Euler e Riemann visitam Picard

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1 Artigo Eulr Rimann visitam Picard Lia Fital Fusaro Abrants Jann Carmo Amaral Armando G M Nvs UFMG Crtamnt um dos mais importants tormas cuja dmonstração s studa nos cursos d matmática m nívis d graduação mstrado é o Torma d Picard Tal torma garant, sob condiçõs bastant grais facilmnt aplicávis, xistência unicidad d soluçõs para problmas d valor inicial (PVIs) d quaçõs difrnciais ordinárias (EDOs) Dvido ao grand númro d aplicaçõs das EDOs m vários ramos da ciência, o Torma d Picard podria sr considrado o Torma Fundamntal da Matmática Aplicada A gnralidad das hipótss prmit qu aquls qu studam aplicaçõs d EDOs raramnt tnham qu s procupar com qustõs d xistência unicidad Para o caso mais simpls d EDOs d primira ordm, o nunciado do torma é o sguint: Torma 1 Sjam f : U R contínua no abrto U R R, (, x 0 ) Ua> 0, b > 0 tais qu R ab =[ a, + a] [x 0 b, x 0 + b] U S f é lipschitziana m rlação à sgunda variávl m R ab M > 0 é uma cota suprior para f nss compacto, ntão o PVI x = f (t, x) (1) x( )=x 0 possui solução única dfinida m [ α, + α], para α = min{a, M b } EDOs d ordns supriors podm sr smpr scritas como sistmas d EDOs d primira ordm são tratadas pla vrsão do torma acima, com hipótss smlhants, para sistmas d EDOs (vr, por xmplo, [2], [3] ou [10]) A prova mais conhcida do torma d Picard, aprsntada nos três livros acima citados, basia-s no método das aproximaçõs sucssivas, ou Torma do Ponto Fixo d Banach (vr [6], por xmplo) Irmos aprsntar, nst artigo, uma prova difrnt, qu ncontramos m um livro d Inc ([7]) do início do século XX, portanto, um pouco squcida Como o litor irá prcbr, a construção m qu s basia a prova qu aprsntarmos possui muita smlhança com a construção da intgral d Rimann Não qu a prova qu aprsntarmos sja mlhor ou mais simpls qu a clássica nm porqu as idias contidas na prova clássica sjam pouco importants O fato é qu a prova do livro d Inc sgu um caminho difrnt também bonito Uma outra caractrística intrssant da prova d Inc é qu la utiliza as poligonais d Eulr, qu são funçõs qu aproximam a solução do PVI (1) qu foram introduzidas por Eulr como o primiro dntr os vários métodos numéricos para aproximar a solução d EDOs Em ordm cronológica, Eulr vivu ntr , Rimann ntr Picard ntr Essas datas mostram quão impossívl é o título dst artigo, mas a idia é msmo qu Eulr Rimann façam uma visita simbólica a Picard, contribuindo um com sua poligonal o outro com a construção da intgral qu hoj lva su nom para provarm o torma imortalizado com o nom d Picard Para não comtr injustiças com outros grands matmáticos, lmbramos qu o torma objto dst artigo stá associado também aos noms d Lindlöf ( ), Lipschitz ( ) Cauchy ( ) Para pouparmos ao anfitrião do torma a lotação d sua casa com tanta gnt ilustr, optamos por só colocar três noms no título do artigo Com rlação ao livro [7], aprovitamos a idia da prova apnas sboçada por l a rscrvmos no stilo da matmática atual, complmntando alguns dtalhs Nosso dsjo inicial ra qu a prova ficass acs- 42 Matmática Univrsitária nº46

