Apostila de Introdução Aos Métodos Numéricos

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1 Apostila d Introdução Aos Métodos Numéricos PARTE I o Smstr - 00 Pro a. Salt Souza d Olivira Buoni

2 Índic INTRODUÇÃO: O QUE SÃO OS MÉTODOS NUMÉRICOS, SUA IMPORTÂNCIA E OS OBJETIVOS DO CURSO...4 O QUE É O CÁLCULO NUMÉRICO?...4 A IMPORTÂNCIA DA DISCIPLINA DE MÉTODOS NUMÉRICOS...5 OBJETIVOS DA DISCIPLINA:...6 CONTEÚDO...7 DATA...7 REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA...9 INTRODUÇÃO...9 PONTO FIXO E PONTO FLUTUANTE...9 ERROS NUMÉRICOS... INTRODUÇÃO... TIPOS DE ERROS... PROPAGAÇÃO E CONDICIONAMENTO DE ERROS NUMÉRICOS...3 ERROS NA ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE...3 ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS...6 INTRODUÇÃO...6 ZEROS OU RAÍZES DE FUNÇÕES...6 PROCESSOS ITERATIVOS...8 ISOLAMENTO DE RAÍZES...9 Emplo:...9 Torma d Bolzano Emplo:... MÉTODO DA DICOTOMIA OU BISSECÇÃO.... Emplo:...3 PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS...5 CRITÉRIOS DE PARADA EM UM PROCESSO ITERATIVO...6

3 Estimativa do númro d itraçõs no método da bissção MÉTODO DE ITERAÇÃO LINEAR MIL...8 O PROBLEMA DA CONVERGÊNCIA NO MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR..3 CRITÉRIOS DE PARADA NO MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR...36 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON...38 CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON...39 Intrprtação Gométrica SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS...4 TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS

4 Introdução: O qu são os Métodos Numéricos, sua importância os objtivos do curso O qu é o Cálculo Numérico? Os Métodos Numéricos corrspondm a um conjunto d rramntas ou métodos usados para s obtr a solução d problmas matmáticos d orma aproimada. Esss métodos s aplicam a problmas qu não aprsntam uma solução ata, portanto prcisam sr rsolvidos numricamnt. O qu isso qur dizr? Vamos tomar um mplo para ntndr mlhor os objtivos do Cálculo Numérico. Sja um circuito létrico composto d uma ont d tnsão uma pilha, por mplo um rsistor, como ilustrado na Figura. Digamos qu dsjamos obtr a corrnt qu circula no circuito, dado o valor da tnsão V da rsistência R. O primiro passo é ormular um modlo matmático para o nosso sistma ísico o circuito, ncontrar a solução do problma rprsntado por ss modlo. R V Figura : circuito létrico composto d uma ont d tnsão um rsistor. No caso do circuito da Figura, o modlo matmático também é bastant simpls. Utilizando-s a Li d Kircho não s procup com ssa li caso você não a conhça, trmos a sguint quação para o circuito: V R i 0 Ess é o nosso modlo matmático para o circuito sistma ísico. O modlo aprsnta uma quação bastant simpls qu tm uma solução ata. Portanto, nosso problma ncontrar a corrnt létrica do circuito pod sr rsolvido d manira ata, cuja solução é dada por: 4

5 i Por mplo, s V0 V R00 Ω, trmos qu i0, A. Como ss problma tm uma solução ata, não é prciso utilizar os métodos do cálculo numérico para rsolv-lo. Porém, digamos qu um outro componnt ltrônico sja incluído no circuito: um diodo smicondutor. Ess dispositivo tm uma curva caractrística, isto é, a tnsão nss componnt m unção da corrnt, qu é dada por: vi V R kt i q ln ond k I s são constants, q é a carga do létron T a tmpratura do dispositivo. Essa quação corrspond ao modlo matmático do diodo não s procup m ntndr sta quação, pois isto é só um mplo. Portanto, ao s incluir o diodo no circuito da Figura, tm-s a sguint quação dscrvndo o comportamnto da corrnt létrica no circuito: I s V kt R i i q ln 0 I s A inclusão dss novo componnt no circuito tornou nosso problma mais complicado d diícil solução analítica. O qu isso qur dizr? Tornou-s diícil s obtr uma prssão para i, principalmnt quando comparado ao caso antrior, quando tínhamos simplsmnt iv/r. Como rsolvr ss problma ntão? Como obtr o valor d i? A solução stá na utilização d métodos numéricos qu srão aprndidos nst curso. A importância da Disciplina d Métodos Numéricos Ao rsolvr um problma matmático numricamnt, o mais comum é o proissional utilizar um pacot computacional. Porém, l trá qu tomar uma séri d dcisõs ants d rsolvr o problma. E para tomar ssas dcisõs, é prciso tr conhcimnto d métodos numéricos. O proissional trá qu dcidir: Pla utilização ou não d um método numérico istm métodos numéricos para s rsolvr st problma?; Escolhr o método a sr utilizado, procurando aqul qu é mais adquado para o su problma. Qu vantagns cada método orc qu limitaçõs ls aprsntam; 5

