PGF MECÂNICA QUÂNTICA I (2010) Resolução Comentada da Lista de Problemas 1 Eduardo T. D. Matsushita

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1 PGF500 - MECÂNICA QUÂNTICA I 00 Rsolução Comntada da Lista d Problmas Eduardo T. D. Matsushita. a Qurmos dtrminar os autovalors os autostados do oprador Ŝ n para uma partícula d spin /, ond a dirção n é spcificada plos ângulos θ φ, n = sin θ cos φ x + sin θ sin φ y + cosθ z. Em trmos das componnts do oprador vtorial d spin, sr scrito da forma Ŝ, o oprador Ŝ n pod Ŝ n = sin θ cosφ Ŝx + sin θ sin φ Ŝy + cosθ Ŝz. Vamos trabalhar com a bas { z, +, z, } formada plos autostados d Ŝz, Ŝ z z, + = z, + Ŝ z z, = z,. S lvarmos m conta qu as rprsntaçõs dos opradors Ŝx, Ŝ y Ŝz nsta bas são da forma S x = 0, S 0 y = 0 i, S i 0 z = 0, 0 sgu qu a rprsntação d Ŝ n é dada pla matriz S n = cosθ iφ sin θ iφ sin θ cos θ. Vamos dnotar por n, λ um particular autovtor d Ŝ n associado ao autovalor λ, ou sja, Ŝ n n, λ = λ n, λ. S na bas { z, +, z, } ss autovtor é scrito da forma a n, λ = a z, + + b z,, b com a b sndo coficints complxos, a quação d autovalors é dada por cos θ iφ sin θ a a iφ = λ sin θ cos θ b b cosθ λ iφ sin θ a iφ sin θ cosθ λ = 0. b

2 Not qu tmos um sistma linar homogêno. Para admitir soluçõs não-triviais dvmos tr cosθ λ dt iφ sin θ iφ sin θ cos θ λ = 0. A quação acima é a chamada quação caractrística. Facilmnt concluímos qu λ = ±. Obsrv qu os autovalors são rais como ra d s sprar pois Ŝ n é um oprador hrmitano. Agora vamos dtrminar os autovtors normalizados d Ŝ n. i. λ = Ŝ n n, + = n, + : cosθ iφ sin θ iφ sin θ cosθ a b = 0. Tmos o sistma: { a = iφ cot θ b a + b = normalização, d ond obtmos a = cos θ b = sin θ a = cos θ b = iφ sin θ. Not qu tmos librdad d fixar uma fas global. Assim: n, + = cos θ z, + + iφ sin θ z, cos θ iφ sin θ. 3 ii. λ = Ŝ n n, = n, : cos θ + iφ sin θ iφ sin θ cosθ + a b = 0. Tmos o sistma: { a = iφ tan θb a + b = normalização, 4 d ond obtmos a = sin θ a = iφ sin θ

3 b = cos θ b = cos θ. Assim: n, = iφ sin θ z, + cos θ z, iφ sin θ cos θ. 5 b Vamos supor qu a partícula stja no stado n,. A probabilidad ps z = d numa mdida d S z acharmos o valor é p S z = = z, + n, = sin θ. 6 c S a partícula stá no stado n,, o valor médio das mdidas d S x é dado por S x = n, Ŝx n, = iφ sin θ cos θ 0 0 iφ sin θ cos θ = sin θ cosφ. 7 Logo: S x = sin θ cosφ. 8. Considr um fix d átomos d spin / atravssando um filtro d Strn-Grlach qu md a componnt do spin numa dirção n. Vamos supor qu os átomos do fix incidnt stão no stado com S z = qu n stá no plano xz, inclinado d um ângulo θ m rlação ao ixo Oz, ou sja, φ = 0. a Primiramnt, vamos calcular a fração dos átomos do fix mrgnt qu têm S z = S z = na situação ond o filtro acita o stado com S n = rjita o stado com S n =. No squma abaixo ilustramos o procsso d mdida: Not qu m ambos os casos só xist um caminho d modo qu a probabilidad da partícula inicialmnt no stado z, + continuar no stado z, + ou mudar para z, passando plo stado intrmdiário n, é igual ao módulo ao quadrado da amplitud d probabilidad da partícula prcorrr ss caminho. Nssas condiçõs, a fração do fix mrgnt qu têm S z = é dada por f S z = = z, + n, n, z, + 3