2 sívl a alunos qu stivssm studando pla primira vz a construção da intgral d Rimann, mas ao dtalhar a prova acabamos usando também a noção d convrgência uniform a partir da Proposição 2 Acrditamos qu o matrial dst artigo possa sr usado m disciplinas sobr EDOs m nívl d final d graduação ou mstrado, como uma prova altrnativa do Torma d Picard Ou, mlhor ainda, m cursos d anális no nívl d [8], [9] ou [4], como uma aplicação totalmnt nova do maquinário usado na construção da intgral d Rimann, assim como uma boa ilustração da utilidad dos rsultados d convrgência uniform Poligonais supriors infriors Sjam M α como dfinidos no nunciado do Torma 1 Dados t 1 < t 2 < < t N 1 m (, + α), dfina t N = + α Vamos nos rfrir ao conjunto Π = {, t 1,,t N } como sndo uma partição d [, + α] A norma d Π é dfinida como Π = max{t 1, t 2 t 1,,t N t N 1 } Considr ainda o triângulo T como na figura, dlimitado plas rtas {t = + α}, {x = x 0 + M(t )} {x = x 0 M(t )} Dfinimos T 1 T como o triângulo dlimitado plas rtas {x = x 0 + M(t )}, {x = x 0 M(t )} {t = t 1 },, m sguida, M 1 = max (t,x) T 1 f (t, x) m 1 = min f (t, x) (t,x) T 1 Nsta construção, duas funçõs Y Π y Π srão dfinidas m [, + α] No intrvalo [, t 1 ] las ficam dfinidas por Y Π (t) =x 0 + M 1 (t ) y Π (t) =x 0 + m 1 (t ) Dfinimos ainda Y 1 = Y Π (t 1 ) y 1 = y Π (t 1 ) Em sguida, dfinimos T 2 T como o trapézio dlimitado plas rtas {t = t 1 }, {x = Y 1 + M(t t 1 )}, {x = y 1 M(t t 1 )} {t = t 2 },, também, M 2 = max (t,x) T 2 f (t, x) m 2 = min (t,x) T 2 f (t, x) Com ssas dfiniçõs podmos stndr ao intrvalo [t 1, t 2 ] as funçõs Y Π y Π já dfinidas m [, t 1 ] A dfinição dssas funçõs m [t 1, t 2 ] é Y Π (t) =Y 1 + M 2 (t t 1 ) y Π (t) =y 1 + m 2 (t t 1 ) Dfinimos ainda Y 2 = Y Π (t 2 ) y 2 = y Π (t 2 ) Indutivamnt, para i = 3, 4,, N, T i T srá o trapézio dlimitado plas rtas {t = t i 1 }, {x = Y i 1 + M(t t i 1 )}, {x = y i 1 M(t t i 1 ) {t = t i } Dfinirmos ainda M i = max (t,x) T i f (t, x) m i = min f (t, x) (t,x) T i As funçõs Y Π y Π já dfinidas m [, t i 1 ] srão stndidas a [t i 1, t i ] por Y Π (t) =Y i 1 + M i (t t i 1 ) y Π (t) =y i 1 + m i (t t i 1 ), finalmnt, Y i = Y Π (t i ) y i = y Π (t i ) Rsumindo, tmos uma função Y Π dfinida m [, + α] por mio d Y Π (t) = x 0 + M 1 (t ); t [, t 1 ] Y 1 + M 2 (t t 1 ); t [t 1, t 2 ] Y N 1 + M N (t t N 1 ); t [t N 1, t N ] m qu Y 1 = x 0 + M 1 (t 1 ), Y 2 = Y 1 + M 2 (t 2 t 1 ),, Y N 1 = Y N 2 + M n 1 (t N 1 t N 2 ) Claramnt, o gráfico d Y Π é uma poligonal; chamarmos ssa função Y Π d poligonal suprior para o PVI (1) dfinida pla partição Π A razão dss nom ficará clara mais adiant Analogamnt, a poligonal infrior y Π para o PVI, Matmática Univrsitária nº46 43

