Material Teórico - Módulo de Função Logarítmica. Função logarítmica e propriedades - Parte 1. Primeiro Ano - Ensino Médio

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1 Matrial Tórico - Módulo d Função Logarítmica Função logarítmica propridads - Part 1 Primiro Ano - Ensino Médio Autor: Prof. Anglo Papa Nto Rvisor: Prof. Antonio Caminha M. Nto

2 1 Motivação para o studo dos logaritmos No módulo sobr funçõs xponnciais, studamos quaçõs xponnciais qu podm sr rduzidas a uma igualdad ntr potências d msma bas, do tipo a f(x) = a g(x), ond a R, a > 0 a 1. Essa igualdad implica uma igualdad ntr os xponts, f(x) = g(x), qu, m gral, nos prmit rsolvr a quação. No caso m qu a igualdad é substituída por uma dsigualdad, tmos inquaçõs xponnciais, qu também foram studadas no módulo antrior. No final da aula sobr inquaçõs xponnciais xaminamos, no xmplos 10 11, as inquaçõs 2 x2 +1 > 3 x 3 x+1 5 x 1, rspctivamnt (nsta última, procurávamos a mnor solução intira). Dados A, B > 0, para rsolvrmos uma inquação do tipo A f(x) < B g(x), (ou outra inquação similar, ond < pod sr substituído por <, ou ) usamos o fato d qu a imagm da função xponncial u A u é o conjunto dos rais positivos. Ess fato garant qu xist um númro ral k tal qu A k = B, o qu nos prmit rscrvr a dsigualdad acima como A f(x) < A kg(x). Por sua vz, ssa última inquação nvolvndo potências d msma bas, como tal, quival à dsigualdad ntr os xponnts f(x) < kg(x). No caso dos xmplos da aula sobr inquaçõs xponnciais, por s tratarm d dsigualdads, pudmos rsolvê-las usando stimativas para o valor d k. No ntanto, s quisrmos rsolvr uma quação xponncial qu nvolva potências d bass difrnts, srá ncssário sabr o valor xato d k, como no Exmplo 1 a sguir. Exmplo 1. Rsolva a quação 2 x = 3. (1) quação (1) tm solução. Como a função y = 2 x também é injtiva 1, ssa solução é única. Uma stimativa um tanto grossira para k pod sr obtida considrando-s as dsigualdads 2 < 3 < 4, isto é, 2 1 < 2 k < 2 2, o qu implica qu 1 < k < 2. 2 Dfinição propridads básicas Logaritmos são xponts. Mais prcisamnt, s a > 0, a 1 b > 0, o logaritmo d b na bas a é o xpont y qu dvmos colocar na potência d bas a para qu o rsultado sja b, ou sja, é a solução da quação xponncial a y = b. (2) Mais uma vz, a consistência dssa dfinição sgu do fato d qu a imagm da função xponncial y a y é o conjunto dos rais positivos. Usamos a notação y = log a b. (3) (lê-s logaritmo d b na bas a) para dnotar a solução d (2). Por xmplo, a quação do Exmplo 1, 2 x = 3, tm por solução o logaritmo d 3 na bas 2, isto é, log 2 3. Evidntmnt, a discussão até aqui apnas dá um nom a um númro ral qu sabmos xistir, mas qu não sabmos stimar com prcisão. Por xmplo, até o momnto não tmos a mnor idia sobr como calcular log 2 3 com, digamos, duas casas dcimais corrtas. Ess fato srá rmdiado à mdida qu prossguirmos m nosso studo. Por ora, dduzamos algumas propridads d logaritmos, as quais dcorrm das rgras usuais d xponnciação. Suponha qu a é um númro ral positivo difrnt d 1, b c são númros rais positivos. Tmos as sguints propridads: (1) log a 1 = 0 D fato, s log a 1 = y, ntão a y = 1, ou sja, a y = a 0. Como sabmos, isso implica y = 0. (2) log a a = 1 S log a a = y, ntão a y = a, ou sja, a y = a 1, o qu implica y = 1. (3) a log a b = b Nst caso, a própria dfinição d logaritmo já fornc a propridad, pois, log a b é o xponnt qu tmos d dar à bas a para obtr b como rsultado. Como acima, o fato d qu a imagm da função xponncial y = 2 x é o conjunto dos rais positivos garant qu xist um ral k tal qu 2 k = 3, ou sja, tal qu a 1 Tais propridads das funçõs xponnciais foram stablcidas na aula Função xponncial propridads, no módulo sobr Funçõs Exponnciais. 1 matmatica@obmp.org.br