4 qu rsulta m f S z = = sin 4 θ. 9 Já a fração do fix mrgnt qu têm S z = é dada por f S z = = z, n, n, z, + qu rsulta m f S z = = sin θ θ cos. 0 Obsrv qu a soma das fraçõs não é igual a uma vz qu part do fix é bloquada no filtro d Strn-Grlach qu prmit apnas a saída das partículas com S n =. b Agora rptirmos o xrcício antrior admitindo qu o filtro stá oprando sm rjitar nnhum stado. Nss caso, quando mdimos S n sm slcionar idntificamos o caminho prcorrido plo fix a probabilidad é igual a soma das probabilidads da partícula prcorrr os dois caminhos. Assim, a fração do fix mrgnt qu têm S z = é dada por f S z = = z, + n, n, z, + + z, + n, + n, + z, + qu rsulta m f S z = = sin 4 θ + θ cos4. 4

5 Já a fração do fix mrgnt qu têm S z = é dada por f S z = = z, n, n, z, + + z, n, + n, + z, + qu rsulta m f S z = = sin θ θ cos. Aqui podmos vrificar qu a soma das fraçõs é igual a pois aqui o filtro não bloquia nnhuma partícula do fix incidnt. 3. Considr uma molécula triatômica linar formada por três átomos quidistants, E, C D com um létron livr. Uma bas ortonormal no spaço dos vtors d stado do létron é dada plos stados ψ E, ψ C ψ D, ond o létron stá localizado na vizinhança dos átomos E, C D, rspctivamnt. A hamiltoniana do sistma é Ĥ = Ĥ0 + Ŵ, ond ψ E, ψ C ψ D são autovtors dgnrados d Ĥ0 com nrgia E 0 Ŵ é um oprador qu transfr o létron d um átomo para o outro dfinido por Ŵ ψ E = a ψ C, Ŵ ψ C = a ψ E a ψ D, Ŵ ψ D = a ψ C, com a sndo uma constant ral positiva. 5

6 a Lvando m conta qu a rprsntação do oprador hamiltoniana na bas { ψ E, ψ C, ψ D } é dtrminada pla ação d Ĥ m cada um dos vtors da bas, Ĥ ψ n = m ψ m ψ m Ĥ ψ n n, m = E, C, D facilmnt obtmos H = E 0 a 0 a E 0 a. 3 0 a E 0 S dnotarmos por E um particular autovtor d Ĥ, Ĥ E = E E, podmos xpandir ss vtor na bas { ψ E, ψ C, ψ D } como E = x ψ E + y ψ C + z ψ D, ond x, y z são coficints complxos, d modo qu a quação d autovalors assum a forma: E 0 E a 0 x a E 0 E a y = 0. 0 a E 0 E z Para qu o sistma homogêno acima admita soluçõs não-triviais dvmos tr E 0 E a 0 dt a E 0 E a = 0, 0 a E 0 E o qu nos lva a quação caractrística E 0 E[E 0 E a ] = 0, qu é uma quação cúbica m E 0 E. Idntificamos três soluçõs E = E 0, E = E 0 + a E = E 0 a. Assim as nrgias do sistma são: E = E 0 a, E = E 0, E = E 0 + a. 4 Fisicamnt os autovalors são os possívis valors qu podmos obtr m mdidas da nrgia do sistma. Vamos agora dtrminar os autovtors normalizados: 6

7 i. E = E 0 a : Tmos o sistma: a a 0 a a a 0 a a x y z = 0. y = x z = x, 5 x + y + z = normalização ond a scolha da fas foi fita d modo qu x =, Assim: y = z =. E 0 a = ψ E + ψ C + ψ D. 6 ii. E = E 0 : Tmos o sistma: 0 a 0 a 0 a 0 a 0 x y z = 0. y = 0 z = x, 7 x + y + z = normalização ond scolhmos a fas d modo qu x =, y = 0 7

