Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 11 Ministrante Profª. Drª. Danielle Durski Figueiredo Material elaborado pelo Programa de Pré-Cálculo da
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- Débora Aragão Caires
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1 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Ministrant Profª. Drª. Danill Durski Figuirdo Matrial laborado plo Programa d Pré-Cálculo da Macknzi
2 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula
3 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 3
4 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 4
5 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 5
6 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 6
7 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 7
8 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 8
9 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 9
10 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0
11 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula
12 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula EQUAÇÕES TIGONOMÉTICAS ) solva as quaçõs. a) cos. b) cos 3 0. c) sn 3sn 0. d) sn, [ 0, ]. 4 ) 4snt 3 snt, t [ 0, ]. cos, [Dica: cos sn ]. f) sn3 g) sn sncos 0. h) 3tg 3tg. i) cos cos 5.
13 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula ) (UCSAL-BA) S [ 0, ] a quação 8sn 4 0 tm duas soluçõs rais distintas a b. Sabndo qu a > b, é vrdad qu: a) a 3b b) a b c) a b d) a b ) 3 a b 6 3) (PUC-J) A quação tg cos tm, para no intrvalo 0,, uma raiz sobr a qual podmos dizr: a) b) 4 sn c) 5 sn d) cos ) 3 4) (UNIIO) O conjunto solução da quação sn cos, sndo 0, é: a) 4 b) 3 5 c) 4 d) 4, ), 4 4 3
14 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Ministrant Profª. Drª. Silvana Hidmann ocha Matrial laborado pla Profª. Drª. Silvana Hidmann ocha Funçõs trigonométricas hiprbólicas dirtas Sno hiprbólico cossno hiprbólico Sja t um númro ral tal qu t = A h, ond A h é a ára do stor hiprbólico POQ no sistma d coordnadas cartsiano abaio Q tm coordnadas (,0). Sja P um ponto qu dscrv o ramo dirito d uma hipérbol unitária. Dnomina-s sno hiprbólico d t, dnotado por snh t, a ordnada OP, ond P é a projção ortogonal d P sobr o io das ordnadas; cossno hiprbólico d t, dnotado por cosh t, a abscissa OP, ond P é a projção ortogonal d P sobr o io das abscissas. Emplo: P P O Q P O sno hiprbólico d um númro ral é dfinido por snh, ond é dnominado argumnto do sno hiprbólico; o cossno hiprbólico d um númro ral é dfinido por cosh, ond é dnominado argumnto do cossno hiprbólico. 4
15 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula D forma análoga às rlaçõs trigonométricas circulars, dfin-s: tgh = snh cosh tgh cosh cotgh = cot gh tgh snh sc h sc h cosh cos sc h snh Dssas dfiniçõs, rsultam as sguints idntidads: cosh snh = tgh = sch (basta dividir ambos os mmbros d cosh snh = por cosh ) cotgh = -cossch (basta dividir ambos os mmbros d cosh snh = por -snh ) Dvido a ss comportamnto smlhant às funçõs trigonométricas circulars é qu as funçõs trigonométricas hiprbólicas f()=snh, g()=cosh, h()=tgh, j()= cotgh, l()= sc h m()= cos sc h rcbm o adjtivo trigonométricas. O adjtivo hiprbólica dv-s ao fato do ponto P d coordnadas (cosh t, snh t) star sobr a hipérbol unitária - =, uma vz qu cosh t snh t =. i.) Função sno hiprbólico É toda função do tipo O domínio d f : f ( ) snh f ( ) snh é D( f ) = a imagm é Im( f ) = O gráfico d auiliars g()= f ( ) snh pod sr obtido adicionando-s as ordnadas das funçõs h()=. 5
16 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Primiramnt, sboça-s os gráficos d g()= h() =, postriormnt, soma-s as ordnadas obtndo-s f() = g() + h(). (pod sr tracjado) g() = f()=snh h() = i.) Função cossno hiprbólico É toda função do tipo O domínio d f ( ) f : cosh f ( ) cosh é D( f ) = a imagm é Im( f ) =,. O gráfico d f ( ) cosh pod sr obtido adicionando-s as ordnadas das funçõs auiliars g()= h()= Primiramnt, sboça-s os gráficos d g()=. h() =, postriormnt, soma-s as ordnadas obtndo-s f() = g() + h(). (pod sr tracjado) f() = cosh g() = h() = 6