6 Sabr avaliar a qualidad da solução obtida. Para isso, é important l sabr atamnt o qu stá sndo ito plo computador ou calculadora, isto é, como dtrminado método é aplicado; Objtivos da Disciplina: Os principais objtivos do curso são: Aprsntar divrsos métodos numéricos para a rsolução d dirnts problmas matmáticos. Prtnd-s diar bm claro a importância dsss métodos, mostrando: a ssência d um método numérico; a dirnça m rlação a soluçõs analíticas; as situaçõs m qu ls dvm sr aplicados; as vantagns d s utilizar um método numérico; as limitaçõs na sua aplicação coniabilidad na solução obtida. Mlhorar a amiliarização intimidad do aluno com a matmática, mostrando su lado prático sua utilidad no dia-a-dia d um ngnhiro. Rvr concitos já vistos, rcitá-los utilizá-los d manira prática; Aprsntar ao aluno maniras práticas d s dsnvolvr utilizar métodos numéricos. Isso signiica mostrar como usar sss métodos numéricos na calculadora com linguagns aplicativos computacionais; Trinar o aluno a aprndr outros métodos numéricos por conta própria. No su dia-a-dia proissional, l pod s dparar com um problma cuja solução dpnd d um método numérico qu não oi visto no curso. Portanto, l dvrá sr capaz d ncontrar a litratura prtinnt, studar o método aprndr a sua utilização d manira concitual prática usando um aplicativo computacional por conta própria. 6

7 Plano d Aula Contúdo Data Introdução aos Sistmas Numéricos Erros 09/0 qua Ponto Fio Ponto Flutuant 0/0 qui 3 Zros Rais d Funçõs Rais. Introdução: Sistma d Bolzano 6/0 qua 4 Método da Bissção. Método da Posição Falsa 7/0 qui 5 Aula d Laboratório 3/0 qua 6 Aula d Laboratório 4/0 qui 7 Método da Itração Linar 30/0 qua 8 Método d Nwton - Raphson. Método das Cordas 3/0 qui 9 Sistmas d Equaçõs Linars: Métodos dirtos Indirtos 06/ qua 0 Métodos Matriciais. Rgra d Cramr. 07/ qui Método d Jacobi. Método d Gauss - Sidl 3/ qua Aclração da Convrgência. Projção. 4/ qui 3 Entrga do primiro trabalho individual prova oral. 0/ qua 4 Intrpolação Polinomial. Introdução: Intrpolação Linar / qui 5 Intrpolação Lagrangana. Etrapolação. 7/ qua 6 Ajust d Curvas: Método dos Mínimos quadrados 8/ qui 7 Rgrssão Linar. Rgrssão Polinomial. 04/ qua 8 Ercícios/ Aula d dúvidas 05/ qui 9 Aula d laboratório / qua 0 Aula d Laboratório / qui Primira Prova Escrita 8/ qua Intgração Numérica. Introdução: Dirnciação. 9/ qui 3 Rgra dos Trapézios. Método da Etrapolação para o limit. 08/0qua 4 Rgras d Simpson. Intgral d Gauss. 09/0qui 5 Entrga do Sgundo Trabalho Individual Prova Oral. 5/0qua 6 Introdução à Solução Numérica d Equaçõs Dirnciais Ordinárias. 6/0 qui 7 Solução para Séri d Taylor. /0 qua 8 Método d Prdição-Corrção. 3/0 qui 9 Método dos passos. 9/0qua 30 Métodos d Rung Kutta. 30/0qui 3 Aula d Laboratório 05/0 qua 3 Aula d Laboratório 06/0 qui 33 Entrga do Trciro Trabalho Individual Prova Oral /0 qua 34 Sgunda Prova Escrita 3/0qui 35 Vriicação d Rposição 9/0 qua 36 Vriicação Suplmntar 0/0 qui 7

8 Objtivos da Part I Aprsntar a noção d anális numérica: o qu é para qu srv. Mostrar o qu stá por trás da manira prática como ralizamos opraçõs numéricas, isto é, como calculadoras computadors ralizam ssas opraçõs. E, inalmnt, quais os problmas qu podm surgir ao ralizar ssas opraçõs o qu dvmos considrar para ralmnt comprndr o rsultado obtido d tais opraçõs. Introduzir a idéia d procssos itrativos, chamando a atnção para suas caractrísticas básicas. Aprsntar três métodos numéricos utilizados na obtnção d zros d unção, procurando rssaltar as caractrísticas, vantagns dsvantagns d cada método, como avaliar o rsultado obtido rros problmas qu podm sr ncontrados durant a rsolução. Concitos introduzidos: rprsntação numérica m quipamntos digitais calculadoras computadors; rros numéricos; métodos itrativos suas caractrísticas stimativa inicial, convrgência, critérios d parada. Concitos rvistos: rprsntação d númros m matmática lmntar; unçõs raízs d unçõs. Mtodologia: Métodos numéricos abordados: bisscção, itração linar, Nwton-Raphson. Aplicativo computacional: programação C Ecl. Aprovitamnto: Fundamntal: ntndimnto da naturza objtivo do cálculo numérico. Sabr dinir idntiicar as consqüências d rros numéricos. Entndimnto do concito d raízs d uma quação, procssos itrativos capacidad d ncontrar raízs d quaçõs simpls utilizando o Método da Bisscção. Bom: rprsntação d númros. Capacidad d ncontrar raízs d quaçõs simpls utilizando qualqur um dos métodos abordados. Eclnt: comprndr o mcanismo qu lva aos rros numéricos durant opraçõs m calculadoras computadors. Sabr avaliar o rro da raiz ncontrada. 8

