A geometria do espaço-tempo

Transcrição

1 A gomtria do spaço-tmpo Uma rvisão da cinmática da dinâmica rlativísticas Uma transformação d Lorntz dixa invariant o intrvalo s 2 AB ntr dois vntos, A B, do spaço-tmpo. Em um rfrncial inrcial S, o intrvalo ntr sss dois vntos é dfinido como s 2 AB c 2 t A t B x A x B y A y B z A z B, ond o vnto A ocorr no instant t A no ponto x A, y A, z A ) o vnto B ocorr no instant t B no ponto x B, y B, z B ). Assim, m um outro rfrncial inrcial S o intrvalo ntr os vntos A B é também s 2 AB, isto é, s 2 AB c 2 t A t B x A x B y A y B z A z B c 2 t A t B x A x B y A y B z A z B, ond, para os obsrvadors m S, o vnto A ocorr no instant t A no ponto x A, y A, z A ), o vnto B ocorr no instant t B no ponto x B, y B, z B ) c > 0 é a magnitud da vlocidad da luz no vácuo. Um xmplo d transformação d Lorntz muito comum é a chamada boost d Lorntz ao longo do ixo x : x γ x βct), y y, z z, t γ t βx ), c ond β v c γ 1 1 β 2. Aqui, v vˆx é a vlocidad rlativa ntr os rfrnciais S S, portanto, v pod sr uma constant positiva ou ngativa. A força d Lorntz sobr uma carga q puntiform é scrita como no sistma CGS, ou no sistma MKS, ond F qe + q c B, F qe + q B, r q r q t) é o vtor posição da carga q no instant t. A Sgunda Li d Nwton continua válida na dinâmica rlativística quando scrvmos ond F dp, p m m, 1

2 com sndo a massa d rpouso da partícula. Portanto, a chamada part spacial da força fica no sistma CGS, ou dp dp qe + q c B, qe + q B, no sistma MKS. Exist uma part tmporal da força, qu sja sua companhira d transformação d Lorntz, assim como o tmpo é o companhiro do spaço no boost d Lorntz acima? Para rspondr a ssa qustão, considrmos o momntum p sua companhira, a nrgia U: U mc 2 c 2 Notmos qu U não é a nrgia cinética. A nrgia cinética é K U c 2. Tmos U 2 c 2 p2 m 2 0c 2 m 2 0c 2 m 2 0c 2. [. m 2 0 Como m 2 0c 2 é um valor fixo m qualqur rfrncial inrcial, concluímos qu U/c p s transformam xatamnt como tmpo posição, rspctivamnt. Assim, vmos qu U/c é a companhira do momntum p m transformaçõs d Lorntz. No ntanto, 1 du c dp não s transformam como U/c p pois não é invariant por transformaçõs d Lorntz. Como o tmpo próprio da partícula, τ, é o msmo m qualqur rfrncial inrcial, podmos dfinir o par 1 du c Essa dupla d quantidads s comporta como tmpo spaço m transformaçõs d Lorntz. O tmpo próprio é o tmpo no rfrncial d rpouso instantâno da partícula, com a origm sobr a partícula. Notmos qu o rfrncial d rpouso instantâno da partícula é aqul qu, no instant t d S, tm vlocidad dx q / m S, supondo qu scolhamos os rfrnciais S S com sus ixos x x ao longo da vlocidad instantâna da partícula. Fixando o rfrncial S com vlocidad constant dx q / calculada m t, rlativamnt a S, podmos utilizar o boost d Lorntz acima scrvr dp. ] 1 dx q c 2 dx q dxq 0 dx q dxq dxq, rsultando m dxq. 2

3 Como smpr podmos scolhr os ixos dos rfrnciais ao longo da vlocidad da partícula, d forma gral, 1 1 c 2. Logo, 1 du c dp du c dp. Para simplificar a notação nss contxto, sjam γ β 1 c β 2. Podmos considrar também a drivada γ. Obviamnt, a companhira dssa quantidad m transformaçõs d Lorntz é Tmos, portanto, as rlaçõs U c c mc cγ. γc d ct) É convnint dfinirmos p m γ. u 0 d ct) u. 3

