Funções trigonométricas definidas sobre corpos reais fechados. Contents. 2 Corpos Reais Fechados 100

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1 Bol. Soc. Paran. Mat. Essays 3s. v : c SPM ISNN Funçõs trigonométricas dfinidas sobr corpos rais fchados Luciano Pank Osvaldo Grmano do Rocio abstract: Nstas notas abordarmos qustõs rlacionadas a funçõs trigonométricas dfinidas sobr corpos rais fchados K. As noçõs introduzidas contas ftuadas no corpo algbricamnt fchado K[ 1] prmitm a gnralização d idntidads trigonométricas clássicas. Contnts 1 Introdução 99 Corpos Rais Fchados Funçõs Trigonométricas sobr corpos rais fchados Rstrição ao Caso Ral Introdução No studo lmntar d funçõs trigonométricas, sobr o corpo dos númros rais, tradicionalmnt s dfin ângulo como sndo a união d duas smi-rtas com msma origm a todo ângulo s associa um númro ral, dnominado d mdida do ângulo, o qual pod sr positivo ou ngativo, dpndndo da orintação do ângulo. Establcido o concito d mdida d ângulos, as funçõs trigonométricas sno cossno são ntão formalizadas como sndo funçõs cujos domínios contradomínios são o corpo dos númros rais, para númros rais θ, θ 1, θ, são bm conhcidas as sguints idntidads: sin θ + cos θ 1, 1 sin θ 1 ± θ sin θ 1 cos θ ± sin θ cos θ 1, cos θ 1 ± θ cos θ 1 cos θ sin θ 1 sin θ, 3 cos θ 1 + θ cos θ 1 θ, 4 cos θ 1 + cos θ cos θ 1 cos θ sin θ 1 + θ sin θ 1 + sin θ sin θ 1 + θ 000 Mathmatics Subjct Classification: 1J17, 1J5 Dat submission 0-Nov-005. sin θ 1 θ cos θ 1 θ, 5, 6 99 Typst by B S P M styl. c Soc. Paran. Mat.

2 100 Luciano Pank Osvaldo Grmano do Rocio sin θ 1 sin θ sin θ 1 θ cos θ 1 + θ, 7 sin π θ sin θ, cos π θ cos θ, 8 sin π + θ sin θ, cos π + θ cos θ, 9 sin π θ sin θ, cos π θ cos θ, 10 π π sin θ cos θ, cos θ sin θ. 11 Ao s tntar gnralizar os concitos d funçõs trigonométrica para outros corpos surg uma primira dificuldad na dfinição d mdida d ângulos outra na manutnção do msmo corpo como contradomínio. O objtivo dst artigo d divulgação é o d considrar a class dos corpos rais fchados, class para a qual é possívl gnralizar as funçõs trigonométricas tradicionais. As idntidads trigonométricas acima mncionadas srão dmonstradas no contxto gral, no caso ral, stas srão um caso particular do caso gral.. Corpos Rais Fchados Para o conjunto R dos númros rais val a sguint propridad algébrica: s x 1,..., x n R x x n 0 ntão x 1... x n 0. Basado nsta obsrvação Artin Schrir introduziram o concito d corpos formalmnt rais: um corpo K é dito formalmnt ral s a idntidad n i1 x i 0 for vrdadira para lmntos x i K s, somnt s, x 1... x n 0. Equivalntmnt, um corpo K é formalmnt ral s, somnt s, xist um subconjunto P K, com 0 / P, tal qu P + P P, P P P K\{0} P P. Um subconjunto P d um corpo K possuindo stas propridads é dnomindado d con positivo d K. Um con positivo P d um corpo K dfin uma rlação d ordm m K: s x, y K ntão x < y s, somnt s, y x P. Não é difícil vrificar qu sta rlação d ordm satisfaz as sguint propridads: a S x < y y < z ntão x < z; b S x, y K ntão ou x y, ou x < y, ou x > y; c S x < y ntão x + z < y + z para todo z K; d S x < y z > 0 ntão xz < yz. S z < 0 ntão xz > yz. Na litratura um corpo munido d uma rlação d ordm satisfazndo as propridads a a d é dnominado d corpo ordnado. Cab obsrvar qu s < é uma rlação d ordm, compatívl com as opraçõs do corpo K, ntão o conjunto P {x K : x > 0} é um con positivo para K. Um corpo ordnado K é chamado d corpo ral fchado s l for maximal algébrico com sta propridad. Isto significa qu K é ral fchado s K for ordnado s L K for uma xtnsão algébrica com L ordnado a ordm d K for a

