Equações não lineares processo iterativo

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1 Equaçõs não linars procsso itrativo Sja uma função considr-s a quação =0. A solução da quação dsigna-s por rai da quação ou por ro da função () y Sucssão itrativa: 0,,, 3, = Prtndmos qu a sucssão d valors convirja para a solução, ousja,quo rro tnda para ro 0,,, 3,,,,, 0 =

2 Equaçõs não linars - multiplicidad Propridad: m Sja um ro da função f( ). S f( ) C, ntão tm multipliciad m ss f= f = f = f = f ( m ) ( m) ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0,, ( ) 0, ( ) 0 E: y y y m= ro simpls m= ro duplo m=3 ro triplo

3 Equaçõs não linars ordm d convrgência Para avaliar a rapid d convrgência dum método indicamos a ordm d convrgência ( a constant d rro assimptótico),,,,, 0 +,,,,, = S a partir duma crta ordm, + 0 < m p M<, com p, ntão o método tm ordm d convrgência p S istir o limit, lim + p = c, ntãoc é a constant d rro assimptótico Nst caso é usual scrvr-s + c p

4 Equaçõs não linars ordm d convrgência Emplo : Considrar as sguints squências d rros: lim + p = c i) 4 = = 0 6 = 0 = = p=, c=/ ii) = 4 0 = 8 0 = = = p=, c=/ Emplo : Considrar as sguints squências d rros: i) 4 = = 0 6 = 0 = = p=, c=/ ii) = 4 0 = 0 = = = p=, c=/4

5 Método da bisscção ordm d convrgência y a 0 a 3 =a =a = 4 b 3 = 3 b = b=b0 + = a + b

6 Método da bisscção ordm d convrgência intrvalo [a,b ] qu contém rai f(a ) ₓ f(b ) < 0 dividir intrvalo ao mio, + =(a +b )/ f(b ) scolhr novo intrvalo [a +,b + ] qu contnha a rai + =a + a b=b+ f(a ) Critério d paragm (spcífico para método da bisscção) Prtndmos: n = n < ε No método da bisscção: n bn an b = a 0 0 n Númro d itraçõs: b a 0 0 n ε n b0 a0 < ε n b a n ε 0 0 < > n log() log b a ε 0 0 > b a log ε n > log() 0 0

7 Método da falsa posição ordm d convrgência intrvalo [a,b ] qu contém rai rcta scant (intrpolação linar) f(b ) dtrminar intrscção da scant com io dos a + scolhr novo intrvalo [a +,b + ] qu contnha a rai b f(a ) Equação da rcta scant (ou sja do polinómio intrpolador) tabla dif. divididas a b f( a ) f( b ) fa [, b] = fb ( ) fa ( ) b a fb ( ) fa ( ) p( ) = f( a) + a b a ( ) p( ) = f( a ) + f[ a, b ] a ( )

8 Método da falsa posição ordm d convrgência Intrscção da rcta scant com o io dos p ( ) = 0 fa ( ) + fa [, b] ( a) = f(b ) a + ( ) fa [, b] a = fa ( ) + b a = + fa ( ) fa [, b] f(a ) = a + fa ( ) fa [, b] Eplicitando a difrnça dividida rsulta, a fa ( ) ( ) fa ( ) b a = + fb A prssão antrior pod scrvr-s d outro modo, + = fb ( ) a fa ( ) b fb ( ) fa ( )

9 Método da falsa posição ordm d convrgência y a 0 a =a a 3 b =b 3 b0=b = + a fa ( ) fa [, b]

10 Majorant do rro critério d paragm Epansão d f() m séri d Taylor m torno d (séri d ordm 0 com rsto d ordm ) f () = f ( ) + f ( ξ)( ), ξ intr(, ) II 0 f ( ) = f ( ξ) = f ( ) f ( ξ) f ( ) f ( ), m f ( ξ) M M m minorant primira majorant primira drivada drivada Ou sja, na itração, o rro é limitado por f ( ) f ( ) M m

