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1 26 a Aula AMIV 26 Exponncial d matrizs smlhants Proposição 26 S A SJS ntão Dmonstração Tmos A SJS A % SJS SJS SJ % S ond A, S J são matrizs n n ", (com dt S 0), # S $ S, dond ; A & SJ % S SJS SJ & S por indução A ' SJ ' S para todo k N Então ( ) # ' *+ k A' ( ) ' *+ k SJ' S S ( ( ) ' *+ k J' ) S S $ S 262 Exponncial d matrizs diagonalizávis Sabmos da Álgbra Linar qu muitas matrizs são diagonalizávis; ou sja é frqunt a situação m qu dada uma matriz A é possívl calcular uma matriz mudança d bas S uma matriz diagonal Λ tais qu A SΛS Pla Proposição 26, podmos ntão calcular a matriz, # dsd qu saibamos calcular, - Mas como vamos vr d sguida, é trivial o cálculo da xponncial d uma matriz diagonal Considr-s uma matriz diagonal: λ λ A % λ Por simpls vrificação, obtmos qu o su quadrado é ainda uma matriz diagonal m qu as ntradas são o quadrado das da matriz inicial: λ % 0 0 A % 0 λ % % λ % / :;7 6 < >6? < 7 A 7 B 5 CED? DE:F 6 < 5 G? DIHJ? KLD M 7FD? :>? A 6? D P

2 26 AULA AMIV 2 Por indução concluímos qu a potência k d uma matriz diagonal s obtém d forma smlhant: λ ' 0 0 A ' 0 λ ' % λ ' E d acordo com a dfinição d xponncial d uma matiz obtmos:, 0 0, # 0, , ou sja, a xponncial d uma matriz diagonal é uma matriz diagonal m qu as ntradas (na diagonal) são as xponnciais das ntradas corrspondnts na matriz original Portanto, o cálculo da xponncial d uma matriz diagonalizávl A rduz-s à dtrminação da matriz diagonal smlhant Λ (cálculo d valors próprios) da rspctiva matriz mudança d bas S (cálculo d vctors próprios) Após a invrsão da matriz S, obtmos a xponncial da matriz A por simpls multiplicação d matrizs:, # S, - S Rcord-s da Álgbra Linar qu s A SΛS, ntão AS SΛ s v é uma coluna d S ntão satisfaz a rlação Av λv, ond λ é a ntrada corrspondnt (à coluna considrada) da matriz diagonal Λ Uma vz qu a matriz S é invrtívl concluímos qu as colunas S são vctors próprios linarmnt indpndnts da matriz A Portanto, A é matriz n n diagonalizávl ss possui n vctors próprios linarmnt indpndnts Por outro lado um par (λ, v) - λ scalar; v vctor não nulo - satisfaz a rlação Av λv ss (A λ) v 0 Como v não pod sr o vctor nulo, sta igualdad só pod sr satisfita s dt (A λ) 0 É sta última igualdad qu prmit o cálculos dos valors próprios d A Por fim, dado um valor próprio λ podmos calcular uma vctor próprio corrspondnt rsolvndo os sistma dgnrado (A λ) v Exmplo-valors próprios rais Exmplo 26 Considr-s a matriz A [ 3 3 Dtrminação dos valors próprios: [ 3 λ A λ 3 λ dt (A λ) (3 λ) %

3 % % % % 26 AULA AMIV 3 [ 2 0 Valors próprios λ 3 ± (λ 2 ou λ 4) Concluímos A SΛS com Λ 0 4 As colunas d S são vctors próprios d A Vctors próprios associados ao valor próprio λ 2: [ [ x x Av λv ou sja A λ ou ainda y y portanto [ [ x y 0 dond x + y 0 [ x (A λ) y Só prcisamos d um vctor próprio; por xmplo x, y : v [ 0 Vctors próprios associados ao valor próprio λ 4: [ [ [ x x (A 4) 0 ou sja 0 y y dond x y 0 [ Por xmplo v Dtrminámos ntão uma matriz S qu satisfaz AS SΛ: [ S, invrtndo sta matriz obtmos S [ Agora podmos calcular : [ [ [ [ [ [ ( ( 2622 Exmplo-valors próprios complxos conjugados Exmplo 262 Considr-s a matriz A [ Dtrminação dos valors próprios: dt (A λ) 0 dt [ λ λ 0 ( λ) % + 0 Valors próprios λ ± i (λ + i ou λ i) Concluímos A SΛS [ + i 0 Λ 0 i com