3 Funçõs trigonométricas dfinidas sobr corpos rais fchados 101 rstrição da ordm d L ntão L K. Todo corpo ordnado admit uma xtnsão algébrica ordnada maximal, a qual é dnominada d fcho ral. Para maiors dtalhs sobr a toria d corpos ordnados nos rportamos tanto a [RI] como a [JA]. Conform s ncontram nstas rfrências são válidas as sguints propridads, qu utilizarmos na próxima sção: a S K é um corpo ral fchado ntão K admit uma única ordm o subconjunto K \{0} {x : x K x 0} d K é um con positivo para a única ordm d K; b Todo corpo ordnado possui um fcho ral; c Um corpo ordnado K é ral fchado s, somnt s, K for um corpo ordnado o corpo K[i] {a+bi : a, b K}, com i 1, é algébricamnt fchado. Por xmplo: o corpo Q dos númros racionais é um corpo ordndado, Q {x R : x é algébrico sobr Q} é o fcho ral d Q Q[i] é algébricamnt fchado. O corpo R dos númros rais é o mais conhcido corpo ral fchado. Um xmplo mnos conhcido é considrar a ordm lxicográfica ou anti-lxicográfica no anl d polinômios R[X], ond X é uma indtrminada sobr R, xtndr sta ordm para o corpo d fraçõs racionais RX d R[X] ntão considrar o fcho ral d RX. 3. Funçõs Trigonométricas sobr corpos rais fchados Embora o concito d ângulos, visto como a união d duas smi-rtas d msma origm, possa sr stndido do corpo R dos númros rais a qualqur corpo isto não ocorr com o concito d mdida d ângulos. Esta dificuldad surg dvido a inxistência do concito d comprimnto d arcos para corpos m gral msmo para corpos rais fchados. No ntanto é prfitamnt possívl dfinir funçõs trigonométricas sobr corpos rais fchados dixando d s considrar a noção d mdida d ângulos. Est é o objtivo dsta sção. Sja K, < um corpo ral fchado. S α é um lmnto não nulo do produto K K dfinimos a smi-rta passando plo ponto α como sndo o conjunto [α] {kα : k > 0}. Dnotmos por F K o conjunto d todas stas smi-rtas. Dfinition 3.1 Os lmntos d F K são dnominados d ângulos sobr o corpo K. Como K é um corpo ral fchado, todo lmnto positivo d K é um quadrado, como a soma d lmntos positivos é positivo, faz sntido falar m x + y para todos x, y K. Notmos ainda qu s α x, y é um lmnto não nulo d K K s k K, k > 0, ntão x x + y kx kx + ky y x + y ky kx + ky.

4 10 Luciano Pank Osvaldo Grmano do Rocio Dfinition 3. S [α] F K é um ângulo sobr o corpo K x, y é um rprsntant d [α], o cossno d [α] o sno d [α], dnotados rspctivamnt por cos[α] sin[α], são dfinidos rspctivamnt por: cos[α] x y sin[α] x + y x + y. Not qu stas dfiniçõs indpndm d rprsntants do ângulo [α], qu o domínio d ambas é o conjunto d ângulos qu a imagm é o intrvalo [ 1, 1] {k K : 1 k 1}. Ants d analisarmos as idntidads trigonométrica prcisamos dfinir soma d ângulos. Para motivar sta dfinição rlmbrmos o sguint fato lmntar da anális complxa vr [CO]: s z, w C R[ 1], ntão z z cos θ + i sin θ, w w cos θ + i sin θ z w z w cos θ + θ + i sin θ + θ, sndo z z z θ, θ as mdidas dos ângulos qu z, w fazm rspctivamnt com o ixo das abscissas. Nada mais natural dfinir ntão a soma [α] + [β] da sguint manira: dados dois ângulos [α] [β] scolhidos rspctivos rprsntants α u, v β x, y dfinimos [α] + [β] [u, v] + [x, y] [ux vy, vx + uy] Notmos qu sta dfinição indpnd dos rprsntants dos ângulos qu, sta opração nada mais é do qu a multiplicação complxa. Passamos agora a invstigar como ficam as rlaçõs 1 11 no caso das funçõs sno cossno introduzidas sgundo a dfinição 3.. Proposition 3.1 Sjam [α], [β] F K. Então: i cos [α] + [β] cos [α] cos [β] sin [α] sin [β] ; ii sin [α] + [β] sin [α] cos [β] + cos [α] sin [β]. Proof: Sjam u, v x, y rprsntants d [α] [β] rspctivamnt. Então cos [α] cos [β] sin [α] sin [β] ux u + v x + y vy u + v x + y ux vy ux vy + vx + uy cos [α] + [β]

