FILTROS. Assim, para a frequência de corte ω c temos que quando g=1/2 ( )= 1 2 ( ) = 1 2 ( ) e quando = 1 2

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1 FILTROS Como tmos visto, quando tmos lmntos rativos nos circuitos, as tnsõs sobr os lmntos d um circuitos m CA são dpndnts da frquência. Est comportamnto m circuitos montados como divisors d tnsão prmit qu quando alimntados com tnsõs d difrnts frquências, sobr os lmntos do circuito possamos tr tnsõs significativas m algumas frquências m outras não. Esta é a caractrística dsts circuitos qu prmit a sua utilização como filtros d frquência. Na trminologia dsts circuitos trmos ntão uma tnsão d alimntação (V i do grador uma tnsão d saída (V o, a tnsão sobr um lmnto scolhido do circuito. Estarmos intrssados na anális do comportamnto dsta tnsão d saída V o para difrnts frquências da font d alimntação V i. Esta anális s dá basicamnt na idntificação d intrvalos d frquência ond a tnsão no lmnto scolhido tm valors significativos (sinais qu passam ou é significativamnt atnuados (sinais qu são rjitados. Como a variação dstas tnsõs com a frquência é contínua, é ncssário a dfinição d um valor limit para o qual s considra qu las sjam significativas ou não. Por convnção, toma-s como rfrência o valor da potência dissipada num lmnto rsistivo. S sta potência é suprior à mtad da potncia máxima (circuito rsistivo, tmos um sinal qu passou, s infrior tmos um sinal rjitado. A frquência para o qual tmos o lmnto dissipando mtad da potência máxima é chamada d frquência d mia potência ou frquência d cort ω c. Esta rlação ntr potência forncida potência dissipada é mdida m trmos d Ganho (g, uma grandza positiva, adimnsional dfinida por: Assim, para a frquência d cort ω c tmos qu quando g/2 ( 2 ( 2 ( quando ( 2 2

2 2 Filtros passa-baixa São utilizados para prmitir valors significativos d tnsão no lmnto quando o circuito é alimntado por uma tnsão snoidal d baixa frquência, nquanto qu tnsõs snoidais d alta frquência são atnuadas. A frquência d cort ω c é usada para distinguir a banda passant (ω c <ω da banda rjitada (ω c > ω. Dois circuitos lmntars são xmplos d um filtro passa-baixa. São ls o circuito RC, na tnsão sobr o capacitor o circuito RL, na tnsão sobr o rsistor, como podmos vr a sguir: ( (+ ( ( ( ( (+ ( (+ (+!+( " #/ (2 %+& #/ ( ' E a dfasagm da tnsão na saída é: *+,- *+,- ( (3 *+,- *+,- ( Na frquência d cort ω c trmos: 2

3 3 (4 φ c - 45 φ c - 45 A razão V o /V i é chamada d função d transfrência H(ω, os gráficos d ganho vrsus frquência ângulo d fas vrsus frquência qu vmos abaixo são chamados d rsposta m frquência do circuito V o /V i ω c ω, rad/s θ ω c ω, rad/s Filtros passa-alta São utilizados para prmitir valors significativos d tnsão no lmnto quando o circuito é alimntado por uma tnsão snoidal d alta frquência, nquanto qu tnsõs snoidais d baixa frquência são atnuadas. A frquência d cort ω c é usada para distinguir a banda passant (ω c >ω da banda rjitada (ω c <ω. Dois circuitos lmntars são xmplos d um filtro passa-baixa. São ls o circuito RC, na tnsão sobr o rsistor o circuito RL, na tnsão sobr o indutor, como podmos vr a sguir: 3

4 4 ( (+ ( ( ( ( (+ (!+( " #/ %+& ' ( #/ E a dfasagm da tnsão na saída é: *+,- *+,- ( *+,- *+,- ( Na frquência d cort ω c trmos: φ c 45 φ c 45 E a rsposta m frquência para ao ganho o ângulo d fas é mostrado abaixo: 4

5 5 Filtro passa-banda (a RLC parallo na rssonância Um circuito stá m rssonância quando a voltagm a corrnt stão nos trminais d ntrada stão m fas (circuito rsistivo. Nos circuitos com associaçõs m parallo, é mais confortávl trabalharmos com admintâncias condutâncias m vz d ratâncias rsistências. Assim tmos qu a admitância do circuito é:. / +( Na rssonância Y(ω o é puramnt rsistiva ωc/ωl,ntão ω o (/LC /2. A admitância do circuito é mínima, ou a impdância é Z(ω o R é máxima. Então, a tnsão d saída é máxima dada por V o (ω o RI i. 00 V 0 (ω 0 RI i V o I i / Y, V ω ω ω 0 00 o ω, R/s 500 As frquências ω ω 2 para as quais a potência d saída cai pla mtad são as frquência d cort. Nstas frquências V o (ω c V o (ω o.como podmos vr no gráfico acima, st circuito dixa passar todas as frquências dntro d um intrvalo limitado plas frquências d cort (ω <ω<ω 2 por isso é chamado d filtro passa faixa Est intrvalo d frquências é conhcido como largura d banda βω 2 -ω As frquências d cort são obtidas d: 5

