Análise de Fourier tempo contínuo
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- Airton Madureira
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1 nális d Fourir tmpo contínuo SS MIEIC 8/9 nális d Fourir m tmpo contínuo aula d hoj Rsposta d SLITs contínuo a xponnciais Séri d Fourir d sinais priódicos Propridads da séri d Fourir Sinais d duração limitada Transformada d Fourir transformada invrsa Propridads da transformada d Fourir nális d SLITs no domínio da frquência plicaçõs SS 89 FC
2 Transformada d Fourir rsposta d SLITs SLIT m tmpo contínuo X( H( Y( x ( h( * h( h( Y ( Dtrminação d dado x ( [ ] h ( H( [ h( ] Y ( - Y [ ( ] Nota: transformada d Fourir prmit rminar a rsposta d um SLIT a um sinal sm rcorrr ao cálculo da convolução do sinal d ntrada com a rsposta impulsional. SS 89 FC Transformada d Fourir rsposta d SLITs SLIT contínuo com rsposta impulsional Casos particulars X πδ( Y πh ( δ( ( ( H ( H ( cos( j t j t sin( j t j t j j j t H ( H ( H ( H ( j t H ( H ( H ( H ( ( t ( cos H j t H ( H ( H ( H ( j j j t H ( H ( H ( H ( j j ( t ( H ( sin H ral H ( * SS 89 FC 4
3 Rsposta d SLITs a sinais priódicos SLIT contínuo com rsposta impulsional rsposta m frquência h ( priódico, d frquência fundamntal SF a a combinação linar d xponnciais harmónicas SF ( H ( y a H ( a priódico, d frquência fundamntal Notas rsposta d um SLIT a um sinal priódico é outro sinal priódico da msma frquência Cada componnt da saída obtém-s mutiplicando a rspctiva componnt d ntrada pla rsposta m frquência calculada à frquência do harmónico rspctivo SS 89 FC 5 Rsposta m frquência xmplo SLIT d ntrada saída, dscrito pla quação difrncial com condiçõs iniciais nulas: d ( x d jh ( j ( j j SS 89 FC 6
4 SLITs como filtros slctivos nas frquências h ( d d o contúdo spctral do sinal d ntrada é altrado plos SLITs H ( módulo SLITs podm sr usados para altrar o pso rlativo dos difrnts harmónicos do sinal d ntrada filtragm slctiva nas frquências H ( H( complxo fas SS 89 FC 7 SLITs como filtros slctivos nas frquências Filtro passa baixo idal H (,, c > c c c c frquência (suprior d cort banda passant Filtro passa alto idal H (,, < c c c c c frquência (infrior d cort banda d rjição SS 89 FC 8 4
5 SLITs como filtros slctivos nas frquências Filtro passa banda idal H (, c, < c, > c c c frquência infrior d cort c c c c c frquência suprior d cort banda passant c c largura d banda Filtro rjita banda idal H (, c, < c, > c c c c c c banda d rjição SS 89 FC 9 SLITs dscritos por EDO linars d coficints constants S N M EDO linar d ordm N ( a N d d a b, t t, t t N d d t N condiçõs iniciais nulas ( ( ( jx ( d j X Y ( d jy ( d ( j Y ( N a M ( j Y( b ( j Y( M N b a ( j ( j H( rsposta m frquência do SLIT rsposta m frquência d um SLIT dscrito por uma EDO linar d coficints constants é um quocint d polinómios m j SS 89 FC 5
6 SLITs dscritos por EDO d coficints constants xmplo S y '( Y ( Y ( j ( j Y ( Y ( j - h ( [ ] - t u( j rsposta impulsional rsposta m frquência t u( Y ( j j j j j - y ( [ Y ( ] - j j t t ( u( SS 89 FC Dcomposição m fracçõs simpls P( x x σ σ ( x ρ ( x ρ ( x ρ σr r fracção própria d dois polinómios dnominador com raízs ρ, ρ, ρ r distintas com multiplicidads, rspctivamnt, σ, σ, σ r x r σ i, i ( x ρi i, x x ρ, x ρ r, x ρ, ( x ρ r, ( x ρ ( x ρ r, r, σ ( x ρ σ, σ ( x ρ ( x ρ σ r, σr σr r i, σi x ρ σi d σ i i ( σi! xρi SS 89 FC 6
7 Dcomposição m fracçõs simpls xmplo x 7 x ( x ( x i, σi x ρ σi d σ i i ( σi! xρi raízs do dnominador: ρ σ ρ σ,,, x x ( x x x d,! x d,! x x x 7 x x d x 7 x 7 x 5 5 ( x 5 x d,! x x x 7 ( x x 7 5 x x ( x x SS 89 FC SLITs dscritos por EDO linars d coficints constants S N d a M d b Y ( M N b a ( j ( j X ( quocint d polinómios m j Y ( quocint d polinómios m j Dtrminação d dado. Dtrminar a partir d X ( utilização d tablas. Dtrminar Y ( H(. Dcompor Y ( m fracçõs simpls 4. Obtr a partir d Y ( utilização d tablas SS 89 FC 4 7
8 Exrcício a. Considr os SLITs caractrizados plas sguints rspostas m frquência. Dtrmin m cada caso a saída do sistma quando a ntrada é o sinal x ( cos( cos( i. j ii. j iii. j iv. sistma passa baixo idal com frquência d cort.5. v. sistma passa alto idal com frquência d cort. b. Rpita a alína iv. do xrcício antrior, considrando agora o sinal d ntrada da figura. Esboc o sinal d saída. π π π 4 π 4 π π t SS 89 FC 5 Exrcício a. Dtrmin a saída do sistma dscrito pla quação difrncial S y ''( 5y'( 6 quando a ntrada é o sinal u( t b. Considr o SLIT dscrito pla quação difrncial y ''( 4y' ( 4 x' ( i. Dtrmin a rsposta impulsional do sistma ii. Dtrmin a rsposta do sistma ao dgrau unitário iii. Dtrmin a rsposta do sistma quando a ntrada é... t u( t / u( x ( sin( SS 89 FC 6 8
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