3 x T T 3 T 4 T5 T6 T 1 T 2 Y Π x 0 y Π t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t Construção das poligonais suprior infrior com rlação a uma dada partição Π do intrvalo [, + α] com N = 6 (1) dfinida pla partição Π é dada por y Π (t) = x 0 + m 1 (t ); t [, t 1 ] y 1 + m 2 (t t 1 ); t [t 1, t 2 ] y N 1 + m N (t t N 1 ); t [t N 1, t N ] m qu y 1 = x 0 + m 1 (t 1 ), y 2 = y 1 + m 2 (t 2 t 1 ),, y N 1 = y N 2 + m N 1 (t N 1 t N 2 ) A construção fita até aqui stá ilustrada na figura É claro qu y Π (t) Y Π (t) para qualqur t [, + α] qualqur qu sja a partição Π d [, + α] Além do mais, s Π é uma outra partição d [, + α] qu rfina Π, isto é, s Π Π como conjunto, ntão Y Π (t) Y Π (t) y Π (t) y Π (t), para qualqur t [, + α] Dssas duas propridads sgu qu s Π 1 Π 2 são partiçõs quaisqur d [, + α] ntão y Π1 (t) Y Π2 (t), t [, + α] Para vê-lo, basta tomar Π 1,2 = Π 1 Π 2, qu é obviamnt rfinamnto tanto d Π 1 quanto d Π 2 Logo y Π1 (t) y Π1,2 (t) Y Π1,2 (t) Y Π2 (t), para qualqur t [, + α] Daí sgu qu xistm, para qualqur t [, + α], os númros rais y(t) =sup y Π (t) Π P Y(t) = inf Π P Y Π(t), m qu P é o conjunto d todas as partiçõs d [, + α] As funçõs y Y dfinidas acima no domínio [, + α] satisfazm y(t) Y(t), t [, + α], 44 Matmática Univrsitária nº46

4 são dnominadas, rspctivamnt, d solução infrior solução suprior do PVI (1) Obsrv a analogia ntr as poligonais supriors infriors aqui dfinidas as somas d Rimann supriors infriors na construção da intgral d Rimann (vja, por xmplo, o capítulo IX d [8], ou o capítulo 10 d [9], ou ainda o capítulo 5 d [4]) Da msma forma, as soluçõs suprior infrior do PVI (1) são análogas às intgrais suprior infrior d uma função Com a construção fita acima, a stratégia para provar o Torma 1 srá mostrar qu s f satisfaz às condiçõs do torma ntão y(t) = Y(t) para qualqur t [, + α] Ess rsultado é alcançado na Proposição 1 é o análogo do Torma 6 do capítulo IX d [8], ou Torma 5 do Capítulo 10 d [9] ou Torma 54 d [4] E s φ dnota a função dfinida m [, + α] como o valor comum d y Y, provarmos m sguida, na Proposição 3, qu φ é uma solução do PVI (1) Um argumnto padrão, qu rproduzimos aqui por compltza, prova qu ssa solução é a única solução d (1) m [, + α] Isso stá na Proposição 4 Finalmnt, um argumnto compltamnt análogo val para construir a solução do PVI (1) no intrvalo [ α, ] Val ainda obsrvar qu as soluçõs infrior suprior foram construídas apnas com a hipóts d limitação da f, não sndo até agora ncssário usar sua continuidad, muito mnos, a hipóts d sr Lipschitz na sgunda variávl Igualdad ntr soluçõs supriors infriors Para provar a igualdad das soluçõs suprior infrior, o primiro passo é o sguint lma Lma 1 Sjam ρ R h 1,,h úmros rais positivos, com N N arbitrário S K é uma constant positiva os númros d 0, d 1,,d N são tais qu val d i d i 1 (1 + Kh i )+ρh i, (2) para qualqur i = 1, 2,, N, ntão d i d 0 K i j=1 h j + ρ K (K i j=1 h j 1), (3) para qualqur i = 1, 2,, N Dmonstração D (2) sgu qu d i + ρ K (d i 1 + ρ K )(1 + Kh i) Como 1 + Kh i < Kh i para todo K > 0, tmos qu d i + ρ K (d i 1 + ρ K )Kh i (4) Aplicando (4) rptidas vzs, tmos qu d i + ρ K (d i 1 + ρ K )Kh i Rarranjando, obtmos (3) (d i 2 + ρ K )K(h i+h i 1 ) (d 0 + ρ K )K i j=1 h j A igualdad das soluçõs suprior infrior srá ntão consquência simpls da sguint proposição Proposição 1 Suponha f como nas hipótss do Torma 1 Dado > 0 xist δ > 0 tal qu s Π Psatisfaz Π < δ ntão Y Π (t) y Π (t) < para qualqur t [, + α] Dmonstração A hipóts d qu f é lipschitziana m rlação à sgunda variávl significa qu xist uma constant K > 0 tal qu f (t, x) f (t, x ) K x x, para quaisqur (t, x), (t, x ) R ab Dado > 0, tom λ > 0 tal qu K λ < 2( Kα 1) Como f é contínua no compacto R ab, sgu qu f é uniformmnt contínua nss compacto Em particular xist σ > 0 tal qu s (t, x), (t, x) R ab com t t σ ntão f (t, x) f (t, x) < λ Sja δ = min{σ, λ 2MK }, ond M é cota suprior para f (t, x) m R ab, como no nunciado do Torma 1 Tommos uma partição Π Pqualqur com Π < δ dfinamos as rgiõs T 1, T 2,,T N como antriormnt, junto com toda a notação ncssária Obsrv qu m cada intrvalo [t i 1, t i ] da partição a difrnça Y Π (t) y Π (t) tm drivada constant igual a M i m i, Matmática Univrsitária nº46 45

5 qu é um númro não ngativo Portanto ssa difrnça é uma função não dcrscnt m [, t N ] bastará mostrarmos qu Y Π (t N ) y Π (t N ) < Dfinimos Em particular, d N 2λ K Kα 1 < para i = 0, 1,, N Tmos d i = Y Π (t i ) y Π (t i ), d i = d i 1 +(M i m i )(t i t i 1 ), (5) para todo i = 1,,N, o qu srá usado para mostrar qu d N < Para tanto, tmos qu avaliar a difrnça M i m i, usando a continuidad uniform na variávl t a constant d Lipschitz na variávl x Sjam (t 1 i, x1 i ) (t2 i, x2 i ) as coordnadas d dois pontos da rgião T i m qu o máximo o mínimo d f rstrita a T i são atingidos Já qu t 1 i t2 i σ, tmos qu M i m i = f (t 1 i, x1 i ) f (t2 i, x2 i ) = f (t 1 i, x1 i ) f (t2 i, x1 i ) + f (t 2 i, x1 i ) f (t2 i, x2 i ) λ + K xi 1 xi 2 (6) Podmos obtr xi 1 xi 2 d i 1 + 2M(t i t i 1 ), subtraindo d y i 1 M(t 1 i t i 1) x 1 i Y i 1 + M(t 1 i t i 1) y i 1 M(t 2 i t i 1) x 2 i Y i 1 + M(t 2 i t i 1) E, como t i t i 1 2MK λ, ntão, por (6), M i m i λ + 2MK(t i t i 1 )+Kd i 1 2λ + Kd i 1 Usando ssa cota m (5) obtmos d i d i 1 (1 + K(t i t i 1 )) + 2λ(t i t i 1 ), para i = 1, 2,, N Aplicando o Lma 1 para h i = t i t i 1, ρ = 2λ, lvando m conta qu d 0 = 0, ficamos com d i 2λ K K(t i ) 1 Poligonais d Eulr a solução do PVI Sja ntão φ : [, + α] R dfinida por φ(t) = y(t) =Y(t) Vamos provar com os próximos rsultados qu φ é solução do PVI (1) Para tanto, obtrmos uma proposição sobr somas d Rimann funçõs intgrávis à Rimann Rcordmos alguns concitos Dada uma função ψ : [a, b] R uma partição Π = {a = < t 1 < < t N = b} do intrvalo [a, b], dfinimos as somas infrior suprior S(ψ; Π) = S(ψ; Π) = N ( inf ψ) (t i t i 1 ) [t i 