9 Rprsntação Numérica Introdução A im s ralizarmos d manira prática qualqur opração com númros, nós prcisamos rprsnta-los m uma dtrminada bas numérica. O qu isso signiica? Vamos tomar como mplo o númro. A im d calcularmos, por mplo, o valor d -, nós prcisamos scrvr o númro d alguma outra orma, caso contrário não é possívl ralizar ssa opração. Podmos scrv-lo na bas dcimal, por mplo, qu é a bas mais usada na história da humanidad graças a nossa anatomia. O valor d na bas dcimal pod sr scrito como,4 ou,44 ou ainda, Qual é a dirnça ntr ssas várias ormas d rprsntar? A dirnça é a quantidad d algarismos signiicativos usados m cada rprsntação. Agora podmos ralizar a opração proposta: -0.4 ou 0.44 ou ainda , conorm o númro d algarismos signiicativos adotados na nossa rprsntação. Em uma máquina digital, como uma calculadora ou um computador, os númros não são rprsntados na bas dcimal. Els são rprsntados na bas binária, ou sja, usam o númro como bas ao invés do númro 0. Como na bas dcimal istm 0 algarismos dirnts 0,,,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, na bas binária istm somnt númros: 0. Portanto, a bas binária é usada porqu ssas máquinas utilizam-s d sinais létricos, sndo o 0 corrspondnt a ausência d sinal o númro a prsnça do sinal létrico. Ponto io Ponto Flutuant A princípio, toda vz qu scrvmos um númro, dvríamos mncionar a bas numérica a qual stamos nos rrindo. Obviamnt, isso não s az ncssário na prática, pois stamos smpr rprsntando os númros na bas dcimal, portanto sabmos atamnt o su signiicado. Por mplo, quando scrvmos o númro 53, o qu ralmnt qurmos dizr? Estamos dizndo qu ss númro rprsnta uma quantidad quivalnt a , ou, scrvndo a bas d outra orma, Essa é a chamada rprsntação posicional d númros. 9

10 Na bas binária, o mcanismo é o msmo, porém, ao invés d potências d 0, utilizamos potências d. Portanto, um númro binário como 0 lmbr-s qu na bas binária só istm os algarismos 0 signiica Essa idéia qu stá por trás da rprsntação dos númros m bass numéricas é utilizada para rprsntar númros no computador. A im d tornar a manipulação d númros mais icint, os computadors azm a distinção ntr númros intiros númros rais. Um númro intiro aprsnta a chamada rprsntação d ponto io, ond a posição do ponto dcimal stá ia todos os dígitos são usados para rprsntar o númro m si, com cção do primiro dígito usado para rprsntar o sinal dss númro. A igura abaio ilustra ssa rprsntação: Sinal dígitos Para um númro ral qualqur intiro ou não intiro é utilizada a rprsntação d ponto lutuant, qu é dada pla prssão: ±0.d d d 3...d t b ond: 0.d d d 3...d t é uma ração na bas b, também chamada d mantissa, com 0 d i b-, para todo i,,3,...,t, sndo t o númro máimo d dígitos da mantissa qu é dtrminado plo comprimnto d palavra do computador; é um pont qu varia m um intrvalo dado plos limits da máquina utilizada. Ess tipo d rprsntação é chamada d ponto lutuant pois o ponto da ração lutua conorm o númro a sr rprsntado sua posição é prssa plo pont. A igura abaio ilustra ssa rprsntação: Sinal posição do ponto pont dígitos mantissa Alguns mplos da rprsntação d ponto lutuant pod sr visto na tabla abaio. Númro na bas dcimal rprsntação m ponto lutuant mantissa bas pont

11 Erros Numéricos Introdução Vamos supor o sguint problma: como calcular o valor d? Provavlmnt, a primira rsposta qu vm a mnt d qualqur pssoa qu nascu no século XX srá: utilizando uma calculadora ou um computador. Indiscutivlmnt, ssa é a rsposta mais snsata prática. Porém, um proissional qu utilizará o rsultado orncido pla calculadora para projtar, construir ou mantr ponts, diícios, máquinas, dispositivos ltrônicos, tc., não pod acitar o valor obtido ants d azr alguns qustionamntos plo mnos uma vz na sua vida proissional. Quando calculamos, por mplo, o valor d m uma calculadora ou m um computador, o qu ralmnt stamos azndo? Em outras palavras, o qu a calculadora z para obtr o rsultado? Para um ngnhiro, ainda mais important é a prgunta: qual é a coniabilidad do rsultado qu obtmos? Essa prgunta az sntido pois é um númro irracional, isto é, não ist uma orma d rprsnta-lo com um númro inito d algarismos. Portanto, o númro aprsntado pla calculadora é uma aproimação do valor ral d, já qu la não pod mostrar ininitos algarismos. E quão próimo do valor ral stá o rsultado mostrado? Podmos criar algumas diniçõs a im d acilitar as discussõs trocas d inormação sobr ss problma. Vamos dinir a dirnça ntr o valor ral da grandza qu qurmos calcular o valor aproimado qu tivamnt calculamos como sndo o rro, ou sja: rro valor ral valor aproimado Quanto mnor or ss rro, mais prciso srá o rsultado da opração. Essa dinição corrspond ao rro absoluto d um cálculo. Porém, s stivrmos lidando com númros muito grands, o rro pod sr grand m trmos absolutos, mas o rsultado ainda srá prciso. E o caso invrso também pod ocorrr: um rro absoluto pquno, mas um rsultado imprciso. Por mplo, digamos qu o rsultado d uma opração nos ornça o valor.3.54,7 nquanto o valor ral qu dvríamos obtr é.3.544,5. O rro absoluto nst caso é,8. Comparada com o valor ral, ssa dirnça o rro é bm pquna, portanto, podmos considrar o rsultado prciso. Em um outro caso, digamos qu o rsultado da opração sja 0,34 o rsultado sprado ra 0,8. Dsta vz o rro srá igual a 0,06, porém o rsultado é bastant imprciso.

