Cálculo Numérico. Integração Numérica. Prof: Reinaldo Haas

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1 Cálculo Numérico Intgração Numérica Pro: Rinaldo Haas

2 Intgração Numérica Em dtrminadas situaçõs, intgrais são diícis, ou msmo impossívis d s rsolvr analiticamnt. Emplo: o valor d é conhcido apnas m alguns pontos, num intrvalo [a, b]. Como não s conhc a prssão analítica d, não é b possívl calcular a d Forma d obtnção d uma aproimação para a intgral d num intrvalo [a, b] Métodos Numéricos.

3 Intgração Numérica 3 Idéia básica da intgração numérica substituição da unção por um polinômio qu a aproim razoavlmnt no intrvalo [a, b]. Intgração numérica d uma unção num intrvalo [a,b] cálculo da ára dlimitada por ssa unção, rcorrndo à intrpolação polinomial, como, orma d obtnção d um polinômio p n.

4 Intgração Numérica 4 As órmulas trão a prssão abaio: b a i d A [a,b],i,,...,n A... A n n, Fórmulas d intgração órmulas d quadratura: I n n i A,..., n - pontos conhcidos, prtncnts ao intrvalo [a, b] nós d intgração. A,..., A n - coicints a dtrminar, indpndnts da unção psos. i i

5 Intgração Numérica 5 O uso dsta técnica dcorr do ato d: por vzs, sr uma unção muito diícil d intgrar, contrariamnt a um polinômio; conhcr-s o rsultado analítico do intgral, mas, su cálculo é somnt aproimado; a única inormação sobr sr um conjunto d pars ordnados.

6 Intgração Numérica 6 Métodos d intgração numérica mais utilizados Fórmulas d Nwton-Cots Fchadas Rgra dos Trapézios, =a n =b. Rgra /3 d Simpson Fórmulas d Nwton-Cots Abrtas os i têm d prtncr ao intrvalo abrto d a até b

7 Rgra dos Trapézios 7 Rgra dos Trapézios Simpls - consist m considrar um polinômio d primiro grau qu aproima uma unção, ou sja, n=. Est polinômio trá a orma y=a + a trata-s da quação qu un dois pontos: a= b=.

8 Rgra dos Trapézios Simpls 8 Ára do trapézio: A=h. T+t / h - altura do trapézio t - bas mnor T - bas maior D acordo com a igura: h= b a = t = b = T = a = Logo, h d

9 Rgra dos Trapézios Simpls 9 Intrvalo [a, b] rlativamnt pquno aproimação do valor do intgral é acitávl. Intrvalo [a, b] d grand amplitud aproimação dsasada. pod-s subdividi-lo m n sub-intrvalos, m cada um a unção é aproimada por uma unção linar. A amplitud dos sub-intrvalos srá h=b-a/n. A intgral no intrvalo é dado pla soma dos intgrais dinidos plos sub-intrvalos. Rgra dos trapézios simpls aplicada aos sub-intrvalos. Uso da Rgra dos Trapézios Composta Rptida: soma da ára d n trapézios, cada qual dinido plo su sub-intrvalo.

10 Rgra dos Trapézios Composta Intrvalo [a, b] d grand amplitud. Soma da ára d n trapézios, cada qual dinido plo su sub-intrvalo.

11 Fórmula: Só os trmos n não s rptm, assim, sta órmula pod sr simpliicada m:... N N h h h d m N N N h d... Rgra dos Trapézios Composta

12 Rgra dos Trapézios Emplo: Estimar o valor d Rgra dos Trapézios Simpls - pontos =. =4. I=y+y= =.4858 Rgra dos Trapézios Composta - 3 pontos =., =., =4. I=y +y +y = =.369 Rgra dos Trapézios Composta - 9 pontos I=.5/y +y +y +y 3 +y 4 +y 5 +y 6 +y 7 +y 8 =.936 A aproimação para 9 pontos é mlhor, dado qu o valor ral é / d y=+² -/

13 Rgra dos Trapézios 3 Erro da Rgra dos Trapézios simpls E=I-T=I-Ip=I-p T - valor da intgral obtida pla rgra dos trapézios. I - valor da intgral obtida pla intgração d.

14 Rgra dos Trapézios 4 Erro da Rgra dos Trapézios simpls E = I - T = I - I p = I - p Da órmula do rro d intrpolação tmos - p = [ a, b, ] - a - b Como - a - b não muda d sinal no intrvalo [a, b] pod-s aplicar o Torma do Valor Médio para Intgrais obtém-s: b a, b, a bd a, b, a a b a b d para um crto ξ ]a,b[

15 Rgra dos Trapézios 5 Erro da Rgra dos Trapézios Simpls Supondo qu é C [a, b], obtém-s a órmula do rro: E b a 3, para um crto ]a,b[ Erro da Rgra dos Trapézios Composta E N Aplicando o Torma do Valor Médio à média das as drivadas, obtém-s: 3 h N 3 3 N h h N i i i N i E 3 h Nh N 3 i N i i

16 Rgra dos Trapézios 6 Não é possívl calcular atamnt, visto qu não s conhc o ponto. Quando or possívl, calcula-s um limitant suprior para o rro. Tm-s: Sndo contínua m [a, b] ntão ist Assim E Nh 3 i N M E TR má [ a, b] Nh 3 M i

17 7 Emplo: Sja, calcul uma aproimação para I usando a Rgra dos Trapézios Simpls. Estim o rro comtido. Rgra dos Trapézios d I 8594, d I d I a b h h d

18 Rgra dos Trapézios 8 Estimativa do rro comtido: E TR 3,, Portanto : E TR má [, ], 653 má [, ]

19 9 Emplo: Sja, calcul uma aproimação para I usando subintrvalos a Rgra dos Trapézios Composta. Estim o rro comtido. Rgra dos Trapézios d I ,...,,,,,, [,] subdiv ididos m subintrv alos com h d I d I N N N h d...

20 Rgra dos Trapézios Estimativa do rro comtido: E TR, 3,, Portanto : E TR, má [, ], 7 má [, ]