Ficha 2. 1 Polinómios de Taylor de um campo escalar. 1.1 O primeiro polinómio de Taylor.

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1 Aulas Práticas d Matmática II Mstrado m Arquitctura o Smstr Fica 1 Polinómios d Talor d um campo scalar. Rcord qu os polinómios d Talor são uma important frramnta para studar o comportamnto d uma função f : R n R numa vizinança d um dado ponto a R n. São particularmnt útis na idntificação dos pontos d máximo mínimo locais d f. S f : R n R tm drivadas parciais contínuas d qualqur ordm numa vizinança d um ponto a R n,dfin-s o polinómio d Talor d ordm k da função f no ponto a, com sndo: P k (x) =f+ kx i=1 com a =(a 1,...,a n ) x =(x 1,...,x n ). 1 i! nx j 1,j,...,j i =1 1.1 O primiro polinómio d Talor. Not qu para k =1tmos: i f x j1 x ji.(x j1 a j1 ) (x ji a ji ), P 1 (x) = f+ f.(x 1 a 1 )+ + f.(x n a n ) x 1 x n x 1 a 1 = f+df., x n a n ond Df dsigna a matriz jacobiana d f m a, ousja Df = f x 1 f x n i. Exrcício: Sja f : R R dfinida por f(x, ) =x +. a) Dtrmin P 1 (x, ) para a = idntifiqu o plano tangnt ao gráfico d f no ponto (0, 0, 0). b) Dtrmin P 1 (x, ) para a =(1, 1) idntifiqu o plano tangnt ao gráfico d f no ponto (1, 1, ). Rsolução: a) Tmos portanto f f (x, ) =x (x, ) = x P 1 (x, ) = f + f f x = x i x =0. 1

2 Rcord qu o gráfico d f é a suprfíci d R 3 dfinida por G f = (x,, z) R 3 : z = f(x, ) ª Como sabmos, o gráfico d P 1,ousja = (x,, z) R 3 : z = x + ª G P1 = (x,, z) R 3 : z = P 1 (x, ) ª, é o plano tangnt m (0, 0,f) = (0, 0, 0) ao gráfico d f. Assim basta tr m conta qu P 1 (x, ) =0 para concluirmos qu o plano tangnt a G f m (0, 0, 0) é dado por b) Para a =(1, 1) tmos P 1 (x, ) = f(1, 1) + G P1 = (x,, z) R 3 : z =0 ª. f f x (1, 1) = + x 1 1 i (1, 1) x 1 1 =+(x 1) + ( 1). O plano tangnt m (1, 1,f(1, 1)) = (1, 1, ) ao gráfico d f é dado por G P1 = (x,, z) R 3 : z =+(x 1) + ( 1) ª. Exrcício 1. Sja f : R R dfinida por f(x, ) =log(x + +1). a) Dtrmin P 1 (x, ) para a = idntifiqu o plano tangnt ao gráfico d f no ponto (0, 0, 0). b) Dtrmin P 1 (x, ) para a =(1, 0) idntifiqu o plano tangnt ao gráfico d f no ponto (1, 0, log()). c) Dtrmin P 1 (x, ) para a =(0, 1) idntifiqu o plano tangnt ao gráfico d f no ponto (0, 1, log()). Solução: a) P 1 (x, ) =0, a quação do plano tangnt é: z =0. b) P 1 (x, ) =x +log() 1, a quação do plano tangnt é: z x =log() 1. c) P 1 (x, ) = +log() 1, a quação do plano tangnt é: z =log() O sgundo polinómio d Talor. Para dscrvr o sgundo polinómio d Talor é convnint introduzir a matriz Hssiana d f no ponto a R n x x 1 x 1 x n 1 x 1 x n x 1 x 1 x x x n 1 x x n x Hf = x 1 x n 1 x x n 1 x n 1 x nx n 1 x 1 x n x x n x n 1 x n x n

3 Not qu s as sgundas drivadas parciais d f são contínuas ntão x i x j = x j x i, plo qu Hf é uma matriz simétrica, ou sja Hf =Hf T. Com sta notação podmos scrvr: P (x) = P 1 (x)+ 1 nx.(x i a i )(x j a j ) x i,j=1 i x j x 1 a 1 = f+df. x n a n + 1 x 1 a 1 x1 a 1 x n a n Hf. x n a n Exrcício: Sja f : R R dfinida por f(x, ) =log(x + +1). Calcul o sgundo polinómio d Talor d f rlativo ao ponto. Rsolução: Tmos: Logo portanto f x (x, ) = x x + +1, f (x, ) = x + +1, x (x, ) = x + (x + +1), (x, ) = x + (x + +1) x (x, ) = 4x (x, ) = x Df = Hf = f f x " x x (x + +1). i = 0 0 x # = x P 1 (x, ) = f + Df = x 0 0 =0,, P (x, ) = P 1 (x, )+ 1 x x Hf = x x = x

4 Exrcício. Sja f : R R dfinida por f(x, ) =(x +3 )xp(1 x ). a) Dtrmin P (x, ) para a =. b) Dtrmin P (x, ) para a =(1, 0). c) Dtrmin P (x, ) para a =(0, 1). d) Dtrmin P (x, ) para a =( 1, 0). ) Dtrmin P (x, ) para a =(0, 1). Solução: a) P (x, ) = 1 0 x x = x b) P (x, ) = x 1 x 1 =1 (x 1) c) P (x, ) = x x 1 =3 x ( 1). d) P (x, ) = x +1 x +1 =1 (x +1) ) P (x, ) = x x +1 =3 x ( +1). 1.3 Extrmos locais. Noqussguassumimosquf : R n R tm trciras drivadas parciais contínuas m qualqur ponto d R n. Dado um ponto a R n, dizmos qu f tm um máximo local m a (rsp. mínimo local m a) sxistir umaboladcntroma raior>0 tal qu f f(x) (rsp. f f(x)) para qualqur x B r. Dizmos qu a é um ponto crítico d f s a matriz jacobiana d f m a for a matriz nula. Por outras palavras, a é um ponto crítico d f s i f f f x 1 x n 1 x n = O torma qu s sgu é uma consquência simpls das dfiniçõs: Torma1: S f tm m a um máximo ou mínimo local, ntão a é um ponto crítico d f. 4

