Função Exponencial: Conforme já vimos, o candidato natural à função exponencial complexa é dado pela função. f z x iy f z e cos y ie sen y.

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1 Funçõs Elmntars Função Exponncial: Conform já vimos, o candidato natural à função xponncial complxa é dado pla função Uma v qu : : ( ) x x f x i f cos i sn x f, x. E uma gnraliação para sr útil dv prsrvar as propridads do qu stá sndo gnraliado. Além disso, as duas propridads qu caractriam a xponncial ral são dadas por: f ( x) f ( x), x, f ( x x ) f ( x ). f ( x ), x, x A primira propridad já foi vrificada. Quanto a sgunda, s assumirmos qu Então, pla fórmula d Eulr, trmos qu xi x i :,. x (cos isn ),. Dfinição: A função xponncial complxa é dada por xp: : xp( ) x (cos isn ) Com sta dfinição obtmos qu xp() é analítica m todo satisfa: xp( ) [cos( ) i sn( )] x1 x cos cos sn sn [sn cos sn cos ] x1 x 1 1 i 1 1 [(cos sn )(cos sn )] x1 x 1 i 1 i x sn ). (cos i sn ) x1 (cos 1 i xp( )xp( ),,. Funçõs Trigonométricas: Pla fórmula d Eulr, tm-s qu i cos isn i cos isn,. D modo qu, cos sn i i i i i,. Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página 19

2 Propridads: Dnotando xp() por x (P1), x i. tm-s (P),. (P3) 1,. (P4) (P) xp( ) xp( ),,. xp( ) xp( ),. Dfinição: As funçõs complxas cossno sno são dfinidas i i cos sn i como sndo i i Além disso, quando os dnominadors form difrnts d ro, dfinm-s as sguints funçõs trigonométricas complxas: sn tg cos cos cotg sn 1 cos sc sn 1 sc cos Gráficos: R (sn) Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página

3 - - - Prgunta: Aond s tm sn cos? Da trigonomtria ral, sabmos qu sn x, x,cos x, x ( 1),. Srá qu xistm outros númros complxos tal qu sn cos? Vjamos, tm-s qu i( xi) i( xi) ix ix (cos x i sn x) (cos x i sn x) sn sn( x i) i i i ( ) ( ) ( ) ( ) cos x i sn x i cos x sn x i i ou sja, Analogamnt, obtmos qu D modo qu, Analogamnt, sn cosh sn x isnh cos x, cos cosh cos x isnh sn x,. cosh sn x sn x x sn snh cos x cos x cosh cos x cos x x ( 1) cos snh sn x sn x Propridads: Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página 1

4 (P1) (P) sn cos 1 sn( ) sn, cos( ) cos sn( ) sn cos sn cos (P3) cos( ) cos cos sn sn (P4) OBS: Entrtanto, uma propridad srá sacrificada D fato, tm-s qu sn x 1, cos x 1, x. sn sn xcosh cos snh sn x snh, cos cos x snh,. Exrcício: Vrifiqu s (i) sn,cos : (ii) tg,sc: {(1) / : } (iii) cotg,cossc: { : } São analíticas calcul suas drivadas. Gráficos: tg Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página

5 A partir da xponncial complxa somos lvados as sguints gnraliaçõs da trigonomtria hiprbólica Dfinição:, snh cosh Além disso, aond os dnominadors não s anulam stão dfinidas as sguints funçõs hiprbólicas complxas snh tgh cosh cosh coth snh 1 sch cosh 1 cos sch snh Prgunta: Aond s tm snh cosh? Da trigonomtria hiprbólica ral sabmos qu snh x x cosh x, x. ( xi) ( xi) x x (cos i sn ) (cos isn ) snh snh( x i) x x x x ( ) ( ) cos i sn snh xcos i cosh xsn D modo qu, x snh xcos x snh (1) cosh xsn Analogamnt, obtém-s qu cosh cosh xcos isnh xsn. D modo qu, cosh x cos ( 1) x cosh x (1) snh xsn Propridads: (P1) (P) snh( i) isn, cosh( i) cos snh snh x sn Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página 3