11 Majorant do rro critério d paragm O rsultado antrior pod sr utiliado num critério d paragm. S prtndrmos um rro infrior a uma tolrância ε, f ( ) < ε < ε f ( ) < m ε m ou sja, paramos d itrar quando o valor da função for infrior ao produto da tolrância (ε ) com o minorant da primira drivada (m) f( ) Est critério d paragm pod sr aplicado à gnralidad dos métodos qu abordam a quação na forma =0

12 Métodos da falsa posição modificado da scant y S no intrvalo [a,b ] a função não altrar a sua concavidad (s for côncava ou s for conva)ométododafalsaposiçãotnda imobiliar um dos trmos a convrgir lntamnt para a rai a - a a + b Possívis altraçõs ao método da falsa posição: método da falsa posição modificado (algoritmo d Illinois) método da scant

13 Método da falsa posição modificado (algoritmo d Illinois) f(b ) S um dos trmos s mantivr m duas itraçõs sguidas, ntão dividir (sucssivamnt) o valor da função dss trmo por f(b )/ a - a + b + = fb ( ) a fa ( ) b fb ( ) fa ( ) + = fb ( ) a fa ( ) b fb ( ) fa ( )

14 Método da scant y Formula d itração + = f ( ) f [, ] f ( ) f ( ) c/ f [, ] = Modo altrnativo d scrita + = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) os pontos utiliados para traçar a scant são as duas últimas stimativas o intrvalo pod não contr a rai o método pod não convrgir s convrgir a ordm d convrgência é d ( + 5) / =.68 (para ros simpls)

15 Ordm d convrgência supralinar (>) Ercício: a) Dmonstr qu s { } for uma sucssão qu convrg supralinarmnt para, ntão + lim = a) + lim b) Qual é a importância dst rsultado do ponto d vista dum critério d paragns d itraçõs? = + + lim = lim ± + = lim ± + Pla dfinição d ordm d convrgência, > N, 0< m p M< + = ± lim + Então, + + p M p M + M p

16 Ordm d convrgência supralinar (>) Para convrgência supralinar (p>), + p lim lim M = 0 porqu p> (logo p > 0) Rsumindo, = ± = ± = + + lim lim 0 b) + lim = = + ou sja, assimptoticamnt (i.., no limit) + plo qu + rprsnta uma stimativa do rro logo s prtndrmos um rro infrior a ε (i.., < ε ) podrmos trminar o procsso itrativo quando a difrnça ntr duas itraçõs sguidas forinfrioraε, ou sja, quando + <ε Nota: fctuamos o cálculo d + para qu o rro d sja infrior a ε ( = )

17 Método d Nwton y stimativa inicial 0 rcta tangnt (intrpolação linar d Hrmit) dtrminar intrscção da tangnt com io dos 0 Equação da rcta tangnt (ou sja do polinómio intrpolador d Hrmit) tabla dif. div. f ( ) f( ) f [, ] = f ( ) ( ) p( ) = f( ) + f ( )

18 Método d Nwton Intrscção da rcta tangnt com o io dos p ( ) = 0 f ( ) + f ( ) ( ) = ( ) + f ( ) = f( ) y 0 = + f ( ) f( ) = + f ( ) f( ) A prssão antrior pod sr scrita na forma, = + = + h, h f ( ) f( ) (S convrgir,) A ordm d convrgência do método d Nwton é d (para ros simpls)

19 Método d Nwton ordm condiçõs d convrgência Prob: { } Sja [, ], [, ], considr a squência grada plo método d Nwton a b 0 a b a) Dmonstr qu, s f ( ) 0, [ a, b], s a squência convrgir para, ntão a ordm d convrgência é d (quadrática). b) Aprovit para stablcr uma condição qu garanta a convrgência. a,b) Método d Nwton = + f ( ) f( ) y Epansão d f() m séri d Taylor m torno d (séri d ordm com rsto d ordm ) f ( ξ) f( ) = f( ) + f ( ) ( ) + ( ) II 0 ξ intr(, ) [ ab, ] 0

