Lista 1 - Problemas relativos a conversão de bases numéricas e propagação

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1 Lista d xrcícios - Cálculo numérico /1 - Prof. Fabio S. d Azvdo Lista 1 - Problmas rlativos a convrsão d bass numéricas propagação d rros Qustão 1. Convrta para bas dcimal cada um dos sguints númros: a) b) c) 100 b d) 12 5 ) AA 16 f) g) Rsp: 4, 9, b 2, 7, 170, 7.125, Qustão 2. Escrva o númro x = 5.5 m bas binária Rsp: Qustão 3. Escrva o númro x = m bas hxadcimal (16): Rsp: 11.1C 16 Qustão 4. Quantos algarismos são ncssários para rprsntar o númro m bas binária? E m bas 7? Dica: Qual é o mnor o maior intiro qu pod sr scrito m dada bas com N algarismos? Rsp: 50, 18 Qustão 5. Escrva x = m bas dcimal binária. Rsp: , Qustão 6. Expliqu a difrnça ntr o sistma d ponto xo ponto utuant. Qustão 7. Considr qu a variávl x 2 é conhcida com um rro rlativo d 1% a variávl y 10 com um rro rlativo d 10%. Calcul o rro rlativo associado a z quando z = y4 1 + y 4 x. Suponha qu você prcis conhcr o valor d z com um rro d 0.5%. Como ngnhiro, você propõ uma mlhoria na mdição da variávl x ou y? Expliqu. Rsp: 2% xp(1/µ) Qustão 8. Considr as xprssõs 1 para µ > 0. Vriqu qu las são idênticas como 1+xp(1/µ) xp( 1/µ)+1 funçõs rais. Qual dlas dssas xprssõs é mais adquada quando µ é um númro pquno. Tst no scilab para µ =.1, µ =.01 µ =.001. Qustão 9. Encontr xprssõs altrnativas para calcular o valor das sguints funçõs quando x é pquno. 1

2 a) f(x) = 1 cos(x) x 2 b) g(x) = 1 + x 1 c) h(x) = x d) i(x) = 1 + x 2 Dica: Faça y = x 1 Compar o valor dssas xprssõs quando x é muito pquno. Rsp: a) x2 4! + O(x 4 ), b)x/2 + O(x 2 ), c) x + O(x 2 ) d) 2 4 y + O(y2 ) = 2 4 x + O(x2 ) Qustão 10. (Notas do prof. Guidi) Rscrva as xprssõs 2x + 1 x 2x + x 2 x d modo qu sja possívl calcular sus valors para x = 100 utilizando a aritmética d ponto utuant ("Doubl") do Scilab. Qustão 11. Na toria da rlatividad rstrita, a nrgia cinética d uma partícula sua vlocidad s rlacionam pla sguint fórmula: ( ) E = mc (v/c) 2 ond E é a ngia cinética da partícula, m é a massa d rpouso, v o módulo da vlocidad c a vlocidad da luz no vácuo dada por c = m/s. Considr qu a massa d rpouso m = Kg do létron sja conhcida com rro rlativo d Qual é o valor da nrgia o rro rlativo associado a ssa grandza quando v = 0.1c, v =.5c, v =.99c v =.999c sndo qu a incrtza rlativa na mdida da vlocidad é 10 5? Rsp: J, 0.002%; J, 0.002%; J, 0.057%, J, 0.522%. Qustão 12. Calcul o valor da nrgia cinética E d um corpo d 1Kg qu s mov a uma vlocidad d 10m/s usando a fórmula rlativística. Para fazr ss cálculo, us o softwar Mapl com prcisão d 10 dígitos, 12 dígitos, 15 dígitos, 20 dígitos 50 dígitos. Expliqu o qu stá acontcndo proponha uma fórmula altrnativa para a nrgia cinética mais adquada para pqunas vlocidads. ( Rsp: E = (1 m 2 v2 + 3 v ) ) 2 4 c +... Lista 2 - Problmas rlativos ao torma do valor intrmdiário métodos d cort Qustão 13. Apliqu o torma do valor intrmdiário a um intrvalo adquado mostr qu o rro absoluto associado à aproximação para a solução xata x d é infrior a x + sin(x) + x = 10 Qustão 14. Mostr qu a quação ln(x) + x 1 x = v possui uma solução para cada v ral qu sta solução é única. 2

