' Dizmos qu E é isomorfo a E' rprsntamos por chamamos isomorfismo linar (ou s xist um isomorfismo d E m E' m E E' spaços vctoriais E d dimnsão finita Tm-s E E' são isomorfos s só s 55 Matriz d uma aplicação linar uma aplicação linar m uma bas d E uma bas d E' Dsignamos por matriz d f m rlação às bass d B B' (por sta ordm) rprsntamos por a matriz cuja coluna j é a squência das coordnadas d na bas B' Assim uma aplicação linar m B B' bass arbitrárias d E E' rspctivamnt Tm-s Pdro Bastos das Nvs /21

19 Apontamntos d álgbra Linar uma aplicação linar m uma bas d E bas d E' S é a squência das coordnadas d um vctor ntão a squência das coordnadas d na bas é com uma na bas Dsignamos por matriz coluna das coordnadas d um vctor numa dtrminada bas a matriz cuja única coluna é a squência das coordnadas do vctor na bas considrada m bass d E sja S a squência das coordnadas d u na bas Sndo é a squência das coordnadas d u na bas ntão com é bass d E dsignamos por matriz d mudança d bas d para a matriz 6 Valors vctors próprios 61 Dfinição xmplos propridads E um spaço vctorial sobr Chamamos ndomorfismo d E a qualqur aplicação linar d E m E uma aplicação linar S são tais qu valor próprio d f u é vctor próprio d f associado ao valor próprio S são tais qu dizmos qu dizmos qu : é valor próprio d A; X é vctor próprio d A associado ao valor próprio m uma aplicação linar um valor próprio d f Ao subspaço vctorial chamamos subspaço próprio d f associado ao valor próprio é S são tais qu é valor próprio d A; X é vctor próprio d A associado ao valor próprio m dizmos qu: um valor próprio d A Ao subspaço vctorial chamamos subspaço próprio d A associado ao valor próprio Pdro Bastos das Nvs /21

20 Apontamntos d álgbra Linar Dsignamos por multiplicidad gométrica do valor próprio rprsntamos por subspaço a dimnsão do O rsultado sguint prmit dtrminar a multiplicidad gométrica d um valor próprio sm dtrminar o subspaço próprio qu lh stá associado um valor próprio d A Tm-s m simplsmnt um valor próprio d A Tm-s é valor próprio d A s só s Chamamos polinómio caractrístico d A rprsntamos por ou s não houvr ambiguidad ao polinómio na variávl com coficints m dado por À quação chamamos quação caractrística d A m um valor próprio d A Dsignamos por multiplicidad algébrica do valor próprio rprsntamos por a multiplicidad d como zro do polinómio caractrístico d A isto é o maior intiro k tal qu divid Os valors próprios d uma matriz triangular são os lmntos da sua diagonal principal São quivalnts as afirmaçõs: 1 A é invrtívl; 2 A não tm valor próprio zro; 3 O trmo constant do polinómio caractrístico d A é não nulo 4 Dt A é o trmo constant do polinómio caractrístico d A Para obtr o subspaço próprio d A associado ao valor próprio m tal qu basta rsolvr o sistma Dizmos qu A B são smlhants s xist uma matriz invrtívl S são smlhants ntão os sus polinómios caractrísticos são iguais consquntmnt têm os msmos valors próprios com iguais multiplicidads algébricas f um ndomorfismo d um spaço vctorial E E d dimnsão finita sja uma bas arbitrária d E Chamamos d polinómio caractrístico d f ao polinómio caractrístico da matriz f um ndomorfismo d um spaço vctorial E E d dimnsão finita sja uma bas arbitrária d E Tm-s: 1 u é vctor próprio d f s só s a matriz coluna X das coordnadas d u na bas B é um vctor próprio d A; 2 é valor próprio d f s só s é valor próprio d A um valor próprio d Tm-s 62 - Matrizs ndomorfismos diagonalizávis Dizmos qu A é uma matriz diagonizávl s A é smlhant a uma matriz diagonal isto é s xist uma matriz invrtívl uma matriz diagonal tais qu Pdro Bastos das Nvs /21

21 Apontamntos d álgbra Linar Nstas condiçõs dizmos qu P é uma matriz diagonalizant d A Uma matriz é diagonizávl s só s A tm n vctors próprios linarmnt indpndnts Nst caso s são n vctors próprios d A linarmnt indpndnts corrspondnts aos valors próprios (não ncssariamnt distintos) ntão a matriz P cuja coluna i é u n-uplo corrspondnt a qu rprsntamos por é invrtívl é uma matriz diagonalizant d A Mais spcificamnt tm-s: S são os valors próprios dois a dois distintos d só s S ntão A á diagonizávl s tm n valors próprios dois a dois distintos ntão A é diagonizávl Dizmos qu um ndomorfismo f d E E d dimnsão finita é diagonizávl s xist uma bas tal qu é uma matriz diagonal Pdro Bastos das Nvs /21 d E

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