a) (0.2 v) Justifique que a sucessão é uma progressão aritmética e indique o valor da razão.

Transcrição

1 MatPrp / Matmática Prparatória () unidad tra curricular / E-Fólio B 8 dzmbro a janiro Critérios d corrção orintaçõs d rsposta Qustão ( val) Considr a sucssão d númros rais dfinida por a) ( v) Justifiqu qu a sucssão é uma progrssão aritmética indiqu o valor da razão Para justificar qu uma sucssão é uma progrssão aritmética basta provar qu a difrnça ntr dois quaisqur trmos conscutivos da sucssão é constant Assim, considrando a difrnça ntr trmos conscutivos m gral ( não para casos concrtos, como sja u4 u, por mplo), dduzimos o sguint un un ( n ) (n ) n n, n N A difrnça ntr dois quaisqur trmos conscutivos da progrssão é um valor constant, qu é, logo a sucssão é uma progrssão aritmética A razão da progrssão é b) ( v) Para qu valors d s tm Prtnd-s dtrminar a ordm, a partir da qual a soma dos primiros trmos da sucssão é suprior a 9 Sabmos qu a soma dos n primiros trmos d uma progrssão aritmética é dada por u un Sn n Assim, basta dtrminar n qu satisfaça a dsigualdad: S 9 Ora, u n S n 9 n 9 n Cálculo auiliar Zros: n 9 ( ) 4 ( 9) n n 9 n n n Dado qu n, n n 9 n Logo, a ordm a partir da qual a soma dos primiros trmos da sucssão é suprior a 9 é n Qustão ( val) Considr a função ral d variávl ral dfinida por M Rosário Ramos Ana Rodrigus

2 -Matmática Prparatória -Fólio B-rsolução 8/ a / a) ( v) Rcorrndo à dfinição d drivada d uma função num ponto do su domínio, calcul A dfinição d drivada d uma função num ponto do su domínio é dada por um it, qu é: f ( ) f ( a) a) a a Nota: s a função tivr duas prssõs difrnts (dois ramos) à dirita à squrda do ponto a do domínio, ntão tmos d calcular as drivadas latrais, só ist drivada s as drivadas latrais form iguais!! Pla dfinição d drivada d uma função num ponto podmos scrvr: ) f ( ) f () 4 4 ( )( ) ( ) 8 8 (rsolvndo a indtrminação) b) ( v) Na squência da alína antrior, dtrmin o valor d, sndo um ponto qualqur do domínio d Pla dfinição d drivada d uma função num ponto do su domínio, vm: a) a a f ( ) f ( a) a ( a)( a) a a a 4 (a a ( a) 4a 4) a a a Qustão ( val) Considr a função ral d variávl ral dfinida por a) (4 v) Prov, rcorrndo à dfinição, qu é uma função crscnt no intrvalo ], + [ Prtndia-s qu os studants aprsntassm a prova, usando a dfinição d função crscnt Muitos studants utilizaram outros métodos altrnativos (drivada, gráfico), mas qu não ra o qu s pdia nsta alína Prtndmos provar, rcorrndo à dfinição, qu f ( ) é uma função crscnt m ] ; [, ou sja qu: Para quaisqur pontos, ]; [ tmos d vrificar qu, s ntão f ( ) f ( ) (s o objto é maior qu o objto, ntão isto rflt-s da msma forma nas imagns, sndo qu a imagm d é suprior à imagm d, isto é, f ( ) f ( ), quaisqur qu sjam os pontos) M Rosário Ramos Ana Rodrigus Ano ltivo /

3 -Matmática Prparatória -Fólio B-rsolução 8/ a / ) f ( ) Ora f ( ) f ( ) assim podmos scrvr f ( Como (por hipóts) são positivos, pla monotonia da potnciação podmos scrvr Por hipóts, sabmos qu é uma dsigualdad vrdadira Fica assim provado o prtndido b) (4 v) Indiqu os intrvalos d monotonia da função justifiqu qu é um trmo (máimo ou mínimo) da função (Esta alína prssupõ psquisa sobr o studo dos trmos d funçõs su cálculo) Para studar a monotonia os trmos da função f ( ) vamos studar o sinal os zros da primira drivada da função ) ) ) Sinttizando sta informação numa tabla podmos concluir sobr a monotonia da função m studo - + f () - + f() m Conclusão: f é stritamnt dcrscnt d ] ; [ ; f é stritamnt crscnt d ] ; [ ; zro é a abcissa do ponto ond a primira drivada da função s anula, além disso, muda d sinal à dirita à squrda do rfrido zro, passando d ngativa para positiva, logo f ating o su valor mínimo m - (pois f ( ) ) Nota: alguns studants fizram alguma confusão ntr abcissas houv alguma confusão ntr lmntos do domínio com as rsptivas imagns (io horizontal=abcissas, objtos) ordnadas (io vrtical=ordnadas, as imagns)!ora, a monotonia da função é dscrita para valors do su domínio! c) ( v) Indiqu qu figura gométrica é rprsntada por labor o su gráfico no intrvalo ]-, [ M Rosário Ramos Ana Rodrigus Ano ltivo /