4 26 AULA AMIV 4 As colunas d S são vctors próprios d A Vctors próprios associados aos valors próprios λ ± i: [ x Av λv ou sja (A λ) 0 ou ainda y [ [ ( ± i) x 0 dond ix y 0 ( ± i) y [ Só prcisamos d um vctor próprio para cada valor próprio: por xmplo associado [ i ao valor próprio λ + i associado ao valor próprio λ i Dtrminamos i ntão uma matriz S qu satisfaz AS SΛ: [ S i i, invrtndo sta matriz S % [ i i Agora podmos calcular : [ [ [ [ ( [ i 0 i i 2i i i i 0 i 2 i [ [ [ [ [ 0 i i 2 i i 0 i 2 i i i [ + i + i 2 i + i i i i [ cos t sn t sn t cos t 263 Critérios para a vrificação dos cálculos Sndo o cálculo d xponnciais d matrizs muitas vzs intricado, convém tr critérios simpls d vrificação dos rsultado Dois critérios qu são muito útis na prática são os qu xprssos nas sguints igualdads: [ *+ Id [ d dt *+ A Por outro lado smpr qu s calcula a invrsa S d uma matriz S, convém vrificar imdiatamnt qu o rsultado obtido é corrcto através da igualdad SS Id

5 26 AULA AMIV Exponncial d matrizs formadas por blocos Exmplo 263 Considr-s a matriz A Facilmnt s rconhc qu o qu s passa com a primira sgundas colunas linhas é indpndnt do qu s passa com as duas últimas linhas colunas, do ponto d vista da multiplicação soma d matrizs; spaços próprios tc Diz-s nst caso qu a matriz A é formada por blocos sobr a diagonal, sndo sts blocos, nst xmplo, as matrizs 2 2: [ [ 3 3 Sndo assim podmos usar os dois últimos xmplos para obtr imdiatamnt: cos t sn t 0 0 sn t cos t D facto quando tmos uma matriz A quadrada (n + n ) (n + n ) formada plos blocos B B sobr a diagonal, ond B B são matrizs quadradas n n n n rspctivamnt: B 0 A 0 B, obtmos portanto B 0 A 0 B m gral A 0 0 B 0 0 B Da msma forma para matrizs formadas por mais blocos sobr a diagonal: ;

6 26 AULA AMIV 6 B B 0 S A B , ntão Not-s qu alguns dst blocos podm sr unidimnsionais (matrizs ); i númros 265 Matrizs não diagonalizávis Considr s o sguint xmplo: Exmplo 264 Vamos dtrminar os valors vctors próprios da matriz: [ 2 A 0 2 Tmos [ 2 λ dt (A λ) dt 0 2 λ (2 λ) Plo qu a matriz A só tm um valor próprio λ 2 Calculando os vctors próprios v obtmos: [ [ 0 α v 0, dond v, ond α é um scalar não nulo arbitrário Portanto todos os vctors próprios têm a dircção dada plo vctor [ plo qu a dimnsão do spaço próprio é (númro máximo d vctors próprios linarmnt indpndnts) Não xistindo dois vctors próprios linarmnt indpndnts, concluímos qu a matriz A não é diagonalizávl Como xistm matrizs não diagonalizávis o procdimnto para o cálculo da xponncial d uma matriz qu dscrvmos antriormnt tm d sr gnralizado para stas matrizs A idia é ainda utilizar a Proposição 26, mas alargando a class d matrizs J para as quais sabmos calcular imdiatamnt a sua xponncial Com st objctivo vamos dfinir uma class simpls d matrizs cuja xponncial sja facilmnt aprndida Esta class clássica d matrizs qu vamos introduzir é dsignada por formas canónicas d Jordan; são matrizs formadas por blocos sobr a diagonal, sndo cada um dsts blocos uma matriz simpls dsignada por bloco d Jordan