1,t i ] N ( sup ψ) (t i t i 1 ), [t i 1,t i ] bm como as intgrais infrior sup Π S(ψ; Π) suprior inf Π S(ψ; Π) d ψ Dizmos qu ψ é intgrávl à Rimann s as intgrais infrior suprior coincidm Nst caso, ss valor é dfinido como a intgral d ψ é dnotado por b a ψ(t)dt É fácil ncontrar xmplos d funçõs intgrávis à Rimann: s o domínio é um intrvalo fchado, toda função contínua é intgrávl (vr [8], [9] ou [4]) E é isto o qu vamos usar adiant Uma soma d Rimann d f rlativa a Π é qualqur soma do tipo S = N ψ(t i )(t i t i 1 ), m qu t i [t i 1, t i ], i = 1,, N Sabmos (vr as rfrências mncionadas acima, por xmplo) qu s ψ é intgrávl à Rimann, {Π 1, Π 2,} é uma squência d partiçõs com lim n Π n = 0S n é uma soma d Rimann d ψ rlativa a Π n, n 1, ntão lim n S n = b a ψ(t)dt A sguint proposição gnraliza ss rsultado 46 Matmática Univrsitária nº46

6 Proposição 2 Sjam ψ, ψ n : [a, b] R intgrávis à Rimann, n 1, com ψ n ψ uniformmnt 1 Sjam Π n partiçõs d [a, b] com lim n Π n = 0, para cada n 1, sja S n uma soma d Rimann d ψ n rlativa à partição Π n Então, b lim S n = ψ(t)dt n a Dmonstração Suponha qu Π n = {, t 1,,t Nn } Então S n é da forma S n = m qu t i [t i 1, t i ] ψ n (t i )(t i t i 1 ), Considr a soma d Rimann particular d ψ com rlação a Π n obtida com as msmas scolhas t i [t i 1, t i ] usadas m S n, ou sja, a soma S n dada por S n = ψ(t i )(t i t i 1 ) Fixado > 0, a intgrabilidad d ψ implica qu xist n 1 N tal qu S n b a ψ(t)dt < 2 para n n 1 Por outro lado, como ψ n ψ uniformmnt m [a, b], xist n 2 N tal qu ψ n (t) ψ(t) < 2(b a), para cada t [a, b] n n 2 Logo S n Sn = ψ n (t i )(t i t i 1 ) < ψn (t i ) ψ(t i ) (t i t i 1 ) 2(b a) (t i t i 1 )= 2 Assim concluímos qu, para n max{n 1, n 2 }, ψ(t i )(t i t i 1 ) b b S n ψ(t)dt S n Sn + Sn ψ(t)dt a a < = 1 D fato, não é prciso supor qu ψ sja intgrávl, pois isso sgu da intgrabilidad das funçõs ψ n da convrgência uniform S Π = { < t 1 < < t N = + α} é partição qualqur d [, + α], dfinimos agora a poligonal d Eulr rlativa ao PVI (1) à partição Π como sndo a função φ Π : [, + α] R m qu φ Π (t) é dada por x 0 + f (, x 0 )(t ); t [, t 1 ] x 1 + f (t 1, x 1 )(t t 1 ); t [t 1, t 2 ] x N 1 + f (t N 1, x N 1 )(t t N 1 ); t [t N 1, + α] (7) m qu x 1, x 2,,x N 1 são dfinidos por x 1 = x 0 + f (, x 0 )(t 1 ), x 2 = x 1 + f (t 1, x 1 )(t 2 t 1 ),, x N 1 = x N 2 + f (t N 1, x N 1 )(t N 1 t N 2 ) É claro qu para toda partição Π P para qualqur t [, + α] tmos y Π (t) φ Π (t) Y Π (t) Além do mais, s na partição Π tmos t [t j 1, t j ], ntão φ Π (t) =x 0 + f (, x 0 )(t 1 ) (8) + f (t 1, x 1 )(t 2 t 1 )+ + f (t j 1, x j 1 )(t t j 1 ) Considr agora {Π 1, Π 2,} squência d partiçõs d [, + α] com lim k Π k 0 dfina as squências (y k ), (Y k ) (φ k ) como y k = y Πk, Y k = Y Πk, φ k = φ Πk Da Proposição 1 sgu facilmnt o sguint corolário Corolário 1 S f satisfaz às condiçõs do torma d xistência unicidad, ntão, quando k,y k φ,y k φ φ k φ, sndo qu todas ssas convrgências são uniforms Além disso, φ é contínua Dmonstração Todas as difrnças y k φ, Y k φ φ k φ são limitadas por Y k y k, qu por sua vz tnd uniformmnt para zro, conform a Proposição 1 A continuidad d φ sgu dirtamnt do fato d qu é o limit uniform d funçõs contínuas Agora stamos prontos para dmonstrar qu φ é solução do PVI (1) Proposição 3 φ é solução do PVI (1), Matmática Univrsitária nº46 47

