3. Geometria Analítica Plana

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA PROF VINICIUS 3 Gomtria Analítica Plana 31 Vtors no plano Intuitivamnt, sabmos qu o conjunto dos númros rais podm sr distribuídos m uma rta Dst modo, todo númro ral corrspond a um ponto da rta vic-vrsa A sguir, tndo m vista a corrspondência aprsntada acima, srão dfinidos alguns objtos qu constitum a bas da Gomtria Analítica Plana Dfinição (origm): O ponto é chamado d origm Dfinição (unidad d mdida): Chamamos d unidad d mdida a distância ntr dois númros intiros conscutivos na rta A unidad d mdida é intiramnt arbitrária, não influnciando no studo qualitativo dos objtos matmáticos do plano Dfinição (sntido positivo ngativo): O sntido positivo na rta corrspond ao sntido d crscimnto dos númros o sntido ngativo na rta corrspond ao sntido oposto, ou sja, d dcrscimnto dos númros Dfinição (númros positivos númros ngativos): Númros ngativos são númros a squrda da origm númros positivos são númros a dirita da origm Dfinição (abscissa): O númro ral associado a cada ponto é dnominado abscissa

2 Dfinição (rta orintada): A rta obtida a partir das dfiniçõs dadas acima é chamada d rta orintada Dfinição (distância ntr dois pontos na rta orintada): A distância ntr dois pontos, d abscissas, rspctivamnt é dada por Exmplo: A distância ntr o ponto na rta d abscissa o ponto da rta d abscissa é dada por Dfinição (sistma cartsiano ortogonal): O sistma cartsiano ortogonal é constituído por dois ixos,, prpndiculars ntr si, com msma origm, a qual constitui o ponto d intrscção Para vitar confusão, os númros rais associados a são chamados d abscissa os númros associados a são chamados d ordnadas Dfinição (sgmnto orintado): Um sgmnto orintado é um subconjunto d uma rta, qu possui um ponto como origm (primiro ponto), outro ponto como xtrmidad (último ponto) Adotando o sntido d um ponto para um ponto, podmos dfinir um sgmnto orintado Exmplo: S, ntão Exrcício 31: Sjam, Calcul,, coincidm Dfinição (sgmnto nulo): Sgmnto nulo é aqul m qu a origm xtrmidad Dfinição (sgmnto oposto): O sgmnto oposto a um sgmnto é o sgmnto, ou sja, invrt-s a origm a xtrmidad Logo, s, ntão Exmplo: S, ntão E o sgmnto oposto d é o sgmnto

3 Exrcício 32: Sjam, Calcul os vtors opostos dos vtors, Dfinição (dirção): Chamamos d dirção o ângulo ntr um sgmnto d rta uma rta paralla ao ixo Dfinição (sntido): Chamamos d sntido d um sgmnto orintado a spcificação da xtrmidad, dada a dirção do sgmnto Dfinição (módulo): Dados a origm d um sgmnto orintado sua xtrmidad, o módulo do sgmnto é o su comprimnto, d acordo com a unidad d mdida adota Na sção 34 (rlativa a distância) srá forncida a fórmula da distância ntr pontos, o qu prmitirá dtrminar o módulo d um vtor Dfinição (sgmntos quipolnts): Dois sgmntos chamados quipolnts quando possum msmo módulo, msma dirção msmo sntido Dfinição (vtor): Um vtor é o conjunto d todos os sgmntos quipolnts a um sgmnto orintado Usualmnt, dnota-s um vtor por,, t Ctra Módulo, dirção sntido são caractrísticas d um vtor, uma vz qu todos os sus lmntos são sgmntos quipolnts Dfinição (vtors iguais): Dois vtors são iguais quando possum msmo módulo, dirção sntido Dfinição (vtor nulo): Vtor nulo é aqul qu possui módulo igual a zro Dfinição (vtor oposto): Dado um vtor, o su oposto é vtor qu contém todos os sgmntos orintados opostos dos sgmntos do vtor Dfinição (vtor unitário): Um vtor é unitário s Exmplo: O vtor é um vtor unitário, pois