3 (4) log a (bc) = log a b + log a c Escrva log a b = x log a c = y. Então a x = b a y = c, logo bc = a x a y = a x+y. Mas, s a x+y = bc, ntão, por dfinição, tmos x + y = log a (bc). Assim, log a (bc) = x + y = log a b + log a c. (5) log a ( b c) = loga b log a c Essa propridad dcorr d (4), aplicada a b c no lugar d b: (( b ) ) ( b ) log a b = log a c = log c a + log c a c; ( ) b portanto, log a = log a b log a c. (6) log a ( b k ) = k log a b c S x = log a b y = log a (b k ), ntão b = a x b k = a y. Assim, a y = b k = (a x ) k = a kx, daí, y = kx. Mas isso é xatamnt o qu quríamos dmonstrar. A propridad (4) tm uma importância spcial, pois foi o impulso motivador para o studo dos logaritmos, no início do século XVII. Como logaritmos transformam produtos m somas, ls s tornaram frramntas útis para cálculos aritméticos com númros muito grands, numa época m qu não xistiam calculadoras. Vamos ilustrar como isso pod sr fito no Exmplo 3 a sguir. Até mados do século XX, ra comum qu os livros trouxssm tábuas d logaritmos, qu nada mais são do qu tablas nas quais podmos consultar os valors aproximados d vários logaritmos d númros (numa crta bas). As tablas mais comuns xibiam logaritmos na bas 10, ditos logaritmos dcimais, d númros m um dtrminado intrvalo. Então, utilizando tais valors m conjunção com as propridads (4) (6), calculava-s outros logaritmos. Ilustrmos ss procdimnto no sguint Exmplo 2. Suponha qu saibamos (consultando uma tábua d logaritmos dcimais) qu log 10 (2, 02) = 0, 3051, com quatro casas dcimais xatas. Para calcular o valor d log 10 (2020), comçamos scrvndo 2020 = 2, Então, as propridads (4) (6) dão log 10 (2020) = log 10 (2, ) = log 10 (2, 02) + log 10 (10 3 ) = log 10 (2, 02) + 3 log 10 (10) = log 10 (2, 02) + 3 = 3, Figura 1: uma tábua d logaritmos, rtirada do livro Astronomisch Nachrichtn, d Hinrich Christian Schumachr ( ). Conform promtido antriormnt, o próximo xmplo mostra como tábuas d logaritmos ram utilizadas para calcular produtos d númros grands. Exmplo 3. Para calcular o produto com o auxĺio d uma tábua d logaritmos dcimais, comçamos scrvndo log 10 ( ) = log 10 (1999) + log 10 (2019). Em sguida, consultando uma tabla d logaritmos dcimais, obtmos log 10 (1999) = 3, 3008 log 10 (2019) = 3, 3051, ambos com quatro casas dcimais corrtas. Assim, log 10 ( ) = 3, , 3051 = 6, Consultando a msma tabla, vríamos qu o númro intiro cujo logaritmo dcimal mais s aproximaria d 6, 6059 sria , o qu forncria = Nos dias d hoj, a lição qu fica, dos cálculos dos xmplos antriors é qu logaritmos srvm para transformar uma multiplicação m uma adição, qu é uma opração qu 2 matmatica@obmp.org.br