6 (P3) cosh snh x cos snh( ) snh cosh cosh snh (P4) Exrcício: Vrifiqu s (i) snh,cosh : (ii) tgh,sch : { i( 1) / : } (iii) cotgh,cossch : { i : } São analíticas calcul suas drivadas. Gráficos: Snh cossch Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página 4

7 Função Logarítmica: Dado w gostaríamos d rsolvr a quação w (1) Ou sja, gostaríamos d ncontrar os possívis valors d Lmbrando qu w, tmos qu f 1 ( w) ond f ().,, ntão a quação (1) não possuirá solução para w. Já para w w iarg w ond arg w, ond =Arg. Sja tomarmos Trmos qu ln w i (ln w i ) ln w i w i w. um valor particular d arg w, s Então ss valor d é uma solução da quação (1). Para qualqur outro valor d arg w também obtrmos uma solução. Dfinição: Dado, um logaritmo d é qualqur númro complxo log ln i arg ond arg é qualqur argumnto d, ou sja arg Arg,. OBS: D modo qu, xist uma infinidad (numrávl) d valors para o logaritmo d um númro complxo. Isso vidntmnt não é uma função unívoca ou univalnt. Entrtanto, s é um númro ral positivo, dntr todos os possívis valors para o logaritmo d, xist apnas um qu coincid com o logaritmo ral d : o logaritmo d corrspondnt a scolha arg =. Dfinição: Dado, o valor principal do logaritmo d é dado por Log ln i Arg A função Log : {} : Log é dnominada Função Logaritmo Principal. Dfinição: A função multivalnt função logaritmo complxo é dada pla família d os logaritmos d log {log : {} : log ln i ( 1), } Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página

8 Cada função dssa família é dita sr um ramo da função logarítmica complxa, o -ésimo ramo. A função logaritmo principal, o ro-ésimo ramo, é dnominado ramo principal. Torma: Para cada ramo da função logaritmo complxo tm-s qu: (i) log é dscontínua ao longo do ixo ral positivo. (ii) log é analítica m d 1 log. d (iii) Qualqur ramo difr d outro ramo por um múltiplo intiro d i. Prova: (i) Fixo, sja o -ésimo ramo log. Para todo, conform s aproxima d plo smi-plano suprior arg s aproxima d arg conform s aproxima d plo smi-plano infrior arg s aproxima d arg ( 1).Portanto, para no smiplano suprior lim log lim ln i lim arg ln i Por outro lado, para no smi-plano infrior lim log lim ln i lim arg ln i( 1) D modo qu, os limits difrm por i. (ii) Sja,, sja,ntão i r r cos isn, ( 1) Então Por outro lado, log ln r i u( r, ) iv( r, ) u u r u u u r u x r x x r v v r v v v r v x r x x r Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página 6

9 x r cos r cos x x r r sn r r x sn x r r sn sn sc ( ) x ( ) ( ) ( )cos.cos x x x r cos r tg x cos sc ( ) ( ) ( ) ( )cos ( )cos x x r cos r D modo qu, Logo, sn cos ( x / r) x ux ur cos u ( ) r r r x cos sn ( / r) u ur sn u ( ) r r r x sn sn vx vr cos v ( ) r r x cos cos x v vr sn v ( ) r r x u v u v x x Portanto, u v possum drivadas parciais d 1ª ordm contínuas m cada smi-faixa: r ; ( 1) Ond satisfam as quaçõs d Cauch-Rimann, o qu implica na analiticidad d cada ramo log. Além disso, tm-s qu d cos sn 1 1 i 1 1 log ux ivx i (cos isn ) i d r r r r r A smi-rta { } ond todos os ramos da função logarítmica multivalnt dixam d sr funçõs analíticas (não são squr contínuas) é dita sr um cort para os ramos. (iii) Sjam o m-ésimo ramo log ln i, m ( m 1) m m m Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página 7

10 E o n-ésimo ramo Supondo m < n,ntão log ln i, n ( n 1) n n n n m, 1. Logo, log ln i ln i( ) log i. n n m m Paulo Marclo Dias d Magalhãs - UFOP Página 8