7 Dmonstração Considr mais uma vz a squência {Π 1, Π 2,} d partiçõs d [, + α] com lim k Π k = 0φ k φ Πk as corrspondnts poligonais d Eulr rlativas ao PVI (1) Dfina ψ k : [, + α] R por ψ : [, + α] R por ψ k (t) =f (t, φ k (t)) ψ(t) = f (t, φ(t)) Como f é contínua φ também o é, plo Corolário 1, ntão ψ é contínua, portanto, intgrávl à Rimann Além disso, usando qu f é Lipschitz na sgunda variávl, ψ k (t) ψ(t) = f (t, φ k (t)) f (t, φ(t)) K φ k (t) φ(t), uma vz qu φ k φ uniformmnt (plo Corolário 1), rsulta qu ψ k ψ uniformmnt Sja t [, + α] Na partição Π k = { t k 0, tk 1, tk 2,, + α}, t stará m um subintrvalo da forma [t k j k 1, tk j k ] para algum j k N Considr a soma d Rimann S k (t) d ψ k no intrvalo [, t] dada por S k (t) = Pla Proposição 2, j k 1 ψ k (ti 1 k )(tk i tk i 1 )+ψ k(t k j k 1 )(t tk j k 1 ) t t lim S k(t) = ψ(s)ds = f (s, φ(s))ds k Por outro lado, S k (t) = f (, φ k ( ))(t k 1 )+ f (t k 1, φ k(t k 1 ))(tk 2 tk 1 ) + + f (t k j k 1, φ k(t k j k 1 ))(t tk j k 1 ) = f (, x 0 )(t k 1 )+ f (t k 1, xk 1 )(tk 2 tk 1 ) + + f (t k j k 1, xk j k 1 )(t tk j k 1 ) = φ k (t) x 0, m qu na última igualdad fizmos uso d (8) Portanto, tomando o lim k d ambos os lados, φ(t) =x 0 + t f (s, φ(s))ds Do torma fundamntal do cálculo sgu imdiatamnt qu φ é solução do PVI (1) Proposição 4 S f satisfaz às condiçõs do torma o PVI (1) possui solução, ntão ssa solução é única Dmonstração Sjam φ 1 φ 2 soluçõs do PVI (1) É fácil vr qu ambas dvm satisfazr t φ(t) =x 0 + f (s, φ(s))ds Daí, φ 1 (t) φ 2 (t) = t ( f (s, φ 1 (s)) f (s, φ 2 (s)))ds K t φ 1 (s) φ 2 (s) ds, m qu K é uma constant d Lipschitz para f Sja U(t) = t φ 1 (s) φ 2 (s) ds, t [, + α] Então U é difrnciávl m [, + α] A dsigualdad acima mostra qu U (t) KU(t) 0, t [, + α] Multiplicando mmbro a mmbro por Kt, tmos d dt ( Kt U(t)) = Kt U (t) K Kt U(t) 0, para todo t [, + α], rsultando qu Kt U(t) é não crscnt nss intrvalo Por outro lado, d sua dfinição, tmos qu U(t) 0 t [, + α] U( )=0 Isso só é compatívl com o não crscimnto d Kt U(t) s U(t) 0, provando a unicidad Comntários finais Sabmos qu o Torma 1 continua válido com o msmo nunciado, mas com U R R n R ab = [ a, + a] B(x 0, b) U, sndo B(x 0, b) a bola fchada d R n com cntro x 0 raio b (vja [2, 3, 10]) Em outras palavras, o torma val para sistmas d EDOs d primira ordm portanto também para EDOs d ordns supriors Para simplificar o txto ao máximo, não quismos stndr a construção a dmonstração dadas d modo a nglobar ss caso muito mais gral Acrditamos qu as msmas idias qu dlinamos aqui podm sr usadas para ss caso Fica ntão o convit ao litor qu, como um bom xrcício, o faça por si O Corolário 1 diz qu uma squência d poligonais d Eulr construídas a partir d partiçõs Π n com 48 Matmática Univrsitária nº46