5 Funçõs trigonométricas dfinidas sobr corpos rais fchados 103 sin [α] cos [β] + cos [α] sin [β] vx u + v x + y + uy u + v x + y vx + uy ux vy + vx + uy sin [α] + [β], como quríamos. Vjamos agora como dvmos intrprtar a difrnça d mdidas d ângulos das idntidads 1 11 no caso d um corpo ral fchado. S [α] é um ângulo sobr um corpo ral fchado K, dfinimos a smi-rta simétrica à [α] como sndo o conjunto [α] {x, y : x, y [α]}. Not agora qu [α] é um ângulo sobr K, ou sja, [α] F K. Também not qu [α] [α] [α] + [α] [1, 0]. O ângulo [α] srá chamado d ângulo simétrico à [α]. Intrprtamos ntão a difrnça d mdidas d ângulos do caso ral m um corpo ral fchado arbitrário como sndo a soma d um ângulo por um ângulo simétrico. Proposition 3. Sjam [α], [β] F K. Então: i cos [α] [β] cos [α] cos [β] + sin [α] sin [β] ; ii sin [α] [β] sin [α] cos [β] cos [α] sin [β]. Proof: Sjam u, v x, y rspctivamnt rprsntants dos ângulos [α] [β]. Da dfinição 3. sgu qu cos [α] cos [β] + sin [α] sin [β] ux u + v x + y + vy u + v x + y ux v y ux v y + vx + u y cos [α] [β] sin [α] cos [β] cos [α] sin [β] vx u + v x + y uy u + v x + y vx + u y ux v y + vx + u y sin [α] [β]. Como consquência das proposiçõs tmos as sguints idntidads, qu rstritas ao corpo dos númros rais coincidm com as idntidads d 8 a 11:

6 104 Luciano Pank Osvaldo Grmano do Rocio Corollary 3.0A Sjam [α], [β] F K. Então: i sin [ 1, 0] [α] sin [α] cos [ 1, 0] [α] cos [α] ; ii sin [ 1, 0] + [α] sin[α] cos [ 1, 0] + [α] cos [α] ; iii sin [1, 0] [α] sin [α] cos [1, 0] [α] cos [α] ; iv sin [0, 1] [α] cos [α] cos [0, 1] [α] sin [α]. Podríamos, nst momnto qustionar s as funçõs da dfinição 3. são priódicas m algum sntido, além da situação trivial sin [α] + [1, 0] sin [α] cos [α] + [1, 0] cos [α], qu corrspondria no caso clássico as idntidads sin θ + 0 sin θ, cos θ + 0 cos θ. Para comprndrmos as idntidad 4, 5, 6 7 no contxto d corpos rais fchados dvmos comprndr o qu é um ângulo d mdida θ do caso ral m F K. Sabmos qu no caso ral valm as rlaçõs cos θ 1 sin θ 1 sin θ sin θ cos θ cos θ D 1 tmos qu sin θ, daí Intrcalando 13 com 14 tm-s sin θ 1 cos θ. 14 cos θ sin θ 1 cos θ Motivado agora plas igualdads tmos qu:. 15 Proposition 3.3 Sjam [α], [β] F K. Então: sin[α]+[β] sin[α] [β] i cos [α] + cos [β] ; 1 cos[α]+[β] 1 cos[α] [β] 1 1 ii cos [α] cos [β] cos [α] + [β] cos [α] [β] ; iii sin [α] + sin [β] 1 cos [α] + [β] sin[α] [β] ; 1 cos[α] [β]

