Módulo 04. Vectores em R 2 e R 3. [Poole 003 a 028]

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1 Módlo 4 [Pool a 8] Vctors m R R Vctors lirs. Sgmnto orintado. Origm xtrmidad. Vctors igais. Vctor simétrico. Soma d ctors. Propridads. Vctor nlo. Prodto d m scalar por m ctor. Propridads. Norma. Vctor nitário. Ânglo d dois ctors. Vctors ortogonais. Prodto intrno. Projcção ortogonal. Vctors m R R. Rfrncial ortonormado. Componnts coordnadas d m ctor. Soma d ctors. Prodto d m scalar por m ctor. Notação matricial. Norma. Prodto intrno. Vctors ortogonais. Prodto xtrno. Propridads. Prodto misto. Intrprtação gométrica. Not bm, a litra dsts apontamntos não dispnsa d modo algm a litra atnta da bibliografia principal da cadira Chama-s à atnção para a importância do trabalho pssoal a ralizar plo alno rsolndo os problmas aprsntados na bibliografia, sm conslta préia das solçõs propostas, anális comparatia ntr as sas rsposta a rspostas propostas, postrior xposição jnto do docnt d todas as dúidas associadas.

2 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Vctors Lirs. Risão do º º ano.. Um ctor,, é dfinido por ma dircção, m sntido, m comprimnto, rprsnta-s gomtricamnt no plano, R, o no spaço, R, por m sgmnto orintado, q corrspond a m dslocamnto d m ponto para otro. A ponta da sta do ctor é chamada ponto final, xtrmidad, o afixo, o otro ponto xtrmo é chamado ponto inicial o origm do ctor. Sgmntos orintados com a msma dircção, o msmo sntido o msmo comprimnto rprsntam o msmo ctor, o sja, são considrados como ctors igais. O ctor simétrico d m ctor é o ctor q tm o msmo comprimnto, a msma dircção, sntido oposto ao d, rprsnta-s por.. A soma d dois ctors,, é o ctor q n a origm d à xtrmidad d qando s faz coincidir a origm d com a xtrmidad d. 4. Propridads da soma d ctors comtatia associatia lmnto ntro todos os ctors têm simétrico 5. Um ctor com comprimnto zro, tndo dircção sntido indtrminados, chama-s ctor nlo, rprsnta-s por. 6. O prodto d m scalar,, por m ctor,, é o ctor tal q: S, é o ctor nlo. S, tm: - comprimnto igal a zs o comprimnto d ; - a dircção d ; - o sntido d s > contrário ao d s <. 7. Propridads do prodto d m scalar por m ctor. β β distribtia β β distribtia 8. O comprimnto d m ctor,, é dfinido como sndo o comprimnto d qalqr m dos sgmntos orintados q o rprsntam, é dsignado por norma do ctor, sando-s a notação. 9. Um ctor d norma igal a é chamado ctor nitário o rsor. Dado m ctor não nlo,, o ctor é o ctor nitário com a dircção sntido d. A opração d diisão d m ctor pla sa norma é dsignada por normalização do ctor. Prof. José Amaral ALGA M4-9--7

3 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Vctors Lirs. Risão do º º ano.. Chama-s ânglo d dois ctors,, ao mnor ânglo formado por dois sgmntos orintados, com a msma origm, q rprsntm os ctors, π.. Qando o ânglo ntr dois ctors é rcto, π, dizmos q os dois ctors são ctors ortogonais o ctors prpndiclars ntr si.. O prodto intrno o prodto scalar d dois ctors,, é m númro ral dado por cos m q é o ânglo ntr os dois ctors.. O ânglo d dois ctors pod sr calclado a partir do prodto intrno arccos 4. Rslta da dfinição d prodto intrno ntr ctors q são ortogonais. Dois ctors não nlos são ortogonais ss > < π < π < π 5. Propridads do prodto intrno comtatia distribtia 6. Dados dois ctors,, podmos smpr dcompor o ctor na soma d dois ctors,,, tndo a dircção d sndo prpndiclar a. O ctor é chamado projcção ortogonal d sobr, proj, sndo proj, sndo a componnt prpndiclar prp Prof. José Amaral ALGA M4-9--7