4 Logo, U c u 0 p u. Com ssas dfiniçõs, podmos scrvr du dp γ dp γ qe + q ) c B q γe + 1 ) c B q c u 0E + u B), no sistma CGS, ou du dp γ dp γ q q qe + q ) B ) γe + B ) E u 0 c + u B, no sistma MKS, ond usamos Também tmos Da quação obtida acima, calculamos qu du 0 γ u 0 c 1 c du. U 2 c 2 p2 m 2 0c 2, ou sja, 1 du 2 c 2 2U du c 2 dp2, 2p dp, 4

5 rsultando m 1 du c cp U dp p mc dp 1 γc u dp 1 c u dp q c u E, tanto no sistma CGS como no sistma MKS. Rsumindo, as quaçõs dinâmicas para a partícula podm sr xprssas por tanto no sistma CGS como no sistma MKS, no sistma CGS, ou no sistma MKS. A gomtria do spaço-tmpo Vamos utilizar a sguint notação: du du du 0 qu E c, q c u 0E + u B), ) E q u 0 c + u B, x 0 ct, x 1 x, x 2 y x 3 z. Com ssa notação, o boost d Lorntz ilustrado acima pod sr scrito como x 0 γ x 0 βx 1), x 1 γ x 1 βx 0), x 2 x 2, x 3 x 3. Em trmos matriciais, tmos x 0 x 1 x 2 x 3 γ γβ 0 0 γβ γ x 0 x 1 x 2 x 3. 5

6 Como, nss caso, a transformação d Lorntz invrsa é obtida pla troca d β por β, obtmos x 0 γ γβ 0 0 x 0 x 1 x 2 γβ γ 0 0 x x 2. x x 3 Com o xmplo acima m mnt, no caso d uma transformação d Lorntz gral, cujos lmntos da matriz d transformação são A α β, para α, β 0, 1, 2, 3, podmos scrvr x α A α βx β, para α 0, 1, 2, 3, ond já stamos utilizando a convnção d Einstin, isto é, subntndmos uma soma sobr o índic β, d 0 a 3, pois β aparc rptido no msmo trmo da xprssão. É important também o fato d β figurar como um subscrito m A α β, nquanto aparc como um sobrscrito m xβ. A razão para sss dois tipos difrnts d índics dcorr do sinal d mnos na dfinição do intrvalo ntr dois vntos, como xplicado acima. Assim, é convnint dfinirmos dois conjuntos d coordnadas spaço-tmporarais: as contravariants, como já vimos, x 0 x 1 x 2 x 3 as covariants, com a mudança d sinal das componnts spaciais contravariants, x 0 ct x 1 x 2 x y. x 3 z Com ssa notação, para dois vntos infinitsimalmnt próximos o intrvalo é dado por ds 2 dx β dx β ct x y z, c 2 dx dy dz. Podmos, também, dfinir uma matriz, com lmntos g αβ, qu abaixa os índics: x α g αβ x β, ond [g αβ ] O intrvalo, portanto, também pod sr scrito como Com ssa notação, podmos scrvr já qu é um invariant. Mas, ds 2 g αβ dx α dx β. dx α dx α dx β dx β, dx α dx α g αβ dx α dx β g αβ A α γ dx γ) A β δ dxδ) ) g αβ A α γa β δ dx γ dx δ. 6

7 Como dx α dx α dx γ dx γ g γδ dx γ dx δ, sgu qu ) g αβ A α γa β δ dx γ dx δ g γδ dx γ dx δ, para qualqur scolha d dx 0, dx 1, dx 2 dx 3. Escolhamos dx 0, dx 1, dx 2, dx 3) 1, 0, 0, 0). Então, ncssariamnt, g αβ A α 0A β 0 g Escolhndo, agora, dx 0, dx 1, dx 2, dx 3) 0, 1, 0, 0), sgu D forma análoga, dduzimos também qu g αβ A α 1A β 1 g g αβ A α 2A β 2 g g αβ A α 3A β 3 g Tommos, ntão, dx 0, dx 1, dx 2, dx 3) 1, 1, 0, 0). Nss caso, tmos g αβ A α 0A β 0 + g αβa α 0A β 1 + g αβa α 1A β 0 + g αβa α 1A β 1 g 00 + g 01 + g 10 + g , dos rsultados acima, concluímos qu Como sgu qu g αβ A α 0A β 1 + g αβa α 1A β 0 0. g αβ g βα, 0 g αβ A α 1A β 0 g βα A α 1A β 0 g βα A β 0 Aα 1 g αβ A α 0A β 1, portanto, d g αβ A α 0A β 1 + g αβa α 1A β 0 0 vm 2g αβ A α 0A β 1 0, 7