4 Exrcício 33: Dados,, vrifiqu quais vtors são unitários quais não são Cada sgmnto orintado no plano cartsiano possui um sgmnto quipolnt fixado na origm dst plano, ou sja, um vtor d msmo módulo, dirção sntido com origm no ponto do plano cartsiano Assim, todo sgmnto orintado pod sr rprsntado por st sgmnto na origm Dst modo, podmos rprsntar um vtor d acordo com o ponto d xtrmidad do sgmnto obtido a partir da origm Dfinição (soma d vtors): Dados dois vtors, a soma d é o vtor Exmplo: S, ntão Exrcício 34: Dados,, calcul, Dfinição (difrnça d vtors): Dados dois vtors, a difrnça d é o vtor Exmplo: S, ntão Exrcício 35: Dados,, calcul, Dfinição (multiplicação por númro ral): Dado um númro ral um vtor, o multiplicação por númro ral d é o vtor Exmplo: S, ntão

5 Exrcício 36: Dados,, calcul, Dfinição (bas): Assumindo, podmos rprsntar qualqur vtor do plano cartsiano (fazndo uso d soma d vtors do produto scalar) Por isto, o conjunto é chamado d bas do plano cartsiano ou bas do Exmplo: 32 Produto Escalar Dfinição (produto scalar): Dados dois vtors, o produto scalar é o númro Exmplo: S, ntão Exrcício 37: Dados, Calcul, Torma: Dados dois vtors, sndo o ângulo formado ntr ls, ntão Exmplo: S, ntão, portanto, Exrcício 38: Sabndo qu tm módulo, tm módulo tm módulo, qu o ângulo ntr é, o ângulo ntr é, qu o ângulo ntr é, calcul, Dfinição (vtors ortogonais): Dois vtors são ortogonais quando

6 Exmplo: S, ntão, portanto, são ortogonais Exrcício 39: Dados,, vrifiqu s xistm vtors ortogonais ntr sts três vtors Obsrvação: o vtor nulo é ortogonal a qualqur vtor, pois o produto scalar dl com qualqur outro vtor smpr rsulta m zro Obsrvação: Um forma altrnativa d constatar qu a ortogonalidad stá ligada ao fato d o produto scalar rsultar m zro é obsrvar qu na xprssão do torma acima, s, ntão 33 Projção Dfinição (projção d um vtor): A projção d um vtor sobr um vtor é dada por Exmplo: S, ntão Exrcício 310: Dados,, Calcul 34 Estudo da Rta Equação Rduzida: Exmplo:

7 Equação vtorial: Sja o vtor qu dtrmina todos os pontos d uma rta, sja um ponto qualqur d um vtor qu possui msma dirção d Então O vtor é chamado d vtor dirtor d Exmplo: Partindo d, vamos considrar o ponto, o vtor formado por, no sntido d, ou sja, Como possui msma dirção d, ntão podmos tomar Logo, a quação vtorial d pod sr scrita como Equaçõs Paramétricas da Rta: Exmplo: Partindo da quação vtorial, podríamos scrvr as quaçõs paramétricas d como, isto é, Equação Simétrica: Exmplo: Partindo da quação paramétrica, podríamos scrvr a quação simétrica Obsrvação: Da quação simétrica podmos voltar para a quação rduzida Por xmplo, da quação simétrica, podmos isolar obtr, qu é xatamnt a quação rduzida d ond partimos Exrcício 311: Obtnha os quatro tipos d quação da rta para as rtas,,, 35 Distâncias no Plano