12 A im d vitar ss tipo d ambigüidad, podmos criar uma nova dinição. Podmos dinir o rro rlativo, qu corrspond ao quocint ntr o rro absoluto o valor aproimado da grandza a sr calculada, ou sja: valor _ ral valor _ aproimado rro valor _ aproimado O rro rlativo é uma orma muito mais gral d s avaliar a prcisão d um cálculo tuado. No mplo acima, trmos um rro rlativo d 0, ou 0,00008% no primiro caso um rro rlativo igual a 0,83 ou 83% no sgundo caso. Tipos d Erros O rro comtido ao s calcular o valor d, por mplo, é apnas um tipo d rro qu pod surgir ao s rsolvr um problma ral. Outros tipos d rros também podm aparcr dvido a outros tipos d problmas ou limitaçõs. A solução matmática d um dtrminado problma nvolv divrsas tapas, como discutido na introdução dsta apostila. A solução do problma s inicia com a criação d um modlo matmático do sistma m qustão. Ess modlo smpr aprsntará aproimaçõs limitaçõs. Além disso, na grand maioria das vzs, dados primntais srão utilizados para s obtr a solução. Como toda mdida primntal aprsnta uma incrtza, a solução do problma srá inlunciada plas msmas. Portanto, logo d início, istm divrsos ators qu introduzm incrtzas na solução numérica do problma. Ess tipo d rro é chamado d rro inicial. O problma discutido na introdução dsta aula para o cálculo d, qu s rr a invitávl limitação na rprsntação d númros irracionais por mplo, introduz rros no rsultado. Ess tipo d rro é chamado d rro d arrdondamnto. Vamos considrar um outro tipo d problma prático qu pod surgir ao ralizarmos dtrminadas opraçõs. Digamos qu prcisamos calcular o valor d. Mais uma vz, irmos utilizar uma máquina digital calculadora ou computador. Porém. Como ss quipamnto irá ralizar ssa opração? Sabmos qu a ponncial é uma unção qu pod sr rprsntada por uma séri ininita dada por: 3 n L L! 3! n! Como a ponncial é uma séri ininita, na prática é impossívl calcular su valor ato. Portanto, mais uma vz, trmos qu azr uma aproimação, qu lvará a um rro no rsultado

13 inal d. Nst caso, armos um truncamnto dssa séri, o rro grado no valor d é chamado d rro d truncamnto. Propagação Condicionamnto d Erros Numéricos Vamos supor qu qurmos calcular o valor d - 3. Como vimos antriormnt, ao calcularmos o valor d, trmos qu ralizar um arrdondamnto, qu lva ao um rsultado aproimado d, ou sja, ist um rro d arrdondamnto associado ao rsultado. Para calcularmos o valor d 3 trmos qu azr um truncamnto, qu também irá grar um rro no rsultado obtido. Portanto, o rsultado da opração d subtração ntr 3 aprsntará um rro qu é provnint dos rros nos valors d 3 sparadamnt. Em outras palavras, os rros nos valors d 3 s propagam para o rsultado d - 3. Podmos concluir ntão qu, ao s rsolvr um problma numricamnt, a cada tapa a cada opração ralizada, dvm surgir dirnts tipos d rros grados das mais variadas maniras, sts rros s propagam dtrminam o rro no rsultado inal obtido. A propagação d rros é muito important pois, além d dtrminar o rro inal d uma opração numérica, la também dtrmina a snsibilidad d um dtrminado problma ou método numérico. S uma pquna variação nos dados d ntrada d um problma lvar a uma grand dirnça no rsultado inal, considra-s qu ssa opração é mal-condicionada, ou sja, ist uma grand propagação d rros nssa opração. Por outro lado, s uma pquna variação nos dados d ntrada lva a apnas uma pquna dirnça no rsultado inal, ntão ssa opração é bm-condicionada. Erros na Aritmética d Ponto Flutuant Nós vimos nas sçõs antriors qu ao manipularmos os númros d manira prática, starmos smpr lidando com rros, dvido a divrsos ators. Vamos agora aminar os rros mais comuns qu aparcm quando um computador manipula os númros. O primiro tipo d rro qu stá prsnt na orma como computadors lidam com númros corrspond aos rros d arrdondamnto truncamnto. Como citado antriormnt, sss rros stão prsnts pois os computadors prcisam rprsntar os númros com uma quantidad inita d algarismos. 3

14 Vamos supor, para simpliicação, um computador com uma rprsntação d ponto lutuant na bas dcimal b0 uma mantissa d 4 algarismos t4. A im d rprsntarmos m ponto lutuant nss computador, por mplo, o númro 734,68, tríamos qu trunca-lo para 0, ou arrdonda-lo para 0, Portanto, no truncamnto, staríamos comtndo um rro d 0,8 0 - no arrdondamnto, um rro d 0, 0 -. Podmos gnralizar ss mplo dizr qu, m uma rprsntação d ponto lutuant na bas b mantissa d t algarismos, os rros d truncamnto srão dados por: rro < b ond o númro m qustão oi rprsntado na orma b. E os rros d arrdondamnto srão dados por: t rro < b t Portanto, para uma rprsntação numérica com t4 ou t53 como no caso da maioria dos computadors ss rro é muito pquno. Apsar d pquno, é important lmbrar qu l s propagará nas opraçõs aritméticas ralizadas plo computador. Vamos tomar como mplo a soma dos númros , ,375 0, no nosso computador ictício d mantissa com 4 algarismos. A soma dsss dois númros corrspond a 6566,375. Como nosso computador pod rprsntar com apnas 4 algarismos, o rsultado dssa opração srá 0, Ou sja, apsar d partirmos d dois númros atos, o rsultado da soma não srá ata. Mais uma vz, para um computador ral, ss rro é pquno, porém, s um númro muito grand d opraçõs or ralizado s istir a ncssidad d s obtr um rsultado bastant prciso, srá prciso s lvar m considração ss tipo d rro para avaliar o rsultado obtido. Eist mais um tipo d rro qu aparc quando computadors manipulam númros. Ess rro s rr à convrsão d númros d uma bas para a outra. O tipo d convrsão mais comum é da bas dcimal usada por humanos para a bas binária usada por computadors vic-vrsa. Um mplo bastant pculiar é o númro 0,. Ao convrtrmos ss númro da bas dcimal para a bas binária istm divrsos algoritmos para s ralizar ssa convrsão, mas não vamos ntrar nss dtalh aqui, obtmos como rsposta: 0, 0 0, ond rprsntamos com um subscrito a bas m qu ss númro stá scrito. Portanto, notamos qu, ao s convrtr o númro 0, da bas dcimal para a bas binária, obtmos um númro com ininitos algarismos! Como ss númro não pod sr rprsntado plo 4