7 26 AULA AMIV Blocos d Jordan Dá-s o nom d bloco d Jordan d dimnsão n a uma matriz J J λ λ 0 0 λ λ quadrada n n da forma: Portanto bloco d Jordan J d dimnsão n é uma matriz quadrada n n qu tm as ntradas da diagonal todas iguais a um crto valor λ (qu pod sr nulo), todas as ntradas da diagonal suprior com o valor todas as outras ntradas nulas Simbolicamnt: J [j com j λ s i k s i k 0 nos rstants casos Exmplo 265 [3 é um bloco d Jordan d dimnsão (J ) é um bloco d Jordan d dimnsão 3 (J ) [ 0 é um bloco d Jordan d dimnsão 2 (J 0 0 ) 267 Matrizs na forma canónica d Jordan Uma matriz quadrada J é uma matriz na forma canónica d Jordan s é formada xclusivamnt por blocos d Jordan sobr a diagonal: J J 0 J J ond J, J,, J são blocos d Jordan

8 26 AULA AMIV 8 Exmplo 266 d Jordan d Jordan Mas a matriz d Jordan d Jordan d Jordan blocos d Jordan Mas a matriz Mas a matriz stá na forma canónica d Jordan; é formada por 3 blocos stá na forma canónica d Jordan; é formada por 3 blocos não stá na forma canónica d Jordan stá na forma canónica d Jordan; é formada por 3 blocos stá na forma canónica d Jordan; é formada por 2 blocos [ 2 0 stá na forma canónica d Jordan; é formada por 2 blocos stá na forma canónica d Jordan; é formada por 3 não stá na forma canónica d Jordan não stá na forma canónica d Jordan

9 26 AULA AMIV 9 Pod-s mostrar com bas xclusivamnt m considraçõs algébricas o sguint torma (consultar um livro d álgbra linar para a difícil dmonstração dst rsultado) Torma 262 Sja A uma matriz quadrada qualqur Então xist uma matriz S (com dt S 0) tal qu A SJS, ond J é uma matriz na forma canónica d Jordan formada por j blocos d Jordan J, J,, J ; j é a dimnsão do spaço próprio (númro máximo d vctors próprios linarmnt indpndnts) da matriz A λ, λ λ os sus valors próprios (todos) Obsrvação 26 Not-s qu A J têm o msmo polinómio caractrístico D facto dt (A λ) dt ( SJS λ ) dt ( S (J λ) S dt S dt (J λ) dt S dt (J λ) (λ λ) (λ λ) (λ λ) ond n, n n são as dimnsõs dos blocos J, J,, J rspctivamnt Not-s ainda qu s pod tr λ λ para índics distintos a b qu n + n + + n n, sndo n a dimnsão da matriz A (todas as matrizs A, S J são n n) ) 268 Exponncial d Blocos d Jordan Vamos mostrar m apêndic, qu para um bloco d Jordan J t 0 t 0 0 t d dimnsão n tmos Concrtizando para dimnsão 4, o qu pod sr fito através d um cálculo dircto, concluí-s qu xponncial d um bloco d Jordan (nst caso d dimnsão 4) λ 0 0 t J 0 λ λ é dado pla sguint xprssão: 0 t 0 0 t λ Exmplo 267 S J é a matriz na forma canónica d Jordan t J ntão é dado por t t

10 26 AULA AMIV Apêndic Exponncial d Blocos d Jordan Vamos mostrar qu para um bloco d Jordan J d dimnsão n a sua xponncial tm a sguint xprssão t 0 t 0 0 t Considr-s a matriz G () dfinida por J λid + G (), portanto λ 0 0 λ λ 0 λ G () 0 0 λ λ λ λ m gral, para j, as matrizs G (j), (matrizs quadradas n n m qu as únicas ntradas não nulas são uns sobr a j- ésima diagonal suprior), dfinidas por { G (j) [g (j) com g s i k j (j) 0 nos rstants casos Em particular G (j) 0 s j n Comcmos por mostrar qu (para j) (G ()) G (j) (26) Obviamnt qu sta rlação stá corrcta para j S por hipóts d indução é vrdadira para crto j intiro, tmos qu (G ()) G (j) G () Plo qu falta provar qu G (j + ) G (j) G () Vrifiqumos ntão qu d facto g (j + ) g (j) g () Ora g (j) g () é difrnt d zro apnas quando i s j s k ; portanto g (j + ) é difrnt d zro só quando i k (j + ) nst caso g (j + )

11 26 AULA AMIV Uma vz dmonstrada a rlação (26), obtmos (ond G (0) Id) t k G () t k G (k) t k G (k) t t t (n ) t 0 t 0 0 t Finalmnt, plo Corolário 252, obtmos Id t 0 t 0 0 t 0 0 0

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