8 Assim: iii. E = E 0 + a : Tmos o sistma: z =. E 0 = ψ E ψ D a a 0 a a a 0 a a x y z 0 = y = x z = x, 9 x + y + z = normalização ond a fas foi scolhida d modo qu x =, Assim: y = z =. E 0 + a = ψ E ψ C + ψ D. 0 b Vamos supor qu o sistma s ncontr no stado fundamntal, ou sja, no stado d mnor nrgia E 0 a. As probabilidads d ncontrar o létron nos stados ψ E, ψ C ψ D são, rspctivamnt, P ψ E = ψ E E 0 a = 4 = 5%, P ψ C = ψ C E 0 a = = 50% P ψ D = ψ D E 0 a = 4 = 5%. 8

9 c S mdimos a nrgia do sistma os possívis valors srão os autovalors calculados no primiro itm: E = E 0 a, E 0 E 0 + a. Admitindo qu o sistma stja no stado ψ E, as probabilidads d obtr cada um dsss valors d nrgia são, rspctivamnt, PE 0 a = E 0 a ψ E = 4 = 5%, PE 0 = E 0 ψ E = = 50% PE 0 + a = E 0 + a ψ E = 4 = 5%. d Qurmos calcular o valor médio a disprsão das mdidas d nrgia s o sistma stá no stado ψ E. O valor médio da nrgia é: H = ψ E Ĥ ψ E = 0 0 E 0 a 0 a E 0 a 0 0 a E 0 0 = E 0 Portanto H = E 0. Para calcular a disprsão das mdidas d nrgia prcisamos calcular xplicitamnt H = ψ E Ĥ ψ E, qu fornc H = ψ E Ĥ ψ E = 0 0 E0 + a ae 0 a ae 0 E0 + a ae 0 0 a ae 0 E0 + a 0 = E 0 + a. Logo Finalmnt concluímos qu: H = E 0 + a. σ H = H H = a. S o sistma stá no primiro stado xcitado, ou sja, no stado d nrgia E 0, E 0, as probabilidads d ncontrar o létron nos stados ψ E, ψ C ψ D são, rspctivamnt, P ψ E = ψ E E 0 = = 50%, 9

10 P ψ C = ψ C E 0 = 0 P ψ D = ψ D E 0 = = 50%. 4. Considr uma partícula d spin / uma bas d vtors d stado, z, + z,, autovtors d Ŝz com autovalors, rspctivamnt. A rprsntação d Ŝy nsta bas é dada pla matriz, S y = 0 i i 0 a É fácil obsrvar qu Ŝy é um obsrvávl físico uma vz qu sua rprsntação na bas formada plos autovtors z, + z, é uma matriz hrmitana: S y = 0 i i 0. = S y. 3 b Vamos dnotar por y, λ um particular autovtor d Ŝy associado ao autovalor λ, ou sja, Ŝ y y, λ = λ y, λ. S na bas { z, +, z, } ss autovtor é scrito da forma a y, λ = a z, + + b z,, b com a b sndo coficints complxos, a quação d autovalors é dada por 0 i a a = λ i 0 b b λ i a = 0. i b λ Not qu tmos um sistma linar homogêno. Para admitir soluçõs não-triviais dvmos tr λ i dt = 0, i implicando qu λ λ = ±. 4 Obsrv qu os autovalors são rais como ra d s sprar pois Ŝy é um oprador hrmitano. Agora vamos dtrminar os autovtors normalizados d Ŝy. 0

11 i. λ = Ŝy y, + = y, + : i i a b = 0. Tmos o sistma: { b = ia a + b = normalização, 5 ond scolhmos a fas d modo qu a = b = i Assim: y, + = z, + + i z, i. 6 ii. λ = Ŝy y, = y, : i i a b = 0. Tmos o sistma: { b = ia a + b = normalização, 7 ond a fas foi scolhida d modo qu a = b = i Assim: y, = z, + i z, i. 8 D um cálculo dirto tmos, y, + y, = i i mostrando qu os autovtors obtidos são ortogonais. = 0,