8 Torma (distância ntr dois pontos no plano cartsiano): Dados dois pontos, calcula-s a distância ntr ls através d Exmplo: S, ntão Exrcício 312: Calcul, m cada caso, a distância ntr os pontos: a) ; b) ; c) ) Torma (distância d um ponto a uma rta): Sja uma rta Assim a distância d até o ponto é dada por Exmplo: A distância ntr a rta o ponto é dada por Exrcício 313: Calcul a distância do ponto a rta m cada caso: a) ; b) ; c) Torma (distância ntr rtas): Sjam duas rtas no plano S form concorrnts, ntão a distância ntr ls é nula, por dfinição S form parallas, ntão ou Obsrvação: como s vê, a distância ntr rtas s rduz a distância ntr um ponto uma rta Para vrificar s as rtas são parallas ou concorrnts, basta igualar as quaçõs das rtas avaliar o rsultado S o rsultado for matmaticamnt incornt, isto significa qu não há intrscção ntr as rtas, portanto, las são parallas Do contrário, las são concorrnts, portanto, a distância ntr las srá zro 36 Estudo da Circunfrência

9 Equação da Circunfrência cntrada m com raio : Exmplo: é a circunfrência d cntro raio Exrcício 314: Em cada caso, obtnha as coordnadas do cntro a mdida do raio da circunfrência: a) ; b) ; c) Posiçõs rlativas d um ponto uma circunfrência : é xtrno a é xtrno a Exrcício 315: Dtrmin a posição do ponto m rlação a cada uma das circunfrências dfinidas por: a) ; b) ; c) Dfinição (distância ntr a rta a circunfrência): Sja uma rta sja uma circunfrência d cntro raio Assim, a distância d a é dada por Posiçõs rlativas d uma rta uma circunfrência : são scants são tangnts são xtriors

10 Exrcício 316: Dtrmin a posição rlativa ntr a rta a circunfrência dfinidas por: a) ; b) ; c) Dfinição (distância ntr duas circunfrências): Sjam duas circunfrências d cntros, raios, rspctivamnt Assim, a distância d a é dada por Posiçõs rlativas ntr duas circunfrências: são tangnts (xtrnamnt) são tangnts (intrnamnt) são scants não s intrcptam (xtrnamnt) não s intrcptam (intrnamnt) não s intrcptam (concêntricas) Exrcício 317: Dtrmin as posiçõs rlativas ntr as circunfrências m cada caso: a) ; b) ; c) 37 Estudo das Cônicas Equação Rduzida da Elips d cntro, ixos d comprimnto :

11 Exmplo: A lips tm cntro, ixos d comprimnto Distância Focal na Elips:, com Exmplo: A distância focal da lips é, com, ou sja a distância focal dsta lips é igual a Focos na Elips:, s,, s Exmplo: Na lips, como, ntão Excntricidad d uma Elips:, s, s Exmplo: A xcntricidad da lips é Exrcício 318: Dtrmin o cntro, os focos a xcntricidad das lipss dadas: a) ; b) ; c) Equação Rduzida da Hipérbol d cntro distância ntr os vértics : Exmplo: é a hipérbol d cntro distância ntr os vértics Distância Focal na Hipérbol:, com

12 Exmplo: A distância focal na hipérbol é Excntricidad d uma Hipérbol: Exmplo: A xcntricidad da hipérbol é Exrcício 319: Dtrmin o cntro, os focos a xcntricidad das hipérbols dadas: a) ; b) ; c) Equação Rduzida da Parábola d vértic rta dirtriz Exmplo: é a quação da parábola d vértic rta dirtriz, pois Exrcício 320: Dtrmin o vértic uma quação para a dirtriz nas parábolas dadas: a) ; b) ; c) 38 Rspostas dos Exrcícios 31) ; ; ; 32) ; ; 33) não é unitário; é unitário; é unitário 34) ; ; 35) ; ; 36) ; ; 37) ; ; 38) ; ; 39) são ortogonais 310) ; 311) S você consguir voltar para a quação rduzida original, ntão stá corrto

13 312) ; ; 313) ; ; 314) ; ; 315) Extrno; xtrno; intrno 316) Tangnts; scants; scants 317) Scants; concêntricas; tangnts 318),,, ;,,, ;,,, 319),,, ;,,, ;,,, 320), ;, ;, Vinicius Carvalho Bck, 2º dição, Stmbro d 2011