15 computador, l srá truncado, introduzindo um rro na sua rprsntação. Uma orma intrssant d constatar ss problma é scrvndo um pquno programa qu calcul o valor d 0,. Você vrá qu ss númro não é igual a 00! 000 i 5

16 Zro Rais d Funçõs Rais Introdução No mplo usado na introdução dsta apostila, vimos qu ao tntar calcularmos a corrnt létrica d um circuito simpls contndo apnas uma batria, um rsistor um diodo, já nos dparamos com um problma matmático d diícil solução. Ess problma corrspond ao cálculo do valor da corrnt i qu satisaz a quação V kt R i i q ln 0 I s Em outras palavras, prcisamos rsolvr ou ncontrar o zro da unção acima. Nsta aula iniciarmos o studo d métodos numéricos qu nos prmitirão rsolvr problmas como ss. Zros ou Raízs d Funçõs Dada uma unção, dizmos qu α é raiz, ou zro d s somnt α0. Graicamnt, os zros d uma unção corrspondm ao ponto m qu a unção intrcpta o io do gráico, como mostrado no mplo abaio: g a b A unção g acima tm 5 raízs no intrvalo [a,b]:,, 3, 4, 5. As raízs d uma unção podm sr ncontradas analiticamnt, ou sja, rsolvndo a quação 0 d manira ata, como mostrado nos mplos abaio: 6

17 pois : 3 é raíz d g g h ± h h Porém, nm smpr é possívl ncontrar analiticamnt a raiz d uma unção, como nos casos abaio: Nsts casos prcisamos d um método numérico para ncontrar uma stimativa para a raiz da unção studada. Um método numérico para s ncontrar os zros d uma unção dv nvolvr as sguints tapas: ln 3 sn 3 h g

18 a Dtrminar um intrvalo m qu contnha plo mnos uma raiz da unção, ou sja, isolar as raízs; b Calcular a raiz aproimada através d um procsso itrativo até a prcisão dsjada. Procssos Itrativos Eist um grand númro d métodos numéricos qu são procssos itrativos. Como o próprio nom já diz consult um dicionário para vriicar o signiicado d itrativo, sss procssos s caractrizam pla rptição d uma dtrminada opração. A idéia nss tipo d procsso é rptir um dtrminado cálculo várias vzs, obtndo-s a cada rptição ou itração um rsultado mais prciso qu aqul obtido na itração antrior. E, a cada itração utiliza-s o rsultado da itração antrior como parâmtro d ntrada para o cálculo sguint. Eistm divrsos aspctos comuns a qualqur procsso itrativo, qu irmos discutir abaio: Estimativa inicial: como um procsso itrativo s caractriza pla utilização do rsultado da itração antrior para o cálculo sguint, a im d s iniciar um procsso itrativo, é prciso tr uma stimativa inicial do rsultado do problma. Essa stimativa pod sr consguida d dirnts ormas, conorm o problma qu s dsja rsolvr; Convrgência: a im d obtrmos um rsultado próimo do rsultado ral sprado, é prciso qu a cada passo ou itração, nosso rsultado stja mais próimo daqul sprado, isto é, é prciso qu o método convirja para o rsultado ral. Essa convrgência nm smpr é garantida m um procsso numérico. Portanto, é muito important star atnto a isso vriicar a convrgência do método para um dtrminado problma ants d tntar rsolvlo; Critério d Parada: obviamnt não podmos rptir um procsso numérico ininitamnt. É prciso pará-lo m um dtrminado instant. Para isso, dvmos utilizar um crto critério, qu vai dpndr do problma a sr rsolvido da prcisão qu prcisamos obtr na solução. O critério adotado para parar as itraçõs d um procsso numérico é chamado d critério d parada. Para ncontrarmos as raízs ou zros d uma unção irmos utilizar métodos numéricos itrativos. Portanto, trmos qu abordar todos sss aspctos nos métodos qu utilizarmos. Como mncionado acima, o primiro passo para rsolvr um procsso itrativo corrspond a obtnção d 8

19 uma stimativa inicial para o rsultado do problma. No caso d zros d unçõs, ssa opração é chamada d isolamnto d raízs, qu vrmos na sção sguint. Isolamnto d Raízs Para dtrminarmos o númro a localização aproimada d raízs d uma unção para obtrmos uma stimativa inicial a sr usada nos procsso itrativos, podmos aminar o comportamnto dssa unção através d um sboço gráico. Por mplo, sja uma unção tal qu: g - h As raízs d, são tais qu: g h 0 ou sja, os valors d m qu o gráico g intrcpta o gráico d h é a raiz d. Emplo: sn - [-cos ] sn [-cos ] 0 sn -cos ª raiz sn 0 π π 3π π - cos - ª raiz 9

20 Plo gráico acima, vmos qu a unção g irá intrcptar a unção h ntr π/ π ntr 3π/ π. Portanto, podmos airmar qu ist uma raiz d no intrvalo [π/, π] no intrvalo [3π/,π]. Esss intrvalos podm sr utilizados como stimativa inicial nos procssos itrativos qu vrmos a sguir. Porém, o sboço gráico nm smpr é a orma mais prática d s obtr um intrvalo qu contém plo mnos uma raiz da unção. Muitas vzs é prciso s utilizar um método algébrico. Para isso, vamos rcorrr ao torma d Bolzano. Torma d Bolzano. Sja uma unção contínua m um intrvalo [a,b], tal qu, a.b<0. Então a unção possui plo mnos uma raiz no intrvalo [a,b]. Podmos vriicar st torma graicamnt: y y b a a b a b a b y a b 0

