Desse modo, podemos dizer que as forças que atuam sobre a partícula que forma o pêndulo simples são P 1, P 2 e T.

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1 Pêndulo Simpls Um corpo suspnso por um fio, afastado da posição d quilíbrio sobr a linha vrtical qu passa plo ponto d suspnsão, abandonado, oscila. O corpo o fio formam o objto qu chamamos d pêndulo. Vamos discutir um modlo chamado d pêndulo simpls, construído para dscrvr um pêndulo. Ess modlo é apropriado para dscrvr um pêndulo qu oscila com amplitud pquna, isto é, com amplitud muito mnor do qu o comprimnto do fio. O pêndulo simpls consist d uma partícula d massa m suspnsa por um fio sm massa intnsívl d comprimnto (Fi.14). Afastada da posição d quilíbrio, sobr a linha vrtical qu passa plo ponto d suspnsão Q, abandonada, a partícula oscila com amplitud A. S a amplitud é pquna (A << ), a partícula dscrv um MHS num rfrncial fio no ponto d suspnsão. As forças importants qu atuam sobr a partícula são: a força pso, P, rcida pla Trra, a tnsão, T, rcida plo fio. Por convniência, podmos substituir a força pso plas duas componnts ortoonais, P 1, paralla à dirção dfinida plo fio, P, prpndicular à ssa dirção. Em módulo, tmos: P 1 P = mcosθ = m snθ Dss modo, podmos dizr qu as forças qu atuam sobr a partícula qu forma o pêndulo simpls são P 1, P T. Como a partícula dscrv um arco d circunfrência, a rsultant das forças ao lono da dirção dfinida plo fio atua como força cntrípta, por isso, dv tr o msmo sntido qu a tnsão T.

2 Por outro lado, na dirção prpndicular àqula dfinida plo fio, isto é, ao lono da trajtória da partícula, atua apnas a força P. Estritamnt falando, ao lono dsta dirção atua também a força d arrast, rcida plo ar. Contudo, como o módulo dssa força é muito mnor do qu o módulo da força P, la pod sr dsprzada ( nm foi rprsntada na Fi.14). Como já dissmos acima, a partícula d massa m dscrv um arco d circunfrência. Porém, s a amplitud do movimnto é muito mnor do qu o comprimnto do fio, isto é, s A <<, qualqur qu sja o ânulo θ, l smpr é pquno (Fi.15). Nss caso, o arco d circunfrência qu forma a trajtória da partícula pod sr aproimado por um smnto d rta horizontal, sobr o qual fiamos o io X, com orim O ond a vrtical tirada do ponto d suspnsão Q corta ss io. Então, dntro dssa aproimação, a posição da partícula os pontos O Q formam um triânulo rtânulo (com ânulo rto m O) podmos scrvr: sn θ = O módulo o sntido d P, qu é a força rsultant qu atua sobr a partícula ao lono da sua trajtória, podm sr prssos por: () P m = O sinal nativo aparc porqu a força P tm o msmo sntido daqul scolhido como positivo para o io X quando a lonação é nativa tm sntido contrário quanto a lonação é positiva.

3 A prssão acima mostra qu, s é pquna a amplitud do movimnto da partícula, podmos considrar qu l acontc sobr uma linha rta (o io X), sob o fito d uma força cujo módulo é proporcional à distância da partícula a um ponto fio sobr sta linha rta (o ponto O) diriida para ss ponto. Em outras palavras, s a amplitud é pquna, o movimnto da partícula qu faz part do pêndulo simpls é um MHS. Sabmos qu o módulo o sntido da força qu atua sobr uma partícula m MHS são dados, nricamnt, por: com F() = C C= mω sabmos também qu o príodo a frqüência do movimnto são dados, rspctivamnt, por: T = π ω ω f = π Portanto, comparando a prssão d P () com a prssão d F(), podmos scrvr: m C= ω = d modo qu: T = π f= 1 π Dado, o comprimnto do pêndulo,, o módulo da aclração ravitacional local, s não há qualqur outro ant trno além da força ravitacional atuando sobr o pêndulo, l só pod oscilar com a frqüência dada pla prssão acima. Esta frqüência caractrística do pêndulo é chamada frqüência própria ou frqüência natural d oscilação. Como já discutimos, uma das caractrísticas importants d qualqur oscilador harmônico é qu o príodo d oscilação não dpnd da amplitud do movimnto. Aqui raparc sta caractrística já qu a partícula qu constitui o pêndulo simpls dscrv um MHS. Mas isto só é vrdadiro s a amplitud do movimnto é muito mnor do qu o comprimnto do fio.

