- Função Exponencial - MATEMÁTICA

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1 Postado m 9 / 07 / - Função Eponncial - Aluno(a): TURMA: FUNÇÃO EXPONENCIAL. Como surgiu a função ponncial? a n a n, a R n N Hoj, a idia d s scrvr. ² ou.. ³ nos parc óbvia, mas a utilização d númros indo arábicos como ponts d uma dtrminada bas, na forma utilizada hoj, ocorru somnt por volta d 67, sndo atribuída ao grand matmático Rné Dscarts (Barrto Xavir, 00) TÓPICOS BÁSICOS PARA POTÊNCIAS O studo da ponncial rqur alguns concitos básicos sobr potnciação. Para uma prssão do tipo a n, dnominamos: bas, ao númro ral a; pont, ao númro natural n maior qu ; potncia, ao rsultado dsta opração. a n a. a. a a a n. Epont intiro não ngativo Por tnsão da dfinição tmos: n 0 a 0 n a a Emplos a) 9 0 b) π 0 c) π π d) ) ( 4) +6 Emplos: a) c) 0, 0 0 b) (-) ( ) 7 7 Elabor as soluçõs: a) b) c) ( ) d) ( ) ) ( ) 4 f) 0, 4 I- a m. a n a m+n Propridads das potências II- a m a n a m n com a 0 III (a. b) m a m. b m IV- ( a b )m am bm com b 0 V- (a m ) n m.n a f) 0 0 indtrminado Elabor as soluçõs: a) 9 0 b) 0 c) d) ) ( ) f) g) 4 h) ( ) 4 i)( ). Epont intiro ngativo Sndo a bas a um númro ral não nulo a R o pont n um númro natural, tmos: Emplos: a) ( ) 4 4 b) π 9π 4 )Utiliz as propridads adquadas m cada caso: a) ². ³ b) c) 0. 0² d) ) f) π 0. Pág.: /6

2 - Função Eponncial -. Epont racional n Considrando a b b n a tmos qu: Não ist raiz m R quando a R_ n é par A raiz é um númro ngativo quando a R_ n é ímpar. Outras dfiniçõs: I) II) n III) n a a n a m a m n n a m m a n a n m Emplos: Utilizando as propridads da potnciação, é possívl analisar alguns casos d potência d bas 0. a)0 0 b) 0 0 c) 0 00 d) ) c) Há crca d 4,6 bilhõs d anos s formou o sistma solar d) As rochas com os principais vstígios d dinossauros têm 40 milhõs d anos, aproimadamnt. -(ENEM) O diagrama abaio rprsnta a nrgia solar qu ating a Trra sua utilização na gração d ltricidad. A nrgia solar é rsponsávl pla manutnção do ciclo da água, pla movimntação do ar, plo ciclo do carbono qu ocorr através da fotossínts dos vgtais, da dcomposição da rspiração dos srs vivos, além da formação dos combustívis fóssis. Aqucimnto c do solo Provnint do Sol 00 milhõs d MW Evaporação da água Aqucimnto do ar Absorção plas plantas f) 0 0 0, g) 0 0² 0,0 h) 0 0³ 0,00 Há situaçõs práticas nas quais é convnint fazr uso das potncias d bas 0. Para prssar mdidas gigantscas Distância da Trra à Lua é d aproimadamnt 80 milhõs d mtros: m, m Para prssar mdidas muito pqunas Mdida m mtros do raio r d um átomo d hidrogênio, é aproimadamnt: r0, ,. 0-0 m. 0 - m Enrgia Potncial (chuvas) Usinas hidrolétricas MW Eltricidad MW Ptrólo, gás carvão Usinas trmolétricas MW ) Escrva m notação ponncial as sguints grandzas: a) O diâmtro do sol é d aproimadamnt 8 milhõs d quilômtros; b) A distância do sol à Trra é d aproimadamnt 49 milhõs 600 mil quilômtros D acordo com o diagrama, a humanidad aprovita, na forma d nrgia létrica, uma fração da nrgia rcbida como radiação solar, corrspondnt a a-( ) b-( ),. 0-6 c-( ) d-( ), ( ) Pág.: /6

3 - Função Eponncial - Rvisando as propridads das potências: b) c) d) (FEI SP) Rsolva FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÃO EXPONENCIAL A quação ponncial caractriza-s pla prsnça da incógnita no pont. Emplos: a) b) + + S duas potências são iguais, tndo as bass iguais, ntão os ponts são iguais: a m a n m n, sndo a > 0 a - Rsolva as quaçõs m R a) b) + + c) + 4 d) + + ) Rsp.: S{-} Rsolva as quaçõs ponnciais a) b) c) Dtrmin o valor da incógnita nas quaçõs ponnciais: a) A função ponncial f, d domínio R contradomínio R, é dfinida por y a, ond a > 0 a São mplos d função ponnciais: a)y b) y ( ) 4. Gráfico da função ponncial a)considr a função y. Vamos atribuir valors a, calcular y a sguir construir o gráfico: Y - /9 - / b)considr a função y ( ). Vamos atribuir valors a, calcular y a sguir construir o gráfico: Y / / 9 /7 Obsrvando as funçõs antriors, podmos concluir qu para y a : S a >, a função ponncial é crscnt; S 0 a, a função é dcrscnt Pág.: /6