21 Emplo: Sja a unção ln-3.. Podmos calcular o valor d para valors arbitrários d, como mostrado na tabla abaio: [,3]. Plo torma d Bolzano, concluímos qu ist plo mnos uma raiz ral no intrvalo Método da Dicotomia ou Bisscção. O método da dicotomia ou bisscção é a orma mais intuitiva d s obtr a raiz d uma unção. Sja uma unção contínua m um intrvalo [a,b], α uma raiz d isolada nst intrvalo através d um dos métodos dscritos no itm antrior. Inicialmnt, subdividimos st intrvalo m suas duas mtads, ou sja: a b a b a ; ; b Vriicamos s a raiz stá contida na primira ou na sgunda mtad do intrvalo inicial, usando o torma d Bolzano. Ou sja, s a unção mudar d sinal ntr a a b sabrmos qu a raiz stá nssa primira mtad do intrvalo [a,b]. Caso a unção mud d sinal ntr a b b, a raiz dvrá star na sgunda mtad do intrvalo original. Em sguida rptimos o procsso para aqula mtad qu contém a raiz d : dividimos o intrvalo ao mio vriicamos m qual mtad stá a raiz. E podmos continuar rptindo ss procsso indinidamnt. A stimativa da raiz α m cada tapa srá o ponto médio do intrvalo m studo ond sabmos qu ist uma raiz. E, como todo procsso numérico, é important stimarmos o rro nss rsultado obtido. No caso do método da bisscção, o rro na stimativa srá dado pla mtad do comprimnto do intrvalo m studo. A sguir, uma ilustração dss procsso:

22 a b b a ± a b - b - b b ± - 3 ± - 3

23 Emplo: Encontr uma stimativa para a raiz d:, com um rro mnor ou igual a 0, p A raiz d [-,0]; - 0, ,5 0 0,5 ± 0,5 0 0,5 0, ,75-0,5 0,75 0, 8 0,75 ± 0,5 3

24 - - -0,75-0,65-0,5 0,65 0,09 3 0,65 ± 0,5 - -0,65-0,563-0,5 0,563 0,0 4 0,563 ± 0, ,65-0,594-0,563 0,594 0,04 5 0,594 ± 0,03 Portanto, a raiz da unção é igual a 0,594 ± 0,03. 4

25 Primira Lista d Ercícios Quais são as 3 causas mais importants d rros numéricos m opraçõs ralizadas m computadors calculadoras? Cit as caractrísticas básicas d todo procsso itrativo. 3 Como você podria usar o método da bisscção para stimar o valor d 7? Estim ss valor com uma prcisão d ou rro mnor qu 0,. 4 Dada a unção sn 4 : a Dtrmin o intrvalo m qu contém plo mnos uma raiz d graicamnt ou aritmticamnt usando o Torma d Bolzano; b Partindo-s dss intrvalo, utiliz o método da bisscção para dtrminar o valor dssa raiz após 4 itraçõs. c Qual é o rro no su rsultado inal? 5

26 Critérios d Parada m um Procsso Itrativo Foi usado, até o momnto, o sguint critério d parada: bk a k rro stipulado ond [ a ] k, bk é o intrvalo qu contêm a raiz da unção após k itraçõs. No ntanto, s tivrmos uma unção do sguint tipo: 0 0 é a stimativa da raíz α é a raiz d a 0 α Podmos star satisazndo, ntrtanto, 0 pod sr muito maior qu zro. Assim, m crtos casos pod-s usar a sguint condição: 0 rro stipulado Tanto o critério, quanto o critério, podm lvar a um númro muito grand d itraçõs. Uma manira d s contornar st problma é tomar como um critério d parada adicional, um crto númro d itraçõs máimo. 6

27 Estimativa do númro d itraçõs no método da bissção. Como m cada passo, dividimos o intrvalo por, tmos: b k b ao a o k 3 k ond k é o númro d itraçõs [a o,b o ] é o intrvalo inicial qu isola a raiz da unção. Dado o sguint critério d parada: ε bk a k 4 ond ε é o rro stipulado. Assim d 3 m 4: k b o a o 5 ε r-arranjando os trmos: klog log b o a o - log ε 6 Assim, log b o a o - log ε k 7 log A prssão 7 dá o númro d itraçõs ncssárias para qu o critério d parada, dinido m 5, sja satisito. 7

28 Método d Itração Linar MIL O método da itração linar é um procsso itrativo qu aprsnta vantagns dsvantagns m rlação ao método da bisscção studado na aula passada. Sja uma unção contínua m um intrvalo [a,b] qu contnha uma raiz d. O Método d Itração Linar inicia-s rscrvndo a unção como, Essa orma d scrvr é bastant útil. No ponto qu corrspond à raiz d, isto é, 0, trmos qu: 0 Ou sja, no ponto qu corrspond à raiz d, ao substituirmos o valor d na unção, trmos como rsultado o próprio valor d. Portanto, a raiz d srá o ponto io d, ou sja, o valor qu ao sr substituído m rtorna o próprio valor d. Por mplo, a unção - pod sr rscrita como,, ond. Essa unção tm como ponto io o valor, pois. E ss é atamnt o valor da raiz d, pois 0. Portanto, para ncontrarmos a raiz d, podmos ncontrar o valor numérico qu ao substituirmos m, ssa unção rtorna o próprio valor d. Para ncontrarmos ss valor d, vamos utilizar um procsso itrativo, ond comçamos a calcular o valor d com um valor inicial d, rcalculamos rptidamnt o valor d smpr usando o rsultado d uma dada itração como a nova stimativa d, ou sja, azndo: k k ond, k é a ordm da itração m qu stamos k 0,,, 3, 4,... A unção é chamada d unção d itração. Ela não é única para uma dada 8