8 Π n 0 convrg uniformmnt à solução do PVI (1) Isto significa qu uma poligonal d Eulr construída com uma partição com norma suficintmnt pquna é uma boa aproximação (no sntido da convrgência uniform) para a solução d um PVI Estamos falando portanto d métodos numéricos para aproximar soluçõs d PVIs para EDOs A construção d poligonais d Eulr é bastant simpls do ponto d vista computacional é conhcida como o método d Eulr para a aproximação numérica d soluçõs para PVIs O Corolário 1 a Proposição 3 são a justificativa matmática para o funcionamnto do método d Eulr, o mais simpls dos métodos aproximados para rsolução d EDOs O assunto d métodos numéricos para quaçõs difrnciais ordinárias ou parciais foi somnt lvmnt arranhado nst artigo, mas o litor fica convidado a xplorá-lo m maior profundidad m um dos vários livros a rspito, por xmplo [1] para uma rápida introdução, ou [5] para algo mais aprofundado Nosso Lma 1 é um rsultado básico da ára Apsar d o método d Eulr sr bastant primitivo com rlação aos dmais métodos numéricos para quaçõs difrnciais, é intrssant notar qu l foi utilizado como motor d uma das mais importants dmonstraçõs ralizadas por computador dos últimos tmpos, a da xistência do atrator d Lornz ([11]) Rfrências [1] BOYCE, W; DIPRIMA, R C Equaçõs difrnciais lmntars problmas d valors d contorno 7 d Rio d Janiro: LTC, 2002 [2] DOERING, C I; LOPES, A O Equaçõs difrnciais ordinárias 2 d Rio d Janiro: IMPA, 2005 (Colção Matmática Univrsitária, 15) [5] GOLUB, G H; ORTEGA, J M Scintific computing and diffrntial quations: an introduction to numrical mthods San Digo: Acadmic Prss, 1992 [6] HÖNIG, C S Aplicaçõs da topologia à anális Rio d Janiro: IMPA, 1976 (Colção Projto Euclids, 3) [7] INCE, E L Ordinary diffrntial quations Nw York: Dovr, 1944 [8] LIMA, E L Curso d anális, vol 1 12 d Rio d Janiro: IMPA, 2009 (Colção Projto Euclids, 1) [9] LIMA, E L Anális ral, vol 1 10 d Rio d Janiro: IMPA, 2008 (Colção Matmática Univrsitária, 1) [10] SOTOMAYOR, J Liçõs d quaçõs difrnciais ordinárias Rio d Janiro: IMPA, 1979 (Colção Projto Euclids, 11) [11] TUCKER, W Th Lorntz attractor xists Compts Rndus d L Académi ds Scincs, Sris I, Mathmatics, v 328, n 12, p , 1999 Armando G M Nvs UFMG - Dpto d Matmática anvs@matufmgbr wwwmatufmgbr/ anvs Lia Fital Fusaro Abrants Bolsista d doutorado da UFMG (CNPq) liafital@yahoocombr Jann Carmo Amaral Bolsista d doutorado da UFMG (CAPES - REUNI) janncarmo@yahoocombr [3] FIGUEIREDO, D G; NEVES, A F Equaçõs difrnciais aplicadas 3 d Rio d Janiro: IMPA, 2002 (Colção Matmática Univrsitária, 6) [4] FIGUEIREDO, D G Anális I 2 d Rio d Janiro: LTC, 1996 Matmática Univrsitária nº46 49