17 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula A função cossno hiprbólico pod sr usada para dscrvr a forma d um cabo ou corrnt flívl, uniform, cujas trmidads stão fias a uma msma altura. A curva da função f() = cosh ( ), a a, é dnominada catnária (do latim: cadia, corrnt). Su mprgo também s dá na arquittura, na confcção d arcos. i.3) Função tangnt hiprbólica É toda função do tipo f : f ( ) tgh O domínio d f ) tgh ( é D( f ) = a imagm é Im( f ) =,. O gráfico d f() = tgh é dado por: - i.4) Função cotangnt hiprbólica É toda função do tipo * f : f ( ) cot gh O domínio d f ( ) cot gh é D( f ) = * a imagm é 7
18 Im( f ) =, -, Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula O gráfico d f() = cotgh é dado por: - i.5) Função scant hiprbólica É toda função do tipo O domínio d f f : ) sc h f ( ) sch ( é D( f ) = a imagm é Im( f ) =, O gráfico d f() = sch é dado por: 0. i.6) Função cosscant hiprbólica É toda função do tipo 8
19 O domínio d f Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula : * f ( ) cos sch f ( ) cos sc h é D( f ) = * a imagm é Im( f ) = *. O gráfico d f() = cossch é dado por: j) Funçõs trigonométricas hiprbólicas invrsas j.) Função argumnto do sno hiprbólico S f : f ( ) snh sno hiprbólico dnotada por argsnh, é dada por g f, ntão a invrsa d f, dnominada função argumnto do : g( ) arg snh Como a função sno hiprbólico é bijtora m todo o su domínio, ntão não é ncssário rstringir um intrvalo para dfinir sua função invrsa. Como = snh =, ntão sua invrsa é dada por O gráfico d g : = arg snh = ln ( + ) g() arg snh é dado por: 9
20 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula j.) Função argumnto do cossno hiprbólico S f : 0,,, ntão a invrsa d f, dnominada função argumnto do f ( ) cosh cossno hiprbólico dnotada por argcosh, é dada por g f :, 0, g() arg cosh Como a função cossno hiprbólico não é bijtora m todo o su domínio, ntão é ncssário rstringi-la a um intrvalo para dfinir a função invrsa, como fito acima. Como = cosh =, ntão sua invrsa é dada por = argcosh = ln ( + ), O gráfico d g :, 0, g() arg cosh é dado por: j.3) Função argumnto da tangnt hiprbólica S f :,, ntão a invrsa d f, dnominada função argumnto da f ( ) tgh tangnt hiprbólica dnotada por argtgh, é dada por g f :, g( ) tgh 0
21 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Como a função tangnt hiprbólico é bijtora m todo o su domínio, não é ncssário rstringi-la a um intrvalo para dfinir sua função invrsa. Como = tgh =, ntão sua invrsa é dada por O gráfico d g :, = arg tgh = ln, é dado por: g() arg tgh - j.4) Função argumnto da cotangnt hiprbólica * S f :,,, ntão a invrsa d f, dnominada função argumnto f ( ) cot gh da cotangnt hiprbólica dnotada por argcotgh, é dada por g f :,, * g() arg cotgh Como = cotgh =, ntão sua invrsa é dada por O gráfico d g :,, = arg cotgh = ln, * é: g() arg cotgh -
22 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula j.5) Função argumnto da scant hiprbólica: S f : 0, f ( ) sc h da scant hiprbólica dnotada por argsch, é dada por g f, ntão a invrsa d f, dnominada função argumnto : 0, g( ) arg sch Como = sch =, ntão sua invrsa é dada por = arg sch = ln, 0 O gráfico d g : 0, g() arg sch é dado por: j.6) Função argumnto da cosscant hiprbólica
23 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 3 S h f f cos sc ) ( : * *, ntão a invrsa d f, dnominada função argumnto da cosscant hiprbólica dnotada por argcosch, é dada por g f g arg cossch ) ( : * * Como =cossch =, ntão sua invrsa é dada por: = arg cossch = ln, 0 O gráfico d arg cossch : * * g é dado por:
24 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula FUNÇÕES HIPEBÓLICAS. Introdução (falar sobr Histórico, aplicaçõs) Compar as figuras a sguir, dstacando smlhanças difrnças ntr las: Y Hipérbol: = cosh t snh t = Y Circunfrência: + = cos t + sn t = -.. t S O M. P (, ) com = cosh t = snh t X - P (, ) com.. t S M O. X = cos t = sn t - t = S, com S = A MOP, pois π rad π r t rad S t = S, com S = A MOP ára do stor hiprbólico MOP Daí, vm: π r t = π S t = S para o caso d r = 4
25 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Figura Hipérbol d quação cartsiana = Figura Circunfrência d quação cartsiana + = 5