29 9 unção, mas, como vrmos na próima aula, o bom rsultado dst método dpnd d uma boa scolha d. Emplo : Encontr algumas unçõs d itração a partir d: Ou ntão, Ou ainda, Mais um mplo, ln ln 0 ln 0 ln ln 0 ln ln ln ln. 0 ln

30 ln cos cos 0 cos cos arc coscos ln arc coscos ln ln Emplo : Encontr uma stimativa para a raiz d : usando o método da itração linar. Vamos iniciar a solução ncontrando uma boa stimativa inicial para o valor da raiz d. Para isso, vamos usar o método gráico para o isolamnto d raízs. Escrvndo: g h g h 4 * p A partir do sboço gráico acima, conclui-s qu a raiz ncontra-s no intrvalo [-,0]. Dvmos agora scolhr uma unção d itração. Para isso, scrvmos: 30

31 3 ± 0 0 Ou sja, podmos tr como unção itração, os dois casos abaio: 0,707 0,707 0,69 0,69 0,69 0,738 0,738 0,738 0,606 0,606 0,606 :, 0,69 0,738 0, tmos Usando Substituindo os valors d k m para cada itração k, vmos qu a cada tapa nos aproimamos mais da raiz d, pois o valor dssa unção ica mais próimo d zro a cada itração, como mostrado na tabla abaio: - 0,63-0,606-0,78-0,738 0,067-0,69-0,04-0,707 0,007

32 O problma da convrgência no Método da Itração Linar Como discutido na aula 03, para s obtr um rsultado cornt prciso com um procsso itrativo, é prciso qu a cada itração a rsposta s aproim mais mais da solução ral, ou sja, qu o método convirja para o valor ral. No caso do método da bisscção, nós não prcisamos nos procupar com a convrgência, pois com ss método la stá smpr garantida, já qu isolamos a raiz m um dado intrvalo nunca diamos ss intrvalo inicial. Já no método da itração linar, a convrgência não é garantida a priori. A cada itração podmos nos aproimar os nos aastar da solução ral. Portanto, ants d rsolvr um problma através dss método é prciso s vriicar s havrá ou não a convrgência. O sguint Torma coloca condiçõs suicints, porém não ncssárias para qu o método d itração linar sja convrgnt. Sja uma unção contínua m um intrvalo [a,b] α uma raiz d contida m [a,b]. Sja uma unção d itração obtida a partir d. S: i orm contínuas m [a,b]; ii iii < para todo [a,b]; 0 [a,b]. Então: Emplos: lim n n α Dsja-s ncontrar a raiz d 0,96,08. Para isto, prtnd-s usar uma das sguints unçõs d itração:,08 0,96,96,08 3

33 intrvalo [,]. Vriiqu s satisazm as condiçõs i ii do Torma d convrgência no Vamos iniciar vriicando a condição i para a unção. ',08 0,96,08. 0,96 ' 0. 0,96 ',08 0,96,08. 0,96. Ambas as unçõs são contínuas para todo R com -0,96. Em sguida, vamos vriicar a condição ii para. ', 08 0 <, 96 <, 08 0, 96 <, 08 0, 96 <,08,08 < < 0,96,9 0,96,9 0,96 >,08,9,584 > 0 Portanto, para os valors d qu satisazm a quação acima, trmos <, ou sja, a condição ii do torma da convrgência satisita. Vamos ncontrar as raízs da unção acima.9,584, como la s trata d uma parábola com concavidad para cima, sabmos qu a unção srá positiva para valors mnors qu a raiz d mnor valor valors maiors qu a raiz d maior valor, como ilustrado abaio. 33

34 _ As raízs dssa unção são: Portanto:,9,584 8,3,9 ±, 40 0, 48 8,3 0 < para <,40 ou > 0,48. Finalmnt, concluímos qu as condiçõs i ii do Torma d Convrgência são satisitas por:,08 0,96 no intrvalo [,]. Vamos vriicar s ssas condiçõs são satisitas para a unção. Para a condição i, tmos:,96,08 ',96 dvmos tr: Portanto, são contínuas R. Para a condição ii sr satisita,,96,96,96 -,48 ' < < < < < < <,96 < <,96,96 0,96-0,48 <,96 34

35 Ou sja: < para,48 < < -0,48. Tmos, portanto, qu não satisaz a condição ii do Torma d Convrgência, no intrvalo [,]. Na aula 05, calculamos o valor da raiz da unção, utilizando: Vamos vriicar s ssa unção satisaz as condiçõs do torma da convrgência. Para a condição i, tmos:... Portanto, são contínuas para R. Para a condição ii, dvmos tr <, ou sja:. - < < < < ln <.ln <,386 35

36 O Torma d convrgência srá satisito s <,386. E, inalmnt, para a condição iii, dvmos tr 0 <,386, qu tm s satisaz para 0-0.5, qu oi o valor usado. Ainda nss mplo, vimos qu a unção, a princípio, também podria sr usada. Mas, srá qu la satisaz todas as condiçõs do torma da convrgência. Dvido sua smlhança com a unção, podmos concluir qu la satisaz o torma da convrgência também para valors d <,386. Ao tntarmos rsolvr st problma usando a unção, notamos qu ssa condição não é satisita m todas as tapas do problma. A tabla abaio mostra o qu acontc ao tntarmos ncontrar a raiz d usando. A tabla aprsnta o índic das itraçõs qu stamos i, o valor d i d i para cada itração: i i i i Notamos qu o procsso stá divrgindo, isto é, s aastando da raiz d, já qu o valor d é cada vz mais distant d zro. Também podmos notar qu isso acontc dvido ao ato d usarmos valors d >,386 a partir da itração i. Portanto, ssa unção não satisaz o torma da convrgência m todas as itraçõs. Critérios d Parada no método da itração linar No caso do método da itração linar, podmos usar qualqur uma ou todas simultanamnt das condiçõs abaio como critério d parada:. Variação d k : k k <ε 36