8 isto é, g αβ A α 0A β 1 0. Com scolhas análogas d dx 0, dx 1, dx 2, dx 3), dduzimos, finalmnt, qu g αβ A α γa β δ g γδ. Aqui é convnint dfinirmos a matriz com lmntos g µν, dada por [g µν ] É fácil vrmos, agora, qu ond δ µ ν é a dlta d Kronckr. É vidnt qu tmos g µγ g γν δ µ ν, δ µ ν δ µ ν. Portanto, scrvrmos smpr δ µ ν ao invés d δ µ ν ou δ µ ν. Multipliqumos, ntão, ambos os mmbros da quação por g ηζ sommos sobr η. Logo, Dfinamos: g αβ A α γa β η g γη g αβ A α γa β ηg ηζ g γη g ηζ δ ζ γ. A βγ g βα A α γ A βζ g ζη A β η. Assim, A βγ A βζ δ ζ γ, portanto, a invrsa da matriz com lmntos A βγ é a transposta da matriz com lmntos A βζ. Também dnotarmos: α α x α x α. Porqu a li d transformação para as componnts contravariants é, como vimos, x α A α βx β, sgu qu a li d transformação para as componnts covariants fica x α A β α x β. 8

9 Mas, multiplicando por A αµ somando sobr α a primira dssas duas quaçõs, vm ou sja,, portanto, Analogamnt, podmos invrtr também a quação obtndo Então, A αµ x α A αµ A α βx β A αµ A αβ x β δ β µx β x µ, x µ A αµ x α x µ A µ α x α. x α A β α x β, x β A α βx α. α x α x β x α x β A α β x β A α β β, mostrando qu β são componnts contravariants, o qu justifica o uso do sobrscrito. Analogamnt, α x α xβ x α A β α β, x β justificando o subscrito, já qu as componnts β covariants. Além disso, podmos obsrvar qu s transformam d acordo com a li para componnts dx α dx α A µ αdx µa α ν dx ν dx µdx µ, analogamnt ao raciocínio usado antriormnt, concluímos qu A µα A να δ µ ν. Agora podmos dfinir o qu é um quadrivtor no spaço-tmpo. Toda quantidad d quatro componnts, w α α 0, 1, 2, 3), é um quadrivtor s, somnt s, transforma-s como x β β 0, 1, 2, 3). Assim, s x α A α βx β, para α 0, 1, 2, 3, ntão w α α 0, 1, 2, 3) é um quadrivtor s, somnt s, w α A α βw β, para α 0, 1, 2, 3. 9

10 Com ssa dfinição, fica claro qu U/c, p) é um quadrivtor, assim como também o são du/c, dp/) u 0, u). Uma outra obsrvação important é qu dois quadrivtors, a b, multiplicados componnt a componnt, também formam um invariant: pois a α b α A α µa µ Aα ν b ν δµa ν µ b ν a µ b µ, A α µa ν α g µλ A αλ g νκ A ακ g µλ g νκ δ λ κ δ ν µ. Agora, suponhamos tr uma quação para as componnts d um quadrivtor como sgu: a α M α βb β, ond a α b β, para α, β 0, 1, 2, 3, são as componnts d dois quadrivtors. Mundando d rfrncial inrcial através d uma matriz d transformação d commponnts A α κ, tmos Tomando as rlaçõs invrsas, scrvmos A quação pod sr, ntão, rscrita como Logo, Como concluímos qu ond a α A α βa β b α A α βb β. a α A α β a β b β A β γ b γ. a α M α βb β A α β a β M α βa β γ b γ. A κ αa α β a β A κ αm α βa β γ b γ. A κ αaβ α A κα A βα δβ, κ a κ A κ αm α βaγ β b γ M κ γ b γ, M κ γ A κ αa β γ M α β, 10

11 ou ainda, M κγ A κ αa γ β M αβ. Mas ssa é a rlação qu dfin M αβ como as componnts d um quadritnsor d sgunda ordm. Por xmplo, quadritnsors d sgunda ordm podm sr construídos com uma dupla d quadrivtors assim: N µν f µ g ν, ond f µ g ν, para µ, ν 0, 1, 2, 3, são as componnts d dois quadrivtors. A transformação d N µν é, obviamnt, dada por N µν f µ g ν A µ αf α A ν βg β A µ αa ν βn αβ. É por isso qu é natural dfinirmos a transformação d um quadritnsor d sgunda ordm gral como acima. 11