20 Método d Nwton ordm condiçõs d convrgência f ( ξ) f ( ) = f ( ) + f ( ) ( ) + ( ) II 0 f ( ) f ( ξ) = ( ) f ( ) f ( ) f ( ξ) = + ( ) f ( ) f ( ξ) f ( ) ( ) = f( ) ( ) f ( ) f ( ξ) = ( ) f ( ) f ( ) + + f ( ξ) + = ( ) f ( ) f ( ξ) + = f ( ) Tomando o minorant para a primira drivada o majorant para a sgunda drivada (*) 0 < ( ) f m f ( ξ) M M + m M + m Para havr convrgência o rro têm d diminuir (duma itração para a outra), plo qu Condição d convrgência (do método d Nwton) M m 0

21 Método d Nwton ordm condiçõs d convrgência Rtomando a quação (*), s istir convrgência, ntão f ( ) = ξ + f ( ) + f ( ξ) lim = lim f ( ) + f () lim = f ( ) plo qu, para ros simpls, a ordm d convrgência do método d Nwton é quadrática

22 Método d Mullr intrpolação quadrática y + p() Polinómio intrpolador p ( ) = f( ) + f[, ] ( ) + f[,, ] ( ) ( ) qu pod scrvr na forma p A B C ( ) ( ) ( ) = + + c/ A = f[,, ] B = f[, ] + f[, ] f[, ] C = f( ) utiliar as 3 últimas aproimaçõs para fctuar intrpolar quadrática (,, ) novo ponto é a intrscção da parábola com o io dos Nota: Para iniciar o procsso, trão d sr forncidas 3 stimativas iniciais (,, 0 )

23 Método d Mullr intrpolação quadrática y + p() Nova aproimação (intrscção com ) qu s pod scrvr na forma + = ( 4 ) B ± B A C = + A C + B ± B A C c/ A = f[,, ] ( 4 ) B = f[, ] + f[, ] f[, ] C = f( ) das duas intrscçõs istnts, scolhr a mais próima da última aproimação (ou sja, o sinal ± é scolhido d modo a maimiar o dnominador, para qu + sja mínimo) o método prmit obtr raís complas (S convrgir,) A ordm d convrgência do método d Mullr é d.84 (para ros simpls)

24 Intrpolação quadrática invrsa y = f (y) = g(y) g(y) p(y) y + y y y S a função tivr invrsa, podmos utiliar intrpolação invrsa, = f (y) = g(y) utiliar as 3 últimas aproimaçõs para fctuar intrpolar quadrática (,, ) novo ponto ( + ) é o valor do polinómio intrpolador invrso m y=0 Nota: Para iniciar o procsso, trão d sr forncidas 3 stimativas iniciais (,, 0 )

25 Polinómio intrpolador Intrpolação quadrática invrsa p() y = g( y ) [, + g y y ]( y y) + g[ y, y, y ]( y y)( y y ) Atndndo a qu gy [, y ] gy [, y, y ] A nova aproimação é o valor do polinómio m y=0 = p(0) = gy [, y ] y + gy [, y, y ] y y + gy ( ) gy ( ) = = = y y y y f[, ] = = gy [, y ] gy [, y ] y y y y f[, ] f[, ] g(y) p(y) y + y y y A formula itrativa da intrpolação quadrática invrsa pod scrvr-s + = y y y + f [, ] y y f[, ] f[, ] (S convrgir,) A ordm d convrgência da intrpolação quadrática invrsa é.84