4 Postado m 8 / 08 / - Função Eponncial - EXERCÍCIOS PROPOSTOS Qustão 0 Classifiqu as funçõs ponnciais m crscnt ou dcrscnt. a) y b) y c) y π d) y Qustão 0 Rprsnt graficamnt as sguints funçõs ponnciais: a) y b) y Qustão 0 Dtrmin o valor d a R para qu a função abaio sja crscnt y a + Rsp.: a4 Qustão 04 Dtrmin m R para qu a função abaio sja dcrscnt: f() m Rsp.: -8 m -4 Qustão 0 Dtrmin o conjunto solução da quação ponncial Qustão 06 Esboc o gráfico idntifiqu como crscnt dcrscnt as funçõs ponnciais: a) y b) y c) y QUESTÕES DE VESTIBULAR 0 (PUC MG) Sja a função ponncial f() a é corrtos afirmar qu: a-( ) la é crscnt s > 0; b-( ) la é crscnt s a > 0; c-( ) la é crscnt s a > ; d-( ) la é crscnt s a ; -( ) la é dcrscnt s 0. 0 (PUC SP) As funçõs f() a g() b, com a > 0, b > 0 a b, têm gráficos qu s ncontram m a-( ) ponto b-( ) pontos Pág.: 4/6 c-( ) 4 pontos d-( ) nnhum ponto -( ) infinitos pontos 04 (Fuvst SP)Adaptada. Sjam f() g(), sboc os gráficos d f() g(). 0 (FGV) O conjunto solução das quaçõs ponnciais 0,0 0,0 0 + são rspctivamnt: a-( ) b-( ) 44 c-( ) d-( ) ( ) 0 06 (Macknzi) A soma das raízs da quação 6. a-( ) b-( ) c-( ) 4 d-( ) 6 -( ) 8 é 07 (PUC RS) A soma das raízs da quação a-( ) b-( ) c-( ) 8 d-( ) 6 -( ) é Na matmática financira, o cálculo do juro composto rprsnta uma função ponncial. J c[ + i n ] Em qu: j juros i taa n príodo ( dias, mss, anos, tc. ) Emplo: Dtrminar os juros d um mpréstimo d R$00,00, com taa d juros compostos d %a.m, com um prazo d mss.

5 - Função Eponncial - INEQUAÇÃO EXPONENCIAL A inquação ponncial caractriza-s pla prsnça da incógnita no pont d um dos sinais d dsigualdad:, > ou ou. São mplos d inquaçõs ponnciais: a) 9 b) Ants d rsolvê-los, vamos analisar os gráficos abaio. F() é crscnt a > Emplos Rsolva as inquaçõs: a) 9 Como a bas é maior qu, apnas consrvamos o sinal d dsigualdad. 9 ² S{ R } b) Obsrv qu a bas não são iguais, ntão dvmos organizar. Agora as bass stão iguais. Vja qu / stá o intrvalo ntr 0, portanto dvmos invrtr o sinal d dsigualdad para qu a sntnça continu válida. F() é dcrscnt 0 a ² + > ² > 0 Fazndo o studo do sinal ² > 0 ² 0 " { R ou > } Obsrvando o gráfico, tmos qu: Na função crscnt, consrvamos o sinal da dsigualdad para comparar os ponts. 0 O conjunto solução da inquação 0, 0,000 é a-( ) { R ou 4} b-( ) { R 4} c-( ) { R 4 ou d-( ) R 6} -( ) R } 0 Rsolva m R Na função dcrscnt, invrtmos o sinal da dsigualdad para comparar os ponts Pág.: /6

6 - Função Eponncial - 6 O NÚMERO Um important númro irracional m matmática é o númro,7888 Est númro foi obtido a partir da prssão + dfinida m R. 0, 0,0 0,00 0,000 0,0000 +,94,70,77,78,78 Obsrv no quadro qu a mdida qu s aproima d zro, a prssão + fica mais próima do númro,78. Também considrando valors ngativos cada vz mais próimos d zro ( 0,; 0,0; 0,00; ) a prssão também rtorna o valor,78. A dscobrta dst númro é atribuída aos trabalhos d John Napir, m sus trabalhos d invnção dos Logaritmos. Em gral um logaritmo na bas dnominado d logaritmo natural, m gral é prsso por Ln ao invés d scrvr log EXERCÍCIOS 0- Rsolva as sguints quaçõs ponnciais: a) 8 b) 4 c) 0,0 000 d) ) 7 0- Sja a quação ponncial dfinida por podmos afirmar qu o conjunto solução é a-( ) é um númro primo; b-( ) múltiplo d 4; c-( ) ímpar d-( ) mnor qu ; -( ) divisívl por. 0- Dada a quação ponncial , assinal a altrnativa qu mlhor rlacion com o su conjunto solução. a-( ) o conjunto solução são númros pars; b-( ) apnas rprsnta o conjunto solução; c-( ) não há conjunto solução, portanto, solução vazio; d-( ) são númros múltiplos d ; 04 - Dê o conjunto solução da quação Dtrmin o conjunto solução do sistma a+b a+b 06 -(UFMS) S 9 9 6, ntão () é igual a a-( ) b-( ) 9 c-( ) d-( ) -( ) 07- Na matmática financira o valor total obtido m aplicação, dnominado como Montant é dfinido através da quação M c( + i) t, m qu: M montant; C capital i taa d aplicação t príodo d aplicação. Considrando qu você disponha d um capital d R$000,00 dsja aplicá-lo durant dois mss a uma taa d %a.m, qual o valor do rsgat após o vncimnto do príodo? 08-(FGV-SP) Inicia-s a criação d crta spéci d pi m um lago. Estudos indicam qu o númro N d pis, dcorrido m mss é dado 0,. m pla sntnça N Assim, nss lago, havrá aproimadamnt 4 mil pis para m corrspondnt a quantos mss? 09-(UFF 00) O gráfico da função ponncial f, dfinida por f k. a, foi construído utilizando-s o programa d gomtria dinâmica gratuito Gogbra conform mostra a figura a sguir Sab-s qu os pontos A B, indicados na figura, prtnc ao gráfico f. Nssas condiçõs dtrmin: a) os valors da constant K; b) f(0) f() Pág.: 6/6