4 S a amplitud do movimnto da partícula não é muito mnor do qu o comprimnto do fio, o pêndulo não pod sr dscrito como um oscilador harmônico porqu a força rstauradora dia d tr módulo proporcional à distância da partícula a um ponto fio. Nss caso, o príodo do movimnto dpnd da amplitud do movimnto d oscilação. S a amplitud do movimnto é muito mnor do qu o comprimnto do fio, qualqur qu sja o ânulo θ, l smpr é pquno o arco d circunfrência qu forma a trajtória da partícula pod sr aproimado por um smnto d rta horizontal. Então, além da prssão: sn θ = podmos scrvr também: sn θ =θ dsd qu o ânulo θ sja dado m radianos. Dss modo, podmos dizr qu o príodo do pêndulo simpls indpnd da amplitud do movimnto porqu a força d rstituição qu atua sobr a partícula pod sr considrada proporcional a θ, o ânulo ntr o fio a vrtical. No caso m qu a amplitud não é tão pquna, dvmos lvar m conta qu a força d rstituição não é proporcional ao ânulo θ, mas, sim, a sn θ. Além disso, como sn θ < θ (s θ 0), a força d rstituição, nss caso, é mnor do qu no caso antrior, qualqur qu sja a posição da partícula. Portanto, também o módulo da aclração da partícula é mnor, la dmora mais tmpo para compltar uma oscilação o príodo do movimnto é maior. Obsrvação Mostramos, acima, qu um pêndulo simpls, d comprimnto, qu oscila com amplitud A, com A <<, tm um movimnto harmônico simpls com príodo dado pla prssão: T = π Esta prssão pod sr obtida porqu a condição A << prmit fazr a aproimação: sn θ = ou, d modo quivalnt: sn θ =θ s o ânulo θ ntr o fio a vrtical é dado m radianos. Então, quanto mnor for a amplitud do movimnto da partícula comparada ao comprimnto do fio, mais ata é sta aproimação.

5 O rro rlativo comtido nssa aproimação pod sr calculado pla prssão: θ snθ ε= snθ A tabla abaio dá uma idéia do rro rlativo comtido na aproimação. θ (raus) θ (rad) sn θ ε (m %) 10 0,175 0,174 0, ,6 0,59 1, ,349 0,34, ,436 0,43 3, ,54 0,500 4, ,611 0,574 6,446 Ercício 1 Da prssão do príodo do pêndulo simpls, su-s qu: π = T Assim, tomando um pêndulo com fio d comprimnto conhcido, cujo movimnto s aproima do movimnto d um pêndulo simpls, mdindo o príodo T do su movimnto d oscilação, dtrmin, o módulo da aclração ravitacional local. Para diminuir o fito do tmpo d ração, é convnint dtrminar o príodo mdindo, por mplo, o intrvalo d tmpo t lvado plo pêndulo para compltar 10 oscilaçõs. Dss modo, s = 1,00 m t = 0,3 s vm: 0π = (1,00m) = 0,3 s 9,65m / s Um modo d aumntar a prcisão do primnto é aumntar o númro d oscilaçõs para a mdida do intrvalo d tmpo t, d modo qu qualqur imprcisão nsta mdida tm su fito no cálculo d rduzido na msma proporção. Para podr aumntar o númro d oscilaçõs, a rsistência do ar dv sr minimizada, já qu tnd a rduzir a amplitud das oscilaçõs. Um modo d rduzir o fito da rsistência do ar é rduzir o volum do corpo qu vai constituir o pêndulo sm rduzir, na msma proporção, a sua inércia. Por isso, uma pquna sfra d aço ou d chumbo é bastant adquada. D qualqur modo, como o príodo d oscilação é indpndnt da amplitud, ss fito da rsistência do ar não influncia no

6 rsultado final limita, apnas, o númro d oscilaçõs qu pod sr tomado na mdida d t. Ercício Dois pêndulos, d comprimntos 1 = 1m = 0,64 m, suspnsos d pontos difrnts do tto d uma sala, são abandonados com suas partículas m contato (Fi.16). Considrando um rfrncial fio na Trra, calcul o tmpo lvado para qu as partículas s ncontrm novamnt na msma posição. Ercício 3 Considr um pêndulo d m d comprimnto suspnso do tto d um lvador, oscilando com pqunas amplituds num rfrncial fio na Trra. Calcul a frqüência dss pêndulo (a) quando o lvador stá m rpouso no rfrncial considrado, (b) quando o lvador sob com aclração d módulo m/s (c) quando o lvador dsc com aclração d módulo m/s. Ercício 4 A Fi.17 rprsnta um pro no ponto P um pêndulo d comprimnto, suspnso do ponto A do tto d uma sala.

7 O pêndulo oscila com pqunas amplituds num rfrncial fio na Trra. Os pontos P A stão sobr a msma linha vrtical. Sm o pro, o príodo d oscilação do pêndulo é T. Calcul o príodo d oscilação do pêndulo com o pro, sabndo qu a distância ntr os pontos A P é 3/4. Ercício 5 Um rlóio d pêndulo é calibrado num dia m qu a tmpratura ambint é d 5 o C. Discuta as suints afirmativas: (a) num dia m qu a tmpratura ambint é d 35 o C, ss rlóio atrasa (b) s ss rlóio é lvado para a ua mantido a tmpratura d 5 o C, l adianta.

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