37 Conorm avançamos no númro d itraçõs, s as stimativas da raiz d comçam a variar muito pouco, podmos concluir qu stamos bm próimos da raiz d o procsso itrativo pod sr parado.. Valor d k como discutido na aula 04: k < ε 3. Númro d Itraçõs também discutido na aula. 37

38 Método d Nwton-Raphson. O Método d Nwton-Raphson é um caso particular do método d itração linar. O método d itração linar consist m stimar a raiz d uma unção usando o procsso itrativo: n n dada por: Essa prssão din a orma d. Podmos scrvr uma orma gral para ssa unção A. pois, para igual à raiz d, tm-s 0, ou sja para qualqur A 0. Para havr a convrgência no método da itração linar é prciso qu < m um intrvalo [a,b] qu contém a raiz d. Portanto, a idéia no método d Nwton-Raphson é scolhr uma unção tal qu α0 ond α é a raiz d α [a,b]. Com isso, trmos < dsd qu não nos aastmos muito do valor d α durant o procsso d rsolução do problma. Drivando dada pla prssão m rlação a, tmos: ' A '. A. ' Eigindo qu 0, tm-s: 0 A '. A. ' Portanto: A'. A. A ' ' A. ' 0 38

39 Escolhndo: A ' 3 D 3 m : ' 4 O Método d Nwton-Raphson consist m usar o procsso itrativo n n como unção d itração a prssão 4. Convrgência do Método d Nwton-Raphson Apsar d obtrmos a orma da unção procurando garantir a convrgência do procsso itrativo, sta não sta smpr garantida para st método mas quas smpr. A convrgência no método d Nwton-Raphson sta smpr garantida para um crto intrvalo [a,b] qu contém a raiz d, dsd qu sjam contínuas nss intrvalo qu α 0, ond α é a raiz d α0. Portanto, s utilizarmos uma stimativa inicial 0 tal qu 0 [a,b], a convrgência stará garantida. Em outras palavras, para o método d Nwton-Raphson convrgir, é prciso qu nossa stimativa inicial stja próima da raiz d. A proimidad igida para a convrgência vai dpndr d caso a caso nm smpr é simpls d dtrminar. Intrprtação Gométrica Dado n, o ponto n srá dado pla intrcssão da rta tangnt a no ponto n com o io a abscissa. Podmos ilustrar isso matmaticamnt. A rta tangnt a m n é dada por: ' n n n 0 n A partir dssa prssão, obtmos a órmula d Nwton-Raphson, ou sja: 39

40 40 ' ' n n n n n n n n Portanto, a cada itração do nosso procsso, nos aproimamos cada vz mais da raiz d através da tangnt ou sja, da drivada da unção. A igura abaio ilustra ssa intrprtação gométrica do Método d Nwton-Raphson. Emplo: Calcul a raiz d, usando o método d Nwton-Raphson, 0 3 como stimativa inicial como critério d parada n 0,00. Para ncontrar a raiz d usando o método d Nwton-Raphson, dvmos tr: n n, n n n α 6

41 n n ond, Portanto, tmos qu: n n n 3 6,49,49 0,7349,0039,0039 0,095 A stimativa da raiz d é:,

42 Sgunda Lista d Ercícios O qu signiica a convrgência d um método itrativo? Qu condiçõs garantm a convrgência no método da itração linar? O qu azr caso sja constatado qu o método da itração linar não irá convrgir para um dado problma? Como você stimaria o rro da raiz obtida através do método da itração linar? 3 Dada a unção ln 4, mostr 3 ormas para a unção qu podriam sr usadas para s stimar a raiz d. 4 Sja a unção 4. a Encontr o intrvalo qu dv possuir plo mnos uma raiz d ;, stim a raiz d com n - n- < 0,00. b Usando c Faça a msma stimativa usando o método d Nwton-Raphson. Qual dos dois métodos convrg mais rapidamnt? d Um outro critério d parada qu podria sr usado corrspond à vriicação s o valor d stá próimo d zro. Qual rsultado para a raiz d s obtria caso s usass como critério d parada a condição < 0.00? 4

43 Trcira Lista d Ercícios Dscrva a rprsntação d ponto lutuant utilizada por computadors calculadoras? Qu palavras chavs dinm um tipo d variávl qu utilizaria ssa rprsntação na Linguagm C? O qu é um zro ou raiz d unção? 3 Dada a unção : a Dtrmin graicamnt o intrvalo m qu contém plo mnos uma raiz d ; b Faça a msma stimativa, mas dsta vz aritmticamnt usando o Torma d Bolzano; c Partindo-s dss intrvalo, utiliz o método da bisscção para dtrminar o valor dssa raiz com uma prcisão d 0,05. d Compar o rsultado obtido aqui com a solução dada plo programa qu você scrvu na linguagm C. 3 4 Sja: 3 a Mostr qu possui uma raiz m [0,]. 3 b Mostr qu, é uma possívl unção d itração obtida a partir d. 3 c Vriiqu s satisaz as condiçõs i ii do Torma d Convrgência. d Encontr uma stimativa para a raiz d através do método da itração linar usando a unção do itm c, tal qu < 0,0070. Faça a msma stimativa, mas dsta vz ao invés d utilizar a unção do itm c, utiliz o método d Nwton-Raphson. 43

44 Rrências Bibliográicas RUGGIERO/LOPES - Cálculo Numérico. Makron Books CHAPRA/CARRALE - Numrical Mthods or Enginrs. Ed. McGrawHill CONTE - Elmntos d Anális Numérica. Ed. Globo BARROSO - Cálculo Numérico - Ed. Harpr & How do Brasil MARCELO G. MUNHOZ- Apostila d Cálculo Numérico - FACENS 44