5 Notmos no ntanto qu podm xistir pontos críticos d f qu não são pontos d máximo nm d mínimo local. Tais pontos camam-s pontos d sla d f. A noção d sgundo polinómio d Talor dsmpna um papl dtrminant na dmonstração do sguint rsultado, qu m muitas situaçõs prmit classificar os pontos críticos d f. Torma : Para qualqur ponto crítico, a, d f tm-s: a) S a matriz Hf édfinida positiva, ntão f tm um mínimo m a. b) S a matriz Hf édfinida ngativa, ntão f tm um máximo m a. c) S a matriz Hf é indfinida, ntão a é um ponto d sla d f. Exrcício: Idntifiqu classifiquospontoscríticosdf : R R dfinida por Rsolução: Porqu tmos f(x, ) = x x. f x (x, ) =x 1 f (x, ) = 1, Df(x, ) = x 1 1. Vmos assim qu os pontos críticos d f são: (1, 1), ( 1, 1), (1, 1) ( 1, 1). Por outro lado a matriz ssiana d f é " # (x, ) Hf(x, ) = x x (x, ) x 0 x (x, ) =, (x, ) 0 x tndo-s m particular: 0 0 Hf(1, 1) =,Hf( 1, 1) =, Hf(1, 1) = Hf( 1, 1) =. 0 0 Com isto podmos concluir qu f tm pontos d sla m ( 1, 1) (1, 1), jáquasmatrizshf( 1, 1) Hf(1, 1), tndo valors próprios com sinal contrário, são indfinidas. No ponto (1, 1) tmos um mínimo local pois a matriz Hf(1, 1), tndo todos os valors próprios positivos, é dfinida positiva. No ponto ( 1, 1) tmos um máximo local pois a matriz Hf( 1, 1), tndo todos os valors próprios ngativos, é dfinida ngativa. Exrcício 3. Idntifiquclassifiqu os pontos críticos d f : R R quando: a) f(x, ) =x + x; b) f(x, ) =x 3x +5x +6 +8; c) f(x, ) =xp(1+x ); d) f(x, ) = x cos ; ) f(x, ) = + x sin ; f) f(x, ) =(x +3 )xp(1 x ). 5

6 Extrmos absolutos Rcordmos qu um cunjunto S R n diz-s limitado s xistir um númro r>0 tal qu kxk r, para qualqur x S. Sja f : R n R uma função contínua S R n um conjunto limitado fcado. Nstas condiçõs dmonstra-s qu xistm pontos a b d S tais qu f f(x), para qualqur x S f(x) f(b), para qualqur x S. Dizmos ntão qu f éovalormáximodf m S, qua é um ponto d máximo absoluto d f m S. Analogamnt, dizmos qu qu f(b) é o valor mínimo d f m S, qub é um ponto d mínimo absoluto d f m S. O torma qu s sgu é muitas vzs útil na dtrminação dos valors máximos mínimos d uma função f : R n R num conjunto S R n. Torma 3. Sja f : R n R uma função com primiras drivadas parciais contínuas, S R n um conjunto limitado fcado. Sja ainda a S um ponto d máximo absoluto d f m S, b S um ponto d mínimo absoluto d f m S. Entãotm-s: 1) S a não prtnc à frontira d S ntão a é um ponto crítico d f; ) S b não prtnc à frontira d S ntão b é um ponto crítico d f. Exrcício: Sja f : R R dfinida por f(x, ) = 1 x, S = (x, ) R : x + 1 ª Calcular o valor máximo o valor mínimo d f m S. Rsolução: Comcmos por notar qu as primiras drivadas parciais d f: f x (x, ) = x1 x f (x, ) = 1 x são contínuas no su domínio, qu é o único ponto crítico d f. Notmos também qu o conjunto S é limitado fcado com frontira Estamos assim m condiçõs d aplicar o torma 3. S = (x, ) R : x + =1 ª. 6

7 Considrmos ntão um ponto a S d máximo absoluto um ponto b S d mínimo absoluto. Plo Torma 3, porqu é o único ponto crítico d f m S, tmos: (a S ou a =) (b S ou b =), consquntmnt (f =1ou f =) (f (b) =1ou f (b) =). Assim, porqu f éovalormáximodf m S, f(b) é o valor mínimo d f m S, trmos ncssariamnt máximo d f m S = f =, mínimo d f m S = f(b) =1, como s prtndia calcular. Exrcício: Sja f : R R dfinida por f(x, ) = 1 x, S = (x, ) R :1 x + 4 ª Calcular o valor máximo o valor mínimo d f m S. Rsolução: Notmos qu nst caso não xistm pontos críticos d f m S. Notmos também qu o conjunto S é limitado fcado com frontira S = (x, ) R : x + =1 ª (x, ) R : x + =4 ª. Considrmos ntão um ponto a S d máximo absoluto um ponto b S d mínimo absoluto. Plo Torma 3 tmos: a S b S, consquntmnt f =1ou f = 3 f (b) =1ou f (b) = 3, portanto máximo d f m S = f =1, mínimo d f m S = f(b) = 3, como s prtndia calcular. 7