Fig.1 Queda livre com deslocamento no eixo horizontal Faça clique aqui e veja o movimento estroboscópico
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- Armando Vítor Braga Sampaio
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1 Dpartamnto d Matmática Ciências Eprimntais Curso d Educação Formação Tipo 6 Níl 3 Tto d apoio n.º 3 Assunto: Moimnto d projéctis O studo d dtrminados moimntos a duas dimnsõs, tornar-s-ia muito difícil s não os considrass-mos o a dposição d outros mais simpls. É o caso do moimnto d um projéctil lançado por mplo d um aião. Est moimnto pod sr considrado o uma dposição d dois moimntos: - um, na dircção horizontal, rctilíno uniform, uma z qu nsta dircção o projéctil não stá sujito a forças. - outro, na dircção rtical, rctilíno uniformmnt ariado, uma z qu sundo sta dircção o projéctil stá sujito à força da raidad. Galilu foi o primiro a dscrr, d forma clara, o moimnto d um projéctil. A Fi. mostra o moimnto stroboscópico d duas bolas qu cam sob a influência da força raítica. A primira (rmlha) foi diada cair lirmnt a partir do rpouso simultanamnt a sunda (rd) foi lançada horizontalmnt. Fi. Quda lir dslocamnto no io horizontal Faça cliqu aqui ja o moimnto stroboscópico Como podmos obsrar, os moimntos rticais são idênticos a psar dos moimntos horizontais difrirm. Obsra-s qu o moimnto horizontal tm locidad constant, o todo moimnto na ausência d forças trnas, li da inércia. A prsnça da força raítica não influência o moimnto na horizontal; sundo a rtical a rsultant das forças trnas não é nula o moimnto é uniformmnt ariado. Estas obsraçõs dmonstram qu os moimntos rtical horizontal são indpndnts.
2 a) Lançamnto horizontal V = V r X r r P Fi. Anális do moimnto na dircção horizontal. Considrando o rfrncial, cuja orim coincid a posição da partícula no instant do lançamnto, sndo o io dos coincidnt a locidad inicial, =, trmos sundo st io, para a li da locidad: = () Sndo o moimnto uniform, a li scalar do moimnto srá: = t () Anális do moimnto na dircção rtical. D acordo o rfrncial scolhido, Fi., podmos prr qu todas as posiçõs são natias, assim o a ponnt do ctor locidad sundo sta dircção o ctor aclração é dado por, = (3) Comparando os sntidos d concluímos qu sundo o io dos o moimnto é uniformmnt aclrado, ambas têm o msmo sntido. Como = m = m, plo facto d trmos considrado o rfrncial coincidnt a posição da partícula no instant do lançamnto, trmos para a li scalar do moimnto sundo a dircção rtical: A li da locidad srá: = t (4) = t (5)
3 Vctor posição no ponto P. A posição da partícula no ponto P srá dada plo ctor posição, r, qu é a soma dos ctors posição sundo os ios considrados, isto é: r = r + r (6) r = r = substituindo na quação (6) trmos: r = + (7) Substituindo m (7) as quaçõs () (4) m: r = t t (8) qu é a quação do ctor posição no ponto considrado. O ctor locidad da partícula no ponto P. A locidad da partícula no ponto P é dada plo ctor locidad,, qu é a soma dos ctors locidad sundo os ios considrados, isto é: = + (9) = = substituindo na quação (9) trmos: = + () Substituindo m () as quaçõs () (5) m: = t () qu é a quação do ctor locidad no ponto considrado. 3
4 b) Lançamnto oblíquo Fi. 3 Lançamnto oblíquo Faça cliqu aqui ja o lançamnto oblíquo Considrmos o sistma d ios da Fi. 3 admitindo aora qu o ctor horizontal um ânulo θ, ntão podmos scrr: = () + faz a = = substituindo na quação () m: = (3) + o, = cosθ = sn θ (4) substituindo as quaçõs (4) m (3) trmos: = (5) cosθ + snθ 4
