O teorema da função inversa para funções de várias variáveis reais a valores vetoriais

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1 Matmática O torma da função invrsa para funçõs d várias variávis rais a valors vtoriais Vivian Rodrigus Lal Psquisadora Prof Dr David Pirs Dias Orintador Rsumo Est artigo tm como objtivo aprsntar o Torma da Função Invrsa uma d suas dmonstraçõs Ants, aprsntarmos sua vrsão mais simpls, isto é, o Torma da função invrsa na rta um xmplo mostrando qu suas hipótss, são d fato, indispnsávis Palavras-chav: Continuidad Difrnciabilidad Torma da Função Invrsa Abstract This articl has lik main aims to prsnt th Invrs Function Thorm and its dmonstrations Bfor prsnting its simplst vrsion, that is, th invrs function Thorm on th lin and an xampl showing that thir assumptions ar in fact indispnsabl 127 Ky words: Continuity Diffrntiation Invrs Function Thorm Rvista PIBIC, Osasco, v 5, n 6, 2011, p

2 Vivian Rodrigus Lal Introdução Comçarmos por nunciar provar o Torma da função invrsa para uma função d variávl ral m valors rais Torma 1: Sja R R, com I um in- Logo, é invrsívl sobr o intrvalo A função é abrta m, ou sja, para todo abrto, é abrto D trvalo abrto S é drivávl fato, basta mostrar qu s é intr-,, ntão valo abrto, ntão é abrto Tmos, para é um intrvalo abrto, é uma bi- todo jção com dri-, sjam m Assim, 128 vávl Além disso, Dmonstração: Plo torma do valor intrmdiário, é intrvalo não muda d sinal Vamos assumir qu, para todo Logo é stritamnt crscnt m, portanto injtora, pois, d ond sgu qu Dssa forma, é bijtora abrta, logo, é contínua, pois para todo abrto d, é abrto, já qu é abrto dado m, xist ntr, tal qu Obsrv qu, pois é drivávl m Cab obsrvar qu nst caso, m qu a drivada m xist é dada por, ao rtirarmos a hipóts, podmos ncontrar xmplos m qu a invrsa pod não sr drivávl m Sua invrsa, como já sabmos, é dada por, qu é contínua m, mas não é drivávl m D fato, tommos m qu Rvista PIBIC, Osasco, v 5, n 6, 2011, p

3 O torma da função invrsa para funçõs d vários variávis rais a valors vtoriais Ants d nunciarmos st torma para funçõs d variávis rais a valors vtoriais dfinirmos alguns concitos qu imprscindívis para su ntndimnto Dfinição: Dados abrtos d Dizmos qu é um homomorfismo, s é bijção contínua com invrsa contínua E s são difrnciávis dizmos qu é um difomorfismo, além disso é um difomorfismo d class, s são d class s, é difomorfismo d class Not qu o xmplo acima é um homomorfismo difrnciávl, porém não é um difomorfismo, tal qu a rstrição é um difomorfismo Dcorr dssa dfinição qu s é um difomorfismo local,, é um isomorfismo para todo O torma da função invrsa, qu vamos dmonstrar a sguir, afirma qu s ntão é d class, a rcíproca também é válida, ou sja, s é um isomorfismo para todo, é um difomorfismo local Ainda nas condiçõs dsta dfinição, podmos mostrar qu a aplicação abrta, isto é, a imagm é d qualqur abrto d é um subconjunto abrto d D fato, pois s tomarmos para cada 129 Uma função, com uma bola abrta, com é um difomorfismo local s cntro m x, tal qu sja um difomorfismo d para cada, xistm abrtos sobr um abrto,, ntão qu é abrto por s tratar d uma runião d abrtos, tal qu Torma 2: Sjam d, class, um Sgu qu abrto S é injtora é injtora, ntão xist Dmonstração: Como é injtora, n- Rvista PIBIC, Osasco, v 5, n 6, 2011, p

4 Vivian Rodrigus Lal tão, s Além disso, qu é contínua, tm um mínimo, quando, qu é compacto S, tmos qu O qu nst caso significa,, logo Tmos portanto subtraindo-s as quaçõs acima obtmos 128 Como é contínua,, pla continuidad d (pois é d class por s tratar d soma, difrnça produto d funçõs d class ), xist tal qu Torma 3: Sja, um ho- pla d- momorfismo difrnciávl com sigualdad do valor médio, s abrtos S, ntão qu, s sndo assim tmos é invrsívl, ntão é difrnciávl m ntão portanto, Dmonstração: Sjam Rvista PIBIC, Osasco, v 5, n 6, 2011, p

5 O torma da função invrsa para funçõs d vários variávis rais a valors vtoriais lvando-s m considração Então, pois Qurmos mostrar qu mas, ants, vamos provar qu é limitada numa vizinhança d Como é injtora, plo torma antrior, xist, tais qu, para, tmos logo Como é bijtora, ntão, s, logo: 131 Sndo Dvmos mostrar qu pla continuidad d, xist, tal qu Então s Como,, quando,fazndo as substituiçõs na quação (1) trmos Assim Rvista PIBIC, Osasco, v 5, n 6, 2011, p

6 Vivian Rodrigus Lal O qu nos dá Lma: S é contínua injtora m compacto, ntão a invrsa é contínua D fato, basta mostrar qu, para todo conjunto fchado d é fchado d Tmos compacto, pois é compacto, logo é fchado Torma 4: [Torma da Função Invrsa] Sja d class abrto Suponha qu é injtora para todo, pois 132 sja invrsívl Então xistm abrtos tais qu é invrsívl com invrsa difrnçávl, Além disso, é contínua já qu é d class Sja, ntão é contínua injtora, para cada, isto é, é difomorfismo local plo Lma antrior, é homomorfismo, uma vz qu é compacto Dmonstração: Plo torma acima, como é injtora, xist tal Sjam é abrto Tommos Vamos mostrar qu ar- qu é injtora Diminuido-s su- bitrário com Dvmos achar ficintmnt, podmos supor qu um abrto, tal qu Como, xist (i) Vamos scolhr : tal qu, Rvista PIBIC, Osasco, v 5, n 6, 2011, p

7 O torma da função invrsa para funçõs d vários variávis rais a valors vtoriais, pois qu é compacto Assim tmos (ii) Vamos vrificar qu é abrto: Sja, tm-s:, pois : Logo é abrto Como é arbitrário, basta mostrar qu xist com 133 Sja dada por Como é compacto, assum um mínimo m Como,,, ntão o mínimo é atingido m, ou sja, Assim, para igual a ss mínimo, tmos, logo Dssa forma, a rstrição é homomorfismo difrncial ntr abrtos, d manira qu para cada, é invrsívl Plo Torma antrior, é difrnciávl, para cada Logo para val Rvista PIBIC, Osasco, v 5, n 6, 2011, p

8 Vivian Rodrigus Lal Rfrências Bibliográfica BUCK, R C Advancd Calculus 3 d Nw York: McGraw-Hill, 1965 CALLIOLI, C A; COSTA, S I R; DOMINGUES, HÁlgbra linar aplicaçõs 7 d São Paulo: Atual, p LIMA, E L Curso d Anális: Projto Euclids, 12 d Rio d Janiro: Impa, 2006 v I II RUDIN, Waltr Princípios d Anális Matmática Rio d Janiro: Ao Livro Técnico, p SALLUM, E M; MURAKAMI, L S I; SILVA, J P Cálculo Difrncial Gométrico no São Paulo: IME-USP, p 134 Rvista PIBIC, Osasco, v 5, n 6, 2011, p