4 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Vctors nm rfrncial cartsiano m R. Risão do º º ano. 7. Um par ordnado d ctors com dircçõs difrnts,,, diz-s ma bas d ctors m R. 8. Uma bas ortonormada é ma bas m q os ctors têm comprimnto são prpndiclars. 9. A bas canónica d R,,, é m rfrncial ortonormado, o cartsiano, m q s scolh ma bas ortonormada d ctors com as dircçõs sntidos dos ixos coordnados.. As componnts do ctor nma bas, são dois ctors,, q têm, rspctiamnt, a dircção d, cja soma é igal a. As coordnadas do ctor nma bas, são os númros rais,, q dmos mltiplicar por para obtrmos as componnts d ndo o ctor o s ponto inicial na origm do rfrncial,, as coordnadas do ctor são coincidnts com as O, coordnadas do ponto ond o ctor tm o s afixo,, o sja, o conjnto d todos os pontos do plano corrspond ao conjnto d todos os ctors cjo ponto inicial é a origm do rfrncial, O, plo q também é sada a notação, mos portanto, para os rsors da bas canónica,,, É também sal dsignar como as componnts do ctor sgndo, rspctiamnt.. O ctor soma d dois ctors,, é o ctor d coordnadas,, o sja, rsltant da soma ordnada das componnts sgndo cada m dos rsors. O prodto d m ral por m ctor é o ctor d coordnadas,, o sja, rsltant do prodto do scalar plas componnts sgndo cada m dos rsors Prof. José Amaral ALGA M

5 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Prof. José Amaral ALGA M Notação Matricial. 4. Um ctor pod sr scrito m notação matricial como ma matriz linha, o ctor linha, o ma matriz colna, o ctor colna. Em R, altrnatiamnt à notação,, pod sr scrito na forma da matriz linha [ ] mos [ ] [ ] [ ] Altrnatiamnt, pod sr scrito na forma da matriz colna mos [ ] 5. Utilizando a notação matricial, as opraçõs d soma ntr ctors prodto d m ctor por m scalar são idênticas às dfinidas para as matrizs. Por xmplo, m R, sndo, tmos, o, matricialmnt,, o, matricialmnt Exmplo.. O ctor q tm origm no ponto, A xtrmidad no ponto,4 B, AB, é igal ao ctor na posição canónica com ponto inicial na origm do rfrncial

6 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D B A,4,,4 4,, o ainda, igal ao ctor CD com origm no ponto C,5 xtrmidad no ponto D C,5 4, 4,5 4,7, o sja, 4, 4.. Dados os ctors, o ctor é 4 4, o,,, 4,,,4. Rcorrndo ao MatLab tríamos por conomia d scrita tilizarmos a notação d ctor linha: >> [ ]; >> [ -]; >> *- 4, o sja, 4 Prof. José Amaral ALGA M

7 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Vctors nm rfrncial cartsiano m R. Risão do º º ano. 6. A norma do ctor, com bas nas sas coordnadas, é dada por Exmplo. 7. O prodto intrno pod sr calclado a partir das coordnadas dos ctors, corrspondndo à soma do prodto ordnado das componnts d cada m dos ctors sgndo cada m dos rsors 8. Em R, dois ctors não nlos são ctors ortogonais ss, o sja 9. Para ctors colna, a notação matricial do prodto intrno rslta, para ctors linha. O ctor 6 tm norma Por xmplo, m R, sndo, tmos, considrando ctors linha, [ ],, considrando ctors colna [ ] 6 45, o sja, tm m comprimnto igal a 45, tm rsor , o sja, pod sr xprsso apnas m fnção do rsor 45 6 Rcorrndo ao MatLab tríamos not bm: por conomia d notação, smpr q as componnts do ctor sjam rais, podmos tilizar o oprador ' transconjgado m z do oprador dido.' transposto: >> nsqrt*.' Prof. José Amaral ALGA M

8 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D n 6.78, o sja, 45 >> /n , o sja 6. Podmos rificar q tm norma nitária >> *' ans. 4. O prodto intrno ntr os ctor, sndo o prodto ordnado das componnts d cada m dos ctors sgndo cada m dos rsors, é 6 Dado q o ânglo ntr os ctors é < π, o prodto intrno ntr ls é positio. Obtríamos o msmo rsltado tndo m atnção q, sndo, por inspcção da figra, π 4, cos 8 6 cos π 4 Rcorrndo ao MatLab tríamos: >> [ ]; >> [ ]; >> *' ans 6, o sja 6 5. Dsconhcndo o ânglo ntr dois ctors, podmos calclá-lo com bas no prodto intrno na norma