NOTA SOBRE INDETERMINAÇÕES

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1 NOTA SOBRE INDETERMINAÇÕES HÉLIO BERNARDO LOPES Rsumo. Em domínios divrsos da Matmática, como por igual nas suas aplicaçõs, surgm com alguma frquência indtrminaçõs, d tipos divrsos, no cálculo d its, sja d sucssõs, sja d funçõs. Lvantar ssas indtrminaçõs é uma tarfa simpls, qu pod hoj, d rsto, fazr-s d um modo fácil rápido através da utilização d máquinas d calcular potnts, ou d adquados programas computacionais. Mau grado tal, a coltâna d mplos qu s mostram nst tto, todos ligados a funçõs rais d variávl ral, prmit uma dominância dos mcanismos qu podm srvir para lvantar ssas msmas indtrminaçõs. Há já uns bons anos, m convrsa corrnt com um conjunto d alunos do primiro ano d crto curso d licnciatura m Gstão, no âmbito da actividad scolar d crta instituição d nsino suprior, foi possívl ouvir a um dsss alunos sta dúvida: qual é a razão d s chamar a sts casos indtrminaçõs? Dpois d plicado o concito d indtrminação, dtrmini-m a scrvr um pquno tto, à laia d mmorando, d mold a clarificar aqul concito através d mplos divrsos, ditando mão da mais important noção da Anális Matmática, a noção d it, mbora aplicada ao caso do comportamnto d funçõs m circunstâncias dtrminadas. É ss tto, ntão laborado, qu s aprsnta aqui. Quando s prtnd calcular o it para qu tnd crta função, qu aqui s considra como ral d variávl ral, à mdida qu a rspctiva variávl indpndnt s aproima d crto ponto do su domínio, ou crsc indfinidamnt m módulo, pod

2 sr-s conduzido a uma prssão qu, no imdiato, não trá um significado conhcido. Uma tal situação toma o nom d indtrminação. Quando tal sucd, procd-s ao lvantamnto dssa indtrminação, para tal ditando mão d instrumntos matmáticos divrsos, adquados ao caso qu s prtnd studar. Vão, pois, tratar-s aqui as divrsas indtrminaçõs qu podm surgir no cálculo d its d funçõs rais d varíavl ral, ditando mão d mplos divrsos qu sirvam para ilustrar qu crta indtrminação pod, afinal, rprsntar, d facto, coisas matmáticas distintas, m cnários igualmnt difrnts. INDETERMINAÇÃO DO TIPO / Para ilustrar st tipo d indtrminação considr-s o cálculo do it da função qu s trata no sguint EXEMPLO. Sja a função: dfinida m R/{}. Prtnd calcular-s: f ( ) f ( ). Procdndo ao cálculo do it, nos trmos conhcidos, virá: caindo-s, pois, numa indtrminação. Rcorrndo à Rgra d Hospital, com a finalidad d lvantar sta indtrminação, tr-s-á:.

3 Pôd, dst modo, ficar a sabr-s qu a função considrada s aproima d quando a variávl indpndnt s aproima d por valors maiors qu, ou sja, pla dirita dst valor. Sja, agora, a nova função qu s studa no sguint EXEMPLO. Prtnd calcular-s: ond a função d ncontra também dfinida m m R/{}. Ora, tal como no caso tratado no mplo antrior, também aqui s stá prant uma indtrminação do msmo tipo, dado tr-s: Rcorrndo, mais uma vz, à Rgra d Hospital, virá:. Por fim, um trciro mplo, com a função tratada no sguint EXEMPLO. Sja, dsta vz, a função dfinida m R/{}, para a qual s prtnd calcular: Dado qu s tm:

4 podrá rcorrr-s à propridad antriormnt utilizada, obtndo-s, ntão:. INDETERMINAÇÃO DO TIPO / Para s procdr à ilustração dst tipo d indtrminação comc-s plo cálculo do it da função qu s trata no sguint EXEMPLO. Sja a função: f ( ) 7 dfinida m R/{ 7}. Prtnd aqui calcular-s: 7 dado qu a aplicação das rgras corrnts conduz à nova indtrminação qu pod vrs. Ora, nst caso, pod lvantar-s a indtrminação através d um artifício: Pôd assim prcbr-s qu a função studada crsc indfinidamnt quando o msmo s dá com a variávl indpndnt. Sja agora o caso da função studada no sguint EXEMPLO. Sja a função:

5 f ( ) 3 3 dfinida m ], [, para a qual s tm a indtrminação: 3 3. Voltando a ditar mão do antrior artifício, virá: ficando assim a sabr-s qu, quando a variávl indpndnt crsc indfinidamnt no smi-io positivo das abcissas, a função aproima-s d zro, mbora por valors maiors qu zro. Ou sja, a função tm no io das abcissas uma assímptota horizontal. Por fim, tom-s a função qu s aprsnta no sguint EXEMPLO. Considr-s a função dfinida m indtrminação: [, [, para a qual surg a Mais uma vz pod rcorrr-s ao antrior artifício, vindo:

6 o qu mostra qu, também aqui, a função studada aprsnta uma assímptota horizontal, qu é a rcta d nívl d ordnada igual ao it ncontrado. INDETERMINAÇÃO DO TIPO Para facilmnt s ntndr o qu stá m jogo nst caso, ilustra-s o msmo com o studo d duas funçõs, a primira das quais s aprsnta com o sguint EXEMPLO. Sja a função: f ( ) dfinida m ], [, para a qual s tm a indtrminação:. Para s lvantar sta indtrminação, comça por tomar-s o logaritmo da função m studo, obtndo-s: ( ) ln f ( ) ln( ) ln( ) ( ) vindo ntão: ln( ) ( ) ( ) ( ) ( ).. plo qu s tm: ln f ( ) f ( ). Sja, agora, o sgundo caso rfrido qu s aprsnta com o sguint

7 EXEMPLO. Sja a função: f ( ) ( sn) ln dfinida m ],[, para a qual s tm a indtrminação: ( ) ( ln sn ). Aplicando logaritmos à função dada, virá: plo qu s trá: 3 ( ) ln sn ln 3 3 ( ) ln( ) ( ) 3 ln 3ln sn sn ln cos sn 3. 3 ( cos ) 3. ( sn) Nsts trmos, tr-s-á: ( ) ( ) ln ln ( ) ( ln sn sn ) INDETERMINAÇÃO DO TIPO Para s ntndr d um modo simpls o qu stá m jogo com st tipo d indtrminação, ilustra-s o msmo com o studo d duas novas funçõs, a primira das quais s aprsnta com o sguint EXEMPLO. Sja a função:

8 8 f ( ) dfinida m ], [, para a qual s tm a indtrminação: 8 8. Nst caso a indtrminação surgida pod lvantar-s d um modo simpls já conhcido do nsino scundário, tndo-s, assim: ( ) ( ) ( ) 8 ( ). Vja-s, agora, o sgundo caso dst tipo d indtrminação, através da função studada no sguint EXEMPLO. Tom-s a função: f ( ) dfinida m ], [, para a qual s tm a indtrminação:. Aplicando logaritmos à função dada, virá: ln ln( ) ln( )

9 plo qu s tm: ln( ) ln( ) plo s virá: ln ( f ( ) ) f ( ). INDETERMINAÇÃO DO TIPO Para s comprndr, d um modo simpls, o prsnt tipo d indtrminação, ilustra-s o msmo com o studo d quatro funçõs, a primira das quais s aprsnta com o sguint EXEMPLO. Sja a função: f ( ) dfinida m ]3, [, para a qual s tm a indtrminação: Ora, a função dada pod scrvr-s na forma: f ( ) plo qu virá: 3 3 6

10 EXEMPLO. Considr-s a função: f ( ) 3 9 dfinida m ]3, [, para a qual s tm a indtrminação: Ora, a função dada pod scrvr-s na forma: f ( ) 9 plo qu virá: ou sja, a função dada aprsnta a assímptota vrtical, d quação, 3. EXEMPLO. Pns-s agora na função: f ( ) dfinida m ]3, [, para a qual s tm a indtrminação: Tm-s, ntão: [ ].

11 [ ][ ] EXEMPLO. Por fim, a quarta função qu ilustra st tipo d indtrminação: f ( ) ch( ) sh( ) dfinida m R, para a qual s tm a indtrminação: Dado qu s tm: [ ch sh ] ( ) ( ). [ ] f ( ) ch( ) sh( ) virá, por fim: [ ] ch( ) sh( ). INDETERMINAÇÃO DO TIPO. A fim d s comprndr facilmnt st tipo d indtrminação, ilustra-s o msmo com o studo d quatro funçõs, a primira das quais s aprsnta com o sguint EXEMPLO. Sja a função: f ( ) ( )

12 dfinida m ], [, para a qual s tm a indtrminação: ( ). Ora, simplificando ditando mão da Rgra d Hospital, virá, finalmnt: ( ) ( ). ( ) EXEMPLO. Considr-s a função: f ( ) ln( ) dfinida m ], [, para a qual s tm a indtrminação: Virá, ntão: [ ] ( ) ln( ).. [ ln( )] ln( ) 5, 5,, 5 EXEMPLO. Tom-s a função: f ( ). 3 4 dfinida m R, para a qual s tm a indtrminação: 3 4 [ ]...

13 Acontc qu a função dada pod scrvr-s, d um modo quivalnt simplificado, na forma: f ( ). 3 4 ou sja, a função dada é uma função constant, plo qu s tm: INDETERMINAÇÃO DO TIPO Finalmnt, o último tipo d indtrminação, para o qual s mostram aqui duas funçõs, a primira das quais s aprsnta com o sguint EXEMPLO. Sja a função: f ( ) 3 dfinida m ]3, [, para a qual s tm a indtrminação: 3 Aplicando logaritmos à função m studo, virá: ln 3 ln 3 plo qu s trá:

14 ln 3 ( )( 3) ( ) ( 3) 3. A obtnção dst valor só na aparência é complicada, dpndndo apnas d simplificaçõs algébricas bastant lmntars. Assim, tr-s-á: ( ) ln f ( ) f ( ). EXEMPLO. Sja a função: [ ] f ( ) 7 dfinida m ], [, para a qual s tm a indtrminação: [ 7]. Acontc qu a função dada pod assumir a forma quivalnt qu s mostra d sguida: plo qu virá: [ ] 7 [ 7] ( ). 7 O conjunto d mplos qu s aprsntou antriormnt, pnsa-s, trá ilustrado os divrsos tipos d indtrminação qu s aprsntam quando procuram calcular-s

15 its d funçõs rais d variávl ral, ou simplsmnt d sucssõs d trmos rais, mas também o modo d oprar o su lvantamnto.

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