12 c A transformação unitária qu diagonaliza a matriz S y é rprsntada por uma matriz cujas colunas são os autovtors obtidos no itm antrior: U =. 9 i i d Utilizando a transformação unitária obtida acima podmos scrvr as rprsntaçõs dos opradors Ŝx, Ŝy Ŝz na bas formada plos autostados d Ŝy: U S x U = 0 i = i 0 σ, 30 U S y U = U S z U = = σ 3 3 = σ. 3 É important salintar qu difrnts scolhas d fas podm nos conduzir a rprsntaçõs quivalnts dos obsrvávis. Dvmos nfatizar qu ssas rprsntaçõs continuam satisfazndo as rlaçõs d comutação do spin. Por xmplo, com nossa scolha d fas as rprsntaçõs das componnts do spin na bas formada plos auto-stados d Ŝy são obtidas por uma prmutação cíclica das matrizs d Pauli. 5. Considr um spaço d vtors d stado tridimnsional. Na bas {,, 3 }, os obsrvávis  ˆB são rprsntados plas matrizs, a 0 0 A = 0 a a B = b ib 0 ib 0 a Obsrvando dirtamnt a rprsntação do oprador  na bas {,, 3 } facilmnt vrificamos qu o autovalor a é duplamnt dgnrado, ou sja, xistm dois autovtors linarmnt indpndnts, 3, associados a ss autovalor. Para vrificar s xist dgnrscência no spctro d ˆB dvmos obtr xplicitamnt os autovalors autovtors. Not qu a strutura da matriz qu rprsnta o obsrvávl ˆB na bas {,, 3 } já nos prmit idntificar um autovalor: b. Assim, nos rsta apnas diagonalizar o bloco 0 ib ib 0. 0 i = b i 0,

13 qu possui a msma strutura da matriz tratada no xrcício antrior. Assim, sgu qu o autovalor b possui multiplicidad dois, ou sja, é duplamnt dgnrado. Os autovtors normalizados são: b, =, b, = + i 3 b = i 3 b D fato  ˆB são opradors compatívis uma vz qu suas rprsntaçõs são matrizs qu comutam. c Not qu, como consquência dsss obsrvávis srm compatívis, os autostados d ˆB obtidos antriormnt também são autostados d Â:  b, = a b,,  b, = a b, mostrando qu  b = a b,, a, b =, a, b = + i 3 a, b = i 3 formam uma bas d autovtors simultânos d  ˆB. Uma vz qu as duplas d autovalors dfinm d manira unívoca os autovtors simultânos podmos dizr qu os opradors  ˆB são um conjunto complto d obsrvávis qu comutam. d S o sistma stá no stado 3, a probabilidad d numa mdida simultâna d  ˆB, acharmos os valors a b é P a, b = a, b 3 = = 50% Dado o oprador o stado ˆBl = xp ilˆx β = ˆBl α. 34 3

14 a Qurmos calcular φ β p = p β dado φ α p = p α. D?? facilmnt vrificamos qu p β = p ˆBl α = dx p x x α ilx. Lvando m conta qu x p = π ipx, podmos scrvr p β = π dx x α ip lx = dx p l x x α = p l α. Portanto, b Mostr qu φ β p = φ α p l. 35 β ˆp β = α ˆp α + l. D?? facilmnt vrificamos qu β ˆp β = α ˆB lˆp ˆBl α = α ˆp α + α ˆB l[ˆp, ˆBl] α, ond utilizamos o fato qu ˆp ˆBl = ˆBlˆp + [ˆp, ˆBl]. Lvando m conta qu: [ˆp, ˆBl] = l ˆBl, finalmnt obtmos: β ˆp β = α ˆp α + l. 36 c O oprador ˆB stá associado fisicamnt a uma translação finita no spaço dos momntos o oprador ˆx é o grador dssas translaçõs. 4