26 Itrativo ponto fio condição ordm d convrgência Epansão d g() m séri d Taylor m torno d (pansão d ordm 0 com rsto d ordm ) g () = g ( ) ()( ), intr(, ) [, ] + g ξ ξ ab II II + = + + g ( ξ) ( ) + = g ( ξ) ( ) + = g ( ξ) + Considrando g ( ξ) M, [ a, b] podmos scrvr + M + = g ( ξ) A condição para o procsso sr convrgnt é M < (ou sja, s g() for contractiva). Além disso constatamos qu a ordm d convrgência é (linar). Torma: S I= [ a, b], g( I) I sg() forcontractivami (i.., s g () < m I), ntão a solução do problma =g() é única o procsso + =g( )convrgpara sja qual for a stimativa inicial 0 I= [ a, b]

27 Itrativo ponto fio condição ordm d convrgência g () < procsso convrgnt g () > procsso divrgnt y=g() y= y=g() y= =g( ) =g( ) =g( 0 ) =g( 0 ) 0 0

28 Itrativo ponto fio condição ordm d convrgência g () < procsso convrgnt g () > procsso divrgnt y= y=g() y=g() y= =g( ) =g( 0 ) =g( 0 ) =g( ) 0 0

29 Itrativo ponto fio majorant do rro, critério d paragm Ercício: Mostr qu no método itrativo d ponto fio M + + c/ g ( ) M<, [ a, b] M Epansão d g() m séri d Taylor m torno d (pansão d ordm 0 com rsto d ordm ) g () = g ( ) ()( ), intr(, ) [, ] + g ξ ξ ab II II + = + + g ( ξ) ( ) + = g ( ξ) ( ) + = g ( ξ) ( ) + + = g ( ξ) ( + ) + g ( ξ) ( + ) [ g ξ ] + = g ξ + Considrando g ( ξ) M<, [ a, b] g ( ξ) = g ( ξ) M M ( ) ( ) ( ) ( ) ( M) + M + M M pod sr utiliado num critério d paragm do método ponto fio. S prtndrmos + < ε, ntão paramos quando M M + < ε + < ε M M

30 Itrativo ponto fio ordm d convrgência Epansão d g() m séri d Taylor m torno d (pansão d ordm 0 com rsto d ordm ) g () = g ( ) ()( ), intr(, ) [, ] + g ξ ξ ab II II + = + + g ( ξ) ( ) + + = g ( ξ) ( ) + = g ( ξ) = g ( ξ) + = = + lim lim g ( ξ) g ( ) lim + p = C A ordm d convrgência é linar (p=) a constant d rro assimptótico é C= g () Quanto mais pquna for a constant d rro assimptótico, mais rápida é a convrgência Uma forma d mlhorar a rapid d convrgência é utiliar aclração d Aitn

31 Itrativo ponto fio aclração d Aitn Tomando o antrior rsultado = g ( ξ ) ( ), ξ intr(, ) + = g( ξ ) ( ), ξ intr(, ) Considrando g ( ξ) g ( ξ + ) G Dsnvolvndo a quação (*) + ( ) Tndo m conta a aproimação para G + G ( ) G ( ) + + G ( ) G ( G ) + (*) G G G G + G G

32 Itrativo ponto fio aclração d Aitn Contudo = ( ) ( + + ) = + + ( ) ( ) = plo qu ( ) Aclração d Aitn grar uma nova squência (a partir d squência obtida por itrativo ponto fio) ( ) 0 + = Anovasquência tm na msma ordm d convrgência, 5 3 mas possui mlhor constant d rro assimptótico C= g () squência por ponto fio 0 Aitn

33 Método d Stfnsn As itraçõs gradas por ponto fio são fctuadas sobr a aproimação grada por Aitn itração itração itração 3 ponto fio 0 g( 0 ) g(g( 0 )) Aitn g( ) g(g( )) Aitn g( ) g(g( )) Aitn 3 g( 3 ) g(g( 3 )) Aitn 4 A formula d itração rsultant é + [ g ( ) ] ( ) = gg ( ) g ( ) + O método d Stffnsn pod sr aprsntado como um método itrativo d ponto fio [ g ( ) ] ( ) + = G( ) c/ G( ) = gg ( ) g ( ) +