3 Qustão 15. Mostr qu a quação do problma 14 possui uma solução no intrvalo [1, v + 1] para todo v positivo. Dica dna f(x) = ln(x) + x 1 v considr a sguint stimativa: x f(v + 1) = f(1) + v+1 1 f (x)dx v + v+1 1 dx = 0. Us sta stimativa para iniciar o método d bissção obtnha o valor da raiz com plo mnos 6 algarismos signicativos para v = 1, 2, 3, 4 5. Rsp: , , , , Qustão 16. Rsolva a quação do problma 13 para v = 1, ncontrando um intrvalo inicial plo método gráco. Exprss a solução com plo mnos 6 dígitos signicativos. Rsp: Qustão 17. Trac o gráco isol as três primiras raízs positivas da função ( x f(x) = 5 sin(x 2 ) xp. 10) Rsp: A primira raiz s ncontra no intrvalo (0.4, 0.5). A sgunda raiz no intrvalo (1.7, 1.8). A trcira raiz s ncontra no intrvalo (2.5, 2.6). Qustão 18. Mostr qu a quação cos(x) = x possui uma única solução no intrvalo [0, 1]. Encontr uma aproximação para sta solução com 4 dígitos signicativos. Rsp: Qustão 19. (Estática) Considr o sguint problma físico: uma plataforma stá xa a uma pard através d uma dobradiça cujo momnto é dado por τ = kθ ond θ é angulo da plataforma com a horizontal k é uma constant positiva. A plataforma é fita d matrial homogêno, su pso é P sua largura é l. Modl a rlação ntr o ângulo θ o pso P próprio da plataforma. Encontr o valor d θ quando l = 1m, P = 200N, k = 50Nm/rad, sabndo qu o sistma stá m quilíbrio. Us o método da bissção xprss o rsultado com 4 algarismos signicativos. Rsp: kθ = lp cos(θ) com θ (0, π/2) Qustão 20. Intrprt a quação cos(x) = kx como o problma d ncontrar a intrscção da curva y = cos(x) com y = kx. Encontr o valor positivo k para o qual ssa quação admit xatamnt duas raízs positivas distintas. Rsp: k Qustão 21. Considr a quação d Lambrt dada por x x = t ond t é um númro ral positivo. Mostr qu sta quação possui uma única solução x qu prtnc ao intrvalo [0, t]. Usando sta stimativa como intrvalo inicial, quantos passos são ncssário para obtr o valor numérico d x com rro absoluto infrior a 10 6 quando t = 1, t = 10 t = 100 através do método da bissção? Obtnha sss valors. Rsp: 19,23, , ,

4 Qustão 22. Rsolva numricamnt a inquação Rsp: x > a com a x2 < 2x Qustão 23. O polinômio f(x) = x 4 4x possui raizs duplas m 2 2. O método da bissção pod sr aplicados a f? Expliqu. Qustão 24. (Eltrônica) O dsnho abaixo mostra um circuito não linar nvolvndo uma font d tnsão constant, um diodo rticador um rsistor. Sabndo qu a rlação ntr a corrnt (I d ) a tnsão (v d ) no diodo é dada pla sguint xprssão: ( ) ) vd I d = I 0 (xp 1 ond I 0 é a corrnt d condução rvrsa v t, a tnsão térmica dada por v t = kt com k, a constant d q Boltzmann, T a tmpratura d opração q, a carga do létron. Aqui I 0 = 1pA = A, T = 300K. Escrva o problma como uma quação na incógnita v d, usando o método da bissção, rsolva st problma com 3 algarismos signicativos para os sguints casos: v t a) V = 30V R = 1kΩ. b) V = 3V R = 1kΩ. c) V = 3V R = 10kΩ. d) V = 300mV R = 1kΩ. ) V = 300mV R = 1kΩ. f) V = 30V R = 1kΩ. g) V = 30V R = 10kΩ. Dica: V = RI d + v d. Rsp: a) 0.623, b) 0.559, c) 0.500, d) 0.300, ).3, f) 30, g) 30 Qustão 25. (Propagação d rros) Obtnha os valors d I d no problma 24. Lmbr qu xistm duas xprssõs disponívis: ( ) ) vd I d = I 0 (xp 1 I d = v v d R. Faça o studo da propagação do rro dcida qual a mlhor xprssão m cada caso. Rsp: a) , b) , c) , d) , ) 10 12, f) 10 12, g) v t 4