6 6 ( %& ' +& #/ ( ' 2 Cujas soluçõs são: # D ond obtmos qu a largura d banda do circuito é: 3 As frquências d cort sr scritas m função d ω o β como: # D ond vmos qu a frquência d rssonância 5 # É a média gométrica das frquências d cort. Not qu a largura d banda β é invrsamnt proporcional a R, ou sja, mnors valors d R rsultam m maiors largura d bandas. A frquência d rssonância ω o é uma função d L C portanto, ajustando sus valors obtmos a frquência d rssonância dsjada, nquanto qu ajustando o valor d R a largura d banda a intnsidad da rsposta são ajustadas. A largura da curva d rssonância é quantitativamnt dtrminada plo Fator d Qualidad Q, dfinido como a razão ntr a frquência d rssonância a largura d banda. 6

7 Na frquência d rssonância as corrnts rativas são: Como pod sr visto, dpndndo do fator d qualidad Q, I L I C podm sr muitas vzs suprior à corrnt forncida pla font (amplificação d corrnt. (b RLC séri na rssonância. A impdância do circuito é: /+( Na rssonância Z é puramnt rsistiva novamnt ωc/ωl, logo ω o (/LC /2. A impdância do circuito Z(ω o R é mínima a corrnt é máxima. Então, a tnsão d saída é máxima dada por V o (ω o RI(ω o. 7

8 8 0 V 0 (ω 0 RI(ω V o R I(ω, V ω 00 ω 200 ω o ω, R/s 500 Novamnt tmos as frquências d cort ω ω 2 dtrminadas como ants. Como podmos vr no gráfico acima tmos um circuito passa-faixa no intrvalo d frquências (ω <ω<ω 2. As frquências d cort são obtidas d: ( Cujas soluçõs são: %( +& #/ ' 2 ( # D ond obtmos qu a largura d banda do circuito é: 3 As frquências d cort sr scritas m função d ω o β como: 8

9 9 # D ond vmos qu a frquência d rssonância 5 # É a média gométrica das frquências d cort. Not qu β é proporcional a R, ou sja, maiors valors d R corrspondm a maiors larguras d banda. A frquência d rssonância ω o é uma função d L C, portanto, ajustando sus valors obtmos a frquência d rssonância dsjada, nquanto qu ajustando o valor d R a largura d banda a intnsidad da rsposta são ajustadas. A largura da curva d rssonância é quantitativamnt dtrminada plo fator d Qualidad Q, dfinido como a razão ntr a frquência d rssonância a largura d banda Na frquência d rssonância as tnsõs rativas são: 8 4 ( ( 4 6 Como pod sr visto, na rssonância, dpndndo do valor do fator d qualidad Q, V L V C podm sr muitas vzs maior do qu a tnsão d alimntação (amplificação d voltagm. 9

10 0 Para circuitos com fator d qualidad muito alto, as frquências d cort podm sr aproximadas para ω ω 0 -β/2 ω 2 ω 0 +β/2 Filtro corta-faixa. Um filtro corta-faixa é dstinado a rjitar todas as frquências dntro d uma dtrminada banda d frquências (ω <ω<ω 2 Em um circuito RLC séri, vamos considrar a saída sobr a combinação m séri d L C A função d transfrência é: a magnitud do ganho é: ( +( 9 +( Em ω0, o indutor s comporta como um curto circuito o capacitor como um circuito abrto, logo I0, V o V i o ganho é unitário (g. Em ω, o indutor comporta-s como um circuito abrto o o capacitor como um curto circuito. Da msma forma tmos I0, V o V i o ganho é unitário (g. Na rssonância, Z é puramnt rsistiva ωc/ωl, logo ω o (/LC /2. Uma vz qu o numrador do ganho d voltagm é zro, o ganho cai para zro na rssonância. 0

11 V o (ωl-/(ωc I, V ω 00 ω 200 ω o ω, R/s 500 Como podmos vr na figura acima tmos aqui um circuito qu rjita as frquências no intrvalo (ω <ω<ω 2 dixando passas as frquências fora da banda d rjição. As frquências d cort, largura d banda fator d qualidad são os msmos para o circuito RCL séri passa-faixa: 3 #

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