34 Método d Stfnsn Pod mostrar-s qu: ) S g (), ntão é um ponto fio atractivo d G() G ()=0 ) Não é ncssário qu sja ponto fio atractivo d g() para havr convrgência 3) S istir convrgência, sta é supralinar (quadrática) OmétododStffnsntambémpodsrobtidoatravésdaintrscçãodarcta y= com a rcta scant qu passa por pontos grados plo método itrativo d ponto fio y=g() y= g(g( )) g( ) g( ) +

35 Dtrminação d todos os ros d polinómios Sja uma quação polinomial p n ()=0. Após obtrmos um primiro ro, p ( ) = ( ) q ( ) n n grau n grau n o problma pod passar a sr prsso na forma q n ()=0 (dflação). Contudo, o cálculo dos coficints d q n () stá sujito a rros d arrdondamnto. Uma altrnativa é considrar a forma implícita d q n (), i.. considrar pn ( ) ( ) ( f q ) = = n Por vs é vantajoso dsnvolvr sta forma implícita é o caso do método d Nwton f ( ) = = + h + f( ) II h pn ( ) ( ) ( f q ) = = n q ( ) = = + + h q( ) II h c/ h q ( ) = q( )

36 Dtrminação d todos os ros d polinómios p( ) q ( ) = p ( ) ( ) p( ) p ( ) p( ) q ( ) = = ( ) ( ) q ( ) h = q( ) q ( ) = h q( ) = p ( ) p( ) ( ) p ( ) p ( ) = + p( ) ou sja, após conhcrmos, o procsso itrativo do método d Nwton é = + + h c/ p ( ) p ( ) = + h = + h p p ( ) ( ) É possívl gnraliar o procsso, após conhcrmos,, 3,, m = + + p ( ) h c/ h = p( ) m Nota: É vantajoso dtrminar os ros por ordm crscnt do su valor absoluto (dvido à trma snsibilidad dos ros dos polinómios d grau lvado a pqunas prturbaçõs nos coficints)

37 Dtrminação d todos os ros d polinómios Emplo: Obtr o ros rais d p() = plo método d Nwton conjugado com a técnica d dflação. Sugstão: partir smpr da origm, 0 =0 3 p ( ) = p( ) = 3 + Cálculo d : = + + h h p = ( ) p( ) 0 = 0 h0 = p( 0) p ( 0) = p( 0) p (0) = 0,54(54) = 0 + h 0 = 0,54(54) h = p( ) p ( ) = 0, = + h = 0, h = p( ) ( ) = 0, = + h = 0, = 3+ h3 = 0, = 4 + h4 = 0, p h = p( ) p ( ) =, p h = p( ) ( ) = 9, p h = p( ) ( ) =, = 5+ h 5 = p( 6) = p() = 0 = 4 6

38 Cálculo d : Dtrminação d todos os ros d polinómios Usar dflação, p ( ) q ( ) = = = = + + h 0 = 0 = 0 + h0 =, = + h =, = + h =, h 4 = 3+ h3 =, q ( ) = q( ) q ( ) = q ( ) h h h p ( ) = + p ( ) p( 0) p(0) 0 = + = + p( 0) 0 p(0) 0 = p( ) h 3 = 3, h 4 =, = + = p( ) p( ) = + = p( ) 0, , , 5 = 4 + h4 =, h 5 =, = 5+ h5 = p( 6) = p() = 0 = 6

39 Dtrminação d todos os ros d polinómios Cálculo d 3 : Usar dflação, q( ) = 3 p ( ) = ( )( ) ( )( ) =, = = + + h h q ( ) = q( ) q ( ) = q ( ) p ( ) = + + p ( ) 0 = 0 h 0 p( 0) p(0) = + + = + + = p( ) 0 0 p(0) = 0 + h0 = 3 p( ) = p(3) = 0 3 = 3 =, =, = 3 3