4 xig um sforço computacional mnor. As calculadoras cintíficas os computadors utilizam-s dssa propridad d forma indirta, d uma manira bm mais sofisticada, para ralizar rapidamnt cálculos muito complicados. O próximo xmplo xrcita a dfinição d logaritmo. Exmplo 4. Mostr qu, s a b são númros rais positivos, com a 1, ntão log a k b = 1 k log a b, para todo númro ral não nulo k. Solução. Escrva log a b = x log a k b = y. Pla dfinição d logaritmo, tmos a x = b (a k ) y = b. Logo, a x = (a k ) y, ou sja, a x = a ky. Igualando os xponts, obtmos y = 1 x, qu é a igualdad qu procurávamos. k Outra propridad notávl dos logaritmos é a mudança d bas. S a, b c são númros rais positivos, a c são difrnts d 1, ntão log a b = log c b log c a. Para dmonstrarmos a validad da xprssão acima, scrvmos x = log a b, y = log c b z = log c a. Pla dfinição d logaritmo, tmos a x = b, c y = b c z = a. Por sua vz, as duas primiras igualdads implicam a x = c y. Mas, como a = c z, podmos scrvr (c z ) x = a x = c y, ou, o qu é o msmo, c xz = c y. Assim, zx = y, daí x = y z, qu é a igualdad procurada. Trminamos sta sção com duas obsrvaçõs importants. Obsrvação 5. Em gral, quão complicado é o númro log a b (para a, b > 0, com a 1)? Evidntmnt, ss númro pod sr racional, ou msmo intiro, como por xmplo m log 2 8 = 3, log 3 3 = 1 2 (vrifiqu ssas igualdads). Entrtanto, pod sr mostrado (mas isso stá bm além do qu podmos fazr aqui) qu, s a b são intiros positivos primos ntr si, ntão log a b é um númro irracional. Obsrvação 6. Na aula Função Exponncial Propridads, Obsrvação 8, aprsntamos o important númro = 2, Por razõs qu ficarão claras à mdida qu prossguirmos nosso studo, logaritmos na bas são chamados logaritmos naturais, sndo dnotados por ln ou log. Assim, para x > 0, tmos ln x = log x = log x. 3 A quantidad d algarismos d um númro Nsta sção, vamos considrar o problma d dtrminar a quantidad d algarismos d númros naturais scritos na bas 10. S N é um númro natural com n algarismos, ntão ou sja, 10 n 1 N < 10 n, (4) n 1 log 10 N < n. (5) Isso significa qu a quantidad a(n) d algarismos d um númro intiro N, scrito na bas 10, é dada por a(n) = 1 + log 10 N. (6) ond a notação x indica o maior intiro qu não supra x. Exmplo 7. Mostr qu númro tm mais d 6000 mnos d 8100 algarismos. Solução. Como 10 3 < 2019 < 10 4, tmos qu 3 < log < 4. Assim, log 10 ( ) = 2019 log isto é, Portanto, < log 10 ( ) < , 6057 < log 10 ( ) < log 10 ( ) 8075, d sort qu o númro d algarismos d é maior qu 6057 mnor qu algarismos. Exmplo 8. Em su trabalho Mthodus Diffrntialis, publicado m 1730, Jams Stirling aprsntou sua famosa fórmula n! ( n qu fornc um valor aproximado para o fatorial d n. Tal aproximação dv sr ntndida no sntido d qu o quocint ( n n! s aproxima mais mais d 1, à mdida qu n aumnta. Uma informação ( mais prcisa é qu o rro ntr n! n é mnor qu 1 12n. Us ssas informaçõs para calcular a quantidad d algarismos d 100!. 3 matmatica@obmp.org.br

5 Solução. Para valors grands d n, o rro na aproximação torna-s rlativamnt pquno. Portanto, dnotando k = log 10 (100!) usando uma calculadora cintífica, obtmos ( ( ) ) 200π k = log 10 1 = 2 log log 10 π log 10 = 157, 97 = 157. Então, aplicando a fórmula (6), obtmos a(100!) = 1 + k = 158. Dicas para o Profssor A prsnt aula pod sr cobrta m três ncontros d 50 minutos. É fortmnt aconslhávl qu o profssor trabalh os dois últimos xmplos da aula sobr inquaçõs xponnciais ants d comçar sta aula. Conform lmbramos no início dsta aula, tais xmplos são motivadors para o studo dos logaritmos. Os usos d tábuas d logaritmos logaritmos dcimais para a ralização d cálculos são tmas qu caíram dfinitivamnt m dsuso dpois do surgimnto popularização das calculadoras ltrônicas. Não advogamos aqui m dfsa dss método anacrônico, o citamos no txto somnt por razõs históricas, como uma ilustração do papl inicial dos logaritmos. No ntanto, val notar qu os parâmtros curriculars nacionais stablcm qu, ntr as habilidads qu s spra qu os studants dsnvolvam, stá a capacidad d consultar intrprtar dados xpostos m tablas. Isto posto, as tábuas d logaritmos são colçõs d dados bastant útis para s xplicar como uma tabla pod sr usada para rsolvr problmas práticos, como a multiplicação d númros grands. Esta aula stá dividida m três parts. Nas duas primiras, adotamos uma abordagm mais tradicional, qu dfin logaritmo como xpont; dssa forma, funçõs logarítmicas aparcrão, na part 2, como invrsas d funçõs xponnciais. Na trcira part, adotarmos a abordagm qu pod sr ncontrada nas sugstõs d litura complmntar [1] [3]: dfinirmos a função logarítmica d bas usando a noção d ára sob uma hipérbol. A função xponncial x x surgirá, ntão, como invrsa dssa função logarítmica. Sugstõs d Litura Complmntar 1. A. Caminha. Tópicos d Matmatica Elmntar, vol. 3, sgunda dição. SBM, Rio d Janiro, G. Izzi, O. Dolc, C. Murakami. Fundamntos d Matmática Elmntar, vol. 2, quarta dição. São Paulo, Ed. Atual, E. L. Lima. Logaritmos. SBM, Rio d Janiro, matmatica@obmp.org.br