5 Lista 3 - Problmas rlativos a métodos itrativos Qustão 26. Considr os sguints procssos itrativos: { xn+1 = cos(x a n ) x 1 =.5 { xn+1 =.4x b n +.6 cos(x n ) x 1 =.5 (1) Us o torma do ponto xo para vricar qu cada um dsss procssos convrg para a solução da quação x d cos(x) = x. Obsrv o comportamnto numérico dssas squências. Qual stabiliza mais rápido com cinco casas dcimais? Discuta. Dica: Vriqu qu cos([0.5, 1]) [0.5, 1] dpois a msma idntidad para a função f(x) =.4x+.6 cos(x). Qustão 27. (Fluidos) Na hidráulica, o fator d atrito d Darcy é dado pla implicitamnt pla quação d Colbrook-Whit: ( 1 ε = 2 log f ) 14.8R h R f ond f é o fator d atrito, ε é a rugosidad do tubo m mtros, R h é o raio hidráulico m mtros R é o númro d Rynolds. Considr ε = 2mm, R h = 5cm R = obtnha o valor d f pla itração: ( ε x n+1 = 2 log x ) n 14.8R h R Rsp: Qustão 28. Encontr uma solução aproximada para quação algébrica x = sinh 1 (10 13 x) com rro absoluto infrior a 10 3 usando um método itrativo. Estim o rro associado ao valor d v = x = sinh 1 (10 13 x), usando cada uma dssas xprssõs. Discuta sucintamnt o rsultado obtido. Dica: Est caso é smlhant ao problma 24. Qustão 29. Considr qu x n satisfaz a sguint rlação d rcorrência: ond β x são constants. Prov qu Conclua qu x n x quando 1 β < 1. Qustão 30. (Taxa d convrgência) x n+1 = x n β (x n x ) x n x = (1 β) n 1 (x 1 x ). a) Mostr qu a função ϕ(x) = 1 sin(x) possui um ponto xo stávl. Construa um método itrativo para ncontrar ss ponto xo. Us o Scilab para ncontrar o valor numérico do ponto xo. b) Vriqu qu função ψ(x) = 1 2 [x + 1 sin(x)] possui um ponto xo x qu também é o ponto xo da função ϕ do itm a. Us o Scilab para ncontrar o valor numérico do ponto xo. Qual método é mais rápido? 5

6 Qustão 31. (Esqumas oscilants) a) Considr a função ϕ(x) função composta ψ(x) = ϕ ϕ = ϕ (ϕ(x)). Vriqu todo ponto xo d ϕ também é ponto xo d ψ. b) Considr a função ϕ(x) = 10 xp( x) função composta ψ(x) = ϕ ϕ = ϕ (ϕ(x)). Mostr qu ψ possui dois pontos xos qu não são pontos xos d ϕ. c) No problma antrior, o qu acontc quando o procsso itrativo x n+1 = ϕ(x n ) é inicializado com um ponto xo d ψ qu não é ponto xo d ϕ? Qustão 32. (Aclração d convrgência - introdução ao método d Nwton) Mostr qu s f(x) possui uma raiz x ntão a x é um ponto xo d ϕ(x) = x + γ(x)f(x). Encontr uma condição m γ(x) para qu o ponto xo x d ϕ sja stávl. Encontr uma condição m γ(x) para qu ϕ (x ) = 0. Qustão 33. (Aclração d convrgência - introdução ao método d Nwton) Considr qu x n satisfaz a sguint rlação d rcorrência: x n+1 = x n γf(x n ) ond γ é uma constant. Suponha qu f(x) possui um zro m x. Aproxim a função f(x) m torno d x por f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + O ( (x x ) 2). Em vista do problma antrior, qual valor d γ você scolhria para qu a sguência x n convirja rapidamnt para x. Qu rlação você ncontra com o método d Nwton? Qustão 34. Considr o problma da qustão 24 dois sguints squmas itrativos. { [ ( )] I A n+1 = 1 V v R t ln 1 + I n I0, n > 0 I 0 = 0 { ( ) ] V RI I B n+1 = I 0 [xp n v t 1, n > 0 I 0 = 0 Vriqu numricamnt qu apnas o procsso A é convrgnt para a, b c; nquanto apnas o procsso B é convrgnt para os outros itns. Lista 4 - Problmas sobr o método d Nwton scants Qustão 35. Considr a quação x2 = x trac o gráco com auxílio do Scilab vriqu qu la possui uma raiz positiva. Encontr uma aproximação para sta razão plo gráco us st valor para inicializar o método d Nwton obtnha uma aproximação para a raiz com 8 dígitos signicativos. (Us o comando "format('v',16)" para altrar a visualização no Scilab.) Rsp:

7 Qustão 36. Isol ncontr as cinco primiras raizs positivas da quação com 6 dígitos corrtos atavés d traçado d gráco do método d Nwton. cos(10x) = x. Dica: a primira raiz positiva stá no intrvalo (0, 0.02). Fiqu atnto. Rsp: ; ; ; ; Qustão 37. Encontr as raizs do polinômio f(x) = x 4 4x através do método d Nwton. O qu você obsrva m rlação ao rro obtido? Compar com a situação do problma 23. Qustão 38. Encontr as raizs rais do polinômio f(x) = x x4 + 3x + 1 isolando-as plo método do gráco dpois usando o método d Nwton. Exprss a solução com 7 digitos signicativos. Rsp: , ; Qustão 39. Considr o método d Nwton aplicado para ncontrar a raiz d f(x) = x 3 2x + 2. O qu acontc quando x 0 = 0? Escolha um valor adquado para inicializar o método obtr a única raiz ral dsta quação. Qustão 40. Justiqu a construção do procsso itrativo do Método d Nwton através do concito d stabilidad d ponto xo convrgência do método da itração. Dica: Considr os problmas Qustão 41. Entnda a intrprtação gométrica ao método d Nwton. Encontr uma valor para iniciar o método d Nwton aplicado ao problma f(x) = x x = 0 tal qu o squma itrativo divirja. Rsp: x 0 > 1. Qustão 42. Rfaça as qustõs 35, 36, 37 38, usando o método das scants. Qustão 43. Dê uma intrprtação gométrica ao método das scants. Qual a vantagm do método das scants sobr o método d Nwton? Qustão 44. Rfaça o problma 24 usando o método d Nwton das scants. Qustão 45. (Computação)Apliqu o método d Nwton à função f(x) = 1 u construa um squma x computacional para calcular a invrsa d u com bas m opraçõs d multiplicação soma/subtração. Qustão 46. (Computação)Apliqu o método d Nwton à função f(x) = x n A construa um squma computacional para calcular n A para A > 0 com bas m opraçõs d multiplicação soma/subtração. Lista 5 - Lista nal d problmas Us sta lista para xrcitar sus conhcimntos. Rsolva os problmas d divrsas formas difrnts usandos divrsos métodos distintos. Em alguns casos, srá ncssário usar simplicaçõs analíticas. Quando zr mudanças d variávis, considr a propagação do rro. Qustão 47. A quação cos(πx) = 2x tm innitas raizs. Usando métodos numéricos ncontr as primiras raizs dssa quação. Vriqu a j- ésima raiz (z j ) pod sr aproximada por j 1/2 para j grand. Us o método d Nwton para ncontrar uma aproximação mlhor para z j. Rsp: z , z , z , z , z j j 1/2 ( 1) j 2j+1 π, j > 4 7

8 Qustão 48. (Eltricidad)A corrnt létrica, I, m Ampèrs m uma lâmpada m função da tnsão létrica, V, é dada por ( ) 0.8 V I = 150 Qual a potência da lâmpada quando ligada m séri com uma rsistência d valor R a uma font d 150V quando. (procur rro infrior a 1%) a) R = 0Ω b) R = 10Ω c) R = 50Ω d) R = 100Ω E) R = 500Ω Rsp: 150W, 133W, 87W, 55W, 6.5W Qustão 49. (Bioquímica) A concntração sanguína d um mdicamnt é modlado pla sguint xprssão c(t) = At λt ond t > 0 é o tmpo m minutos dcorrido dsd a administração da droga. A é a quantidad administrada m mg/ml λ é a constant d tmpo m min 1. Rsponda: a) Sndo λ = 1/3, m qu instants d tmpo a concntração é mtad do valor máximo. Calcul com prcisão d sgundos. b) Sndo λ = 1/3 A = 100mg/ml, durant quanto tmpo a concntração prmanc maior qu 10mg/ml. Rsp: a) 42s 8min2s, b) 14min56s. Qustão 50. Considr o sguint modlo para crscimnto populacional m um país: P (t) = A + B λt. ond t é dado m anos. Us t m anos t = 0 para Encontr os parâmtros A, B λ com bas nos anos d 1960, conform tabla: Ano população Us sss parâmtros para calcular a população m 1980 compar com o valor do cnso. Rsp: Qustão 51. (Fluidos) Uma boia sférica utua na água. Sabndo qu a boia tm 10l d volum 2Kg d massa. Calcul a altura da porção molhada da boia. Rsp: 7.7cm 8