4 -Matmática Prparatória -Fólio B-rsolução 8/ a / O gráfico da função f() é uma parábola com a concavidad voltada para cima (pois o coficint do trmo d maior grau é positivo) cujo vértic tm coordnadas (; -) O gráfico intrsta o io das abcissas nos pontos d coordnadas (-;) (;) No intrvalo abrto ] ; [ vm: f() d) ( v) Estud a paridad da função (vr s é par ou ímpar) Prtndmos studar a paridad da função rsultant do produto d por f(), ou sja, g( ) ( ) Ora, g( ) ( ) ( ) g( ) ( ) Como g( ) g( ), para qualqur prtncnt ao domínio da função, concluímos qu g é uma função ímpar ) ( v) Utiliz os conhcimntos aplicados antriormnt na rsolução do sguint problma: a função Rcita total d uma mprsa é o montant, m dinhiro, qu a mprsa rcb pla vnda d sus produtos /ou srviços (não confundir com a função Lucro) Gnricamnt, a rcita pod sr dcomposta m, ond é o prço qu dpnd do númro d unidads vndidas, Um fabricant d automóvis tm uma função d rcita qu tm a prssão matmática, dada m unidads montárias, m qu é o númro d unidads vndidas Rscrva a Rcita na prssão Calcul a drivada da Rcita intrprt o su significado no contto conómico Indiqu o montant máimo d Rcita qu pod sr atingido plo fabricant d automóvis (not qu não é possívl tr rcita infinita positiva, pois há outros fators conómicos, qu aftam st valor) A rcita: R( ) ( ) R' ( ) [ ( )]' '( ) ( )' R '( ) R '( ) R '( ) M Rosário Ramos Ana Rodrigus Ano ltivo / 4

5 -Matmática Prparatória -Fólio B-rsolução 8/ a / / + R () + - R() M No contto do problma conómico não faz sntido assumir valors infriors a zro nm cssivamnt lvados, pois rprsnta o númro d unidads vndidas A rcita aumnta para ] ; [ ; como R ( ) ( ), podmos dizr qu a rcita é zro quando o númro d unidads produzidas é zro ou cinco trços Assim, m vz da rcita diminuir para valors d a tndr para +, podmos dizr qu a rcita diminui para ] ; [ Ating o valor máimo para, pois a drivada anula-s passa d positiva para ngativa Dado qu R 8, o montant máimo da rcita é,8 unidads montárias Qustão 4 ( val) Considr a função ral d variávl ral dfinida por calcul, rcorrndo à ª ª drivada d uma função indicando o domínio m qu é válida Nota: só é possívl calcular drivada m pontos qu prtncm ao domínio da função! Vja-s qu é prciso sabr a imagm no ponto, f (a) s usarmos a dfinição, para calcular a drivada É important tr isto m atnção smpr qu rcorrr ao cálculo d drivadas através das rgras d drivação a) ( v) f ( ) log( ) : Df, dado qu a função ponncial ( y ) assum valors supriors à função linar ( y ) para qualqur valor ral ' ( ) ) O domínio da função drivada é: D : f ' A drivada no ponto d abcissa zro é: ) Notas: foram poucos os studants qu indicaram os domínios das funçõs Alguns studants incluíram log na drivada, mas rcord-s qu log (o logaritmo d nssa msma bas é, pois - ntão é o pont=logaritmo M Rosário Ramos Ana Rodrigus Ano ltivo /

6 -Matmática Prparatória -Fólio B-rsolução 8/ a / b) ( v) Nota: (considr aqui, isto é, logaritmo na bas ) Da alína antrior sabmos qu ) Assim, ' ( ) ( f ''( ) D :( ) f ' ' ' ) ( ) ( )' ( ) ( ) Logo, f ''() ( ) Qustão ( val) Indiqu a quação da rta qu incid no ponto A(, -) tm dcliv Elabor um gráfico dsta rta (part do gráfico, já qu não pod rprsntar para todo o domínio ) (nota: vr módulos d Gomtria,, ) Prtndmos uma quação da rta qu passa plo ponto A (; -) tm dcliv Sabmos qu uma quação rduzida d uma rta é do tipo f ( ) m b Ond m rprsnta o dcliv b a ordnada na origm Assim vm f ( ) b Substituindo as coordnadas do ponto A na quação obtmos o valor da ordnada na origm: b b 7 A quação prtndida é f ( ) 7 Uma part da rprsntação gráfica da rta é: f() -7 - M Rosário Ramos Ana Rodrigus Ano ltivo /