7 Funçõs trigonométricas dfinidas sobr corpos rais fchados 105 iv sin [α] sin [β] 1 cos [α] [β] sin[α]+[β]. 1 cos[α]+[β] Proof: A prova sgu usando as proposiçõs antriors a idntidad d Pitágoras sin [α] + cos [α] 1. Vrifiqumos i iv rspctivamnt: sin [α] + [β] sin [α] [β] 1 cos [α] + [β] 1 cos [α] [β] sin [α] cos [β] cos [α] sin [β] cos [α] cos [β] cos [β] cos [α] cos [α] cos [β] sndo a última igualdad consquência da idntidad sin [α] 1 cos [α] ; sin [α] + [β] 1 cos [α] [β] 1 cos [α] + [β] 1 cos [α] [β] sin [α] + [β] 1 cos [α] + [β] 1 cos [α] + [β] 1 cos [α] + [β] cos [α] cos [β] sin [α] + [β] cos [α] + [β] 1 Usando o fato d qu cos [α] 1 sin [α] na última igualdad concluírmos o rsultado. 4. Rstrição ao Caso Ral Obsrvamos qu o conjunto d ângulos F R sobr o corpo dos númros rais R pod sr idntificado com o intrvalo [0, π R. Para tanto idntificamos cada smi-rta [α] F R do plano cartsiano com a mdida [x], [α] do ângulo formado plas smi-rtas [x] {k 1, 0 : k R k > 0} [α]. Em outras palavras, a aplicação i : F R [0, π tal qu i [α] [x], [α] é uma bijção. A importância dsta aplicação s dv aos sguints fatos:i [α] + [β] i [α] + i [β] i [α] [β] i [α] i [β]. A primira igualdad é consquência imdiata da idntidad α β α β cos [x], [α] + [x], [β] + i sin [x], [α] + [x], [β], sndo α β rprsntants d [α] [β]. Para a sgunda igualdad obsrv inicialmnt qu s θ [x], [β] ntão π θ [x], [β]. Daí, pondo θ [x], [α], sgu qu α β s α β s cos θ + π θ + i sin θ + π θ,

8 106 Luciano Pank Osvaldo Grmano do Rocio sndo α β s rprsntants d [α] [β]. Usando os fatos d qu cos θ + π θ cos θ θ, sin θ + π θ sin θ θ, cossno é uma função par sno é uma função ímpar, concluímos qu α β s α β s cos θ θ + i sin θ θ. Portanto [x], [α] [β] θ θ [x], [α] [x], [β], dond sgu qu i [α] [β] i [α] i [β]. Como sin [α] sin i [α] cos [α] cos i [α], sgu das propridads da aplicação i : F R [0, π qu sin [α] + [β] sin [x], [α] + [x], [β], sin [α] [β] sin [x], [α] [x], [β], cos [α] + [β] cos [x], [α] + [x], [β], cos [α] [β] cos [x], [α] + [x], [β]. Fica claro agora qu as funçõs da dfinição 3. rstritas ao caso ral coincidm com as clássicas funçõs trigonométricas sno cossno. Para finalizar stas notas propomos o sguint problma para o qual ainda não conhcmos rsposta. É bm conhcido qu para todo x R sin x n0 1 n n + 1! xn+1 cos x n0 1 n n! xn. Dst dsnvolvimnto m séris das funçõs trigonométricas clássicas surg naturalmnt o problma da r-intrprtação das funçõs trigonométricas agora dfinidas sobr um corpo ral fchado K no nosso caso sno cossno foram dfinidas sobr F K d manira a obtr uma xpansão m séris d potências para as msmas. Para analisar a convrgência d séris sobr corpos rais fchados uma idéia é considrar ao invés da ordm a valorização ral compatívl com a ordm vr [NA]. Agradcimntos Os autors agradcm o rfr plos comntários sugstõs. Rfrncs [CO] Conway, J. B. - Functions of On Complx Variabl - Springr - Vrlag 1978 [JA] Jacobson, N. - Lcturs in Abstract Algbra - III Thory of Filds and Galois Thory - Springr-Vrlag [NA] Narici, L. - Functional Analysis and Valuation Thory - Pur and Applid Mathmatics [RI] Ribnboim, P. - L arithmétiqu ds corps - Hrmann, Paris, 197. Luciano Pank Osvaldo Grmano do Rocio Cntro d Engnharias Ciências Exatas Dpartamnto d Matmática Univrsidad Estadual do Ost do Paraná Univrsidad Estadual d Maringá Av. Tarquínio dos Santos 1300 Campus Univrsitário - Av. Colombo 5790 CEP , Foz do Iguaçú - PR, Brasil CEP , Maringá-PR, Brasil addrss: ucpank@gmail.com addrss: rocio@um.br