26 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Conform Thomas (00), toda função f qu sja dfinida m um intrvalo cntrado na origm pod sr scrita d uma manira única como a soma d uma função par d uma função ímpar. A dcomposição é: f() = ()() + ()() part par part ímpar Assim, scrvndo dssa manira, tm-s: = + + Part par part ímpar As parts par ímpar d são dnominadas, rspctivamnt, cossno hiprbólico d sno hiprbólico d. Elas dscrvm o movimnto d ondas m sólidos lásticos a forma dos fios suspnsos da rd létrica. (THOMAS, 00). Dfiniçõs As funçõs hiprbólicas são dfinidas da sguint manira: Sno hiprbólico d : f:, = f() = snh = 6
27 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Cossno hiprbólico d : f:, = f() = cosh = Tangnt hiprbólica d : f:, = f() = tgh = = snh cosh = + Cotangnt hiprbólica d : f:, = f() = cotgh = = cosh snh = + Scant hiprbólica d : f:, = f() = sch = = cosh = + Cosscant hiprbólica d : f:, = f() = cossch = = snh =.3 Idntidads hiprbólicas EXECÍCIO ) Vrifiqu as sguints idntidads: a) cosh snh = b) snh (a + b) = snh cosh b + snh b cosh a 7
28 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula c) snh (a b) = snh cosh b snh b cosh a d) cosh (a + b) = cosh a cosh b + snh a snh b ) cosh (a b) = cosh a cosh b snh a snh b f) snh = snh cosh g) cosh = cosh + snh h) cosh = i) snh = j) tgh = sch k) cotgh = + cossch.4 Gráficos das funçõs hiprbólicas EXECÍCIO ) prsnt graficamnt as funçõs hiprbólicas Obsrvação: O gráfico da função cossno hiprbólico dtrmina uma curva dnominada catnária. 8
29 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Utiliz um softwar matmático, por mplo: Winplot. Funçõs hiprbólicas invrsas. Dfiniçõs As funçõs hiprbólicas invrsas são dfinidas da sguint manira: Argumnto sno hiprbólico d (dnota-s por snh - ou arg snh ) f:, = f() = arg snh = ln ( + + ) Argumnto cossno hiprbólico d (dnota-s por cosh - ou arg cosh ) f: [, + [, = f() = arg cosh = ln ( + ) Argumnto tangnt hiprbólica d (dnota-s por tgh - ou arg tgh ) f: ], [, = f() = argtgh = + ln 9
30 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Argumnto cotangnt hiprbólica d (dnota-s por cotgh - ou arg cotgh ) f: [, ], = f() = arg cotgh = + ln Argumnto scant hiprbólica d (dnota-s por sch - ou arg sch ) f: ]0, ], = f() = arg sch = ln + ) Argumnto cosscant hiprbólica d (dnota-s por cossch - ou arg cossch ) f:, = f() = arg cossch = ln + + ). Idntidads satisfitas plas funçõs hiprbólicas invrsas EXECÍCIO ) Vrifiqu as sguints idntidads: a) arg sch = arg cosh b) arg cossch = arg snh c) arg cotgh = arg tgh 30
31 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula.3 Gráficos das funçõs hiprbólicas invrsas EXECÍCIO ) prsnt graficamnt as funçõs hiprbólicas invrsas Us um softwar matmático, por mplo, o Winplot. ) A função dnominada scant hiprbólica é dfinida por f:, = f() = sch = cujo gráfico stá rprsntado pla figura, a sguir: cosh = + Figura Gráfico da função scant hiprbólica a) A função scant hiprbólica é uma função par? Justifiqu. b) A função scant hiprbólica é uma função bijtora m todo su domínio? Justifiqu. 3
32 Curso d Pré Cálculo Dif. Int. I Aula c) stringindo o domínio da função scant hiprbólica ao intrvalo [0, + [, dfina a função invrsa da scant hiprbólica, dnominada argumnto scant hiprbólica d. 3) A partir do gráfico das funçõs abaio, vrifiqu: a) S trata-s d uma função par, função ímpar ou nnhuma dlas. Justifiqu. b) S trata-s d uma função bijtora m todo su domínio. Justifiqu. c) Obtnha a função invrsa (domínio, contradomínio, li d associação) no maior intrvalo ond a função sja bijtora..) sno hibrbólico.) cossno hiprbólico EFEÊNCIAS ANTON, H. Cálculo: um novo horizont. 6. d. V.. Porto Algr: Bookman, 000. ISTO É MATEMÁTICA. A catnária. Disponívl m: < Acsso m: 3/04/05. MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo.. d. V.. io d Janiro: Guanabara Dois, 983. PISKOUNOV, N. Cálculo difrncial intgral. d. V. I. Porto: Ediçõs Lops da Silva, 986 EFATTI, L.; BELTAME, A. M. Funçõs hiprbólicas cabos pndnts. In: Disc. Scintia. Séri: Ciências Naturais Tcnológicas. v. 5., n.., p Santa Maria, 004. Disponívl m: <sits.unifra.br/portals/36/tcnologicas/004/hiprbolicas.pdf>. Acsso m: 3/04/05. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com gomtria analítica.. d. V.. São Paulo: Makron Books, 994. THOMAS Jr., G. B. Cálculo. 0. d. V.. São Paulo: Addison Wsl, 00. 3
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