9 Qustão 52. (Fluidos) Uma boia cilíndrica tm scção transvrsal circular d raio 10cm comprimnto 2m psa 10Kg. Sabndo qu a boia utua sobr água com o ixo do cilíndro na posição horizontal, calcul a altura da part molhada da boia. Rsp: 4.32cm Qustão 53. Encontr com 6 casas dcimais o ponto da curva y = ln x mais próximo da origm. Rsp ( , ). Qustão 54. (Matmática nancira) Um computador é vndido plo valor a vista d R$2.000,00 ou m 1+15 prstaçõs d R$200,00. Calcul a taxa d juros associada à vnda a prazo. Rsp: 7.19% ao ms Qustão 55. (Matmática nancira) O valor d R$ ,00 é nanciado conform a sguint programa d pagamntos: Mês pagamnto , , , , , , ,00 Calcul a taxa d juros nvolvida. A data do mpréstimo é o mês zro. Rsp: 4.54% ao mês. Qustão 56. (Control d sistmas) Dpois d acionado um sistma d aqucdors, a tmpratura m um forno volui conform a sguint quação T (t) = t t/3. ond T é a tmpratura m Klvin t é tmpo m horas. a) Obtnha analicamnt o valor d lim t T (t). b) Obtnha analicamnt o valor máximo d T (t) o instant d tmpo quando o máximo acontc c) Obtnha numricamnt com prcisão d minutos o tmpo dcorrido até qu a tmpratura pass pla primira vz plo valor d quilíbrio obtido no itm a. c) Obtnha numricamnt com prcisão d minutos a duração do priodo durant o qual a tmpratura prmanc plo mnos 20% suprior ao valor d quilíbrio. Rsp: 500K, 700K m t = 3 ln(2), 26min, 4h27min. Qustão 57. (Prova 2011/2 - Prof. João Carvalho) Encontr as quaçõs d duas rtas tangnts à curva y = x + cos(πx) qu passam plo ponto P (0, π). Qustão 58. Encontr os pontos ond a lips qu satisfaz x2 3 + y2 = 1 intrspta a parábola y = x 2 2. Rsp: (± , ), (± , ) Qustão 59. (Otimização) Encontr a ára do maior rtângulo qu é possívl inscrvr ntr a curva x2 (1 + cos(x)) o ixo y = 0. Rsp:

10 Qustão 60. (Otimização) Uma indústria consom nrgia létrica d duas usinas forncdoras. O custo d forncimnto m rais por hora como função da potência consumida m kw é dada plas sguints funçõs C 1 (x) = x x x x 4 C 2 (x) = x x x 3 Ond C 1 (x) C 2 (x) são os custos d forncimnto das usinas 1 2, rspctivamnt. Calcul o custo mínimo da nrgia létrica quando a potência total consumida é 1500kW. Rsp: Aproximadamnt 2500 rais por hora. Qustão 61. (Trmodinâmica) A prssão d saturação (m bar) d um dado hidrocarbonto plo sr modlada pla quação d Antoin: ln ( P sat) = A B T + C ond T é a tmpratura A, B C são constants dadas conform a sguir: Hidrocarbonto A B C N-pntano N-hptano a) Calcul a tmpratura d bolha d uma mistura d N-pntano N-hptano à prssão d 1.2bar quando as fraçõs molars dos gass são z 1 = z 2 = 0.5. Para tal utiliz a sguint quação: P = i z i P sat i b) Calcul a tmpratura d orvalho d uma mistura d N-pntano N-hptano à prssão d 1.2bar quando as fraçõs molars dos gass são z 1 = z 2 = 0.5. Para tal utiliz a sguint quação: 1 P = i z i P sat i Rsp: a) K b), K Qustão 62. (Prova) Encontr os três primiros pontos d mínimo da função f(x) = x/11 + x cos(2x) para x > 0 com rro infrior a

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