5 Anális do moimnto na dircção horizontal no ponto P. Tal o fizmos para o lançamnto horizontal, considrmos o rfrncial, cuja orim coincid a posição da partícula no instant do lançamnto, trmos sundo sta dircção para li da locidad: substituindo (4) m (6) m: = (6) = cosθ (7) Sndo o moimnto uniform, a li scalar do moimnto srá: ou, = t (8) = cos θ.t (9) Anális do moimnto na dircção rtical no ponto P. Comparando os sntidos d concluímos qu sundo sta dircção, o moimnto é uniformmnt ariado (rtardado na subida aclrado na dscida). A li da locidad srá:, = () = t () substituindo () m () m: = ( t) () ou, = ( sn θ t) (3) qu é li da locidad sundo a dircção rtical. Como = m, plo facto d trmos considrado o rfrncial coincidnt a posição da partícula no instant do lançamnto, trmos para a li scalar do moimnto sundo a dircção rtical: = t t (4) 5
6 ou = sn θ.t t (5) Vctor posição ctor locidad no ponto P. A posição da partícula no ponto P srá dada plo ctor posição, r, qu é a soma dos ctors posição sundo os ios considrados, isto é: r = r + r (6) r = r = substituindo na quação (5) trmos: r = + (7) Substituindo m (7) as quaçõs (9) (4) m: qu é a quação do ctor posição no ponto P. r = cos θ.t + ( sn θ.t t ) (8) A locidad da partícula nss ponto é dada plo ctor locidad,, qu é a soma dos ctors locidad sundo os ios considrados, isto é: = + (9) = = substituindo na quação (9) trmos: = + (3) Substituindo ainda m (3) as quaçõs (), (4) (3) m: = (3) cosθ + ( sn θ t ) Cálculo do tmpo qu o projéctil la a atinir a altura máima. Hará um instant m qu s anula isto acontc quando o projéctil atinir a altura máima. Então,, = t (3) = t (33) 6
7 sndo, t = (34) a prssão qu prmit calcular o tmpo qu o projéctil la a atinir a altura máima. Cálculo da altura máima atinida plo projéctil. Substituindo m (4) o alor do tmpo qu o projéctil la a atinir o ponto máimo (34) m: = ( ) ( ) (35) dsnolndo, = (36) ou, sn θ má = (37) quação qu prmit calcular a altura máima atinida plo projéctil. Cálculo do alcanc máimo atinido plo projéctil, sundo a dircção horizontal. O tmpo d subida é iual ao tmpo d dscida, assim sndo o tmpo d oo é dado pla suint prssão: t = oo (38) Sundo a dircção horizontal o moimnto é uniform, substituindo na quação (9) a quação (38), m: sn θ. cosθ = (39) 7
8 ou sja, tndo m conta a rlação trionométrica: sn θ cos θ = sn θ (4) a quação para a dtrminação do alcanc máimo dum projéctil srá: sn θ má = (4) Dsta prssão rsulta: O alcanc é máimo quando sn θ =, isto é, quando θ = 45 ; Como sn θ = sn (8 θ ) = sn (9 θ), tm o msmo alor s o ânulo d lançamnto for 9 θ (plmntar d θ ). c) Equação da trajctória Suidamnt irmos dtrminar a quação qu dscr a trajctória d um projéctil durant o moimnto. Para isso usamos a quação (9) a quação (5).Então usando a quação (9): = ( cosθ) t t = (4) cosθ substituindo a quação (4) na quação (5) obtmos; - - (43) = ( sn θ) t t = sn θ ( ) ( ) cosθ cosθ ou - = (44) + t θ ( - ) ( ) cosθ A quação (44) pod sr roranizada no sntido mostrar qu la tm a forma d uma parábola, o a suir; ( + = + t θ t θ (45) ( cosθ) ) 8
9 ou = ( t θ ) + (t θ + ) ( ) (46) ( cosθ) ( cosθ) ( cosθ) Dfinindo = t θ ) (47) ( cosθ) a b + = t θ (48) ( cosθ) c = (49) ( cosθ) Como,,, θ são constants a quação acima assum a forma d uma parábola, a qual pod sr scrita da suint forma; + = a + b c (5) No caso particular m qu o ponto d partida (, ) for a orim do sistma d coordnadas, isto é (, ) = (,), a quação (6) pod sr simplificada para; = t θ (5) ( cosθ) Dizmos ntão qu a trajctória do projéctil é uma parábola. Vja aqui uma simulação d lançamnto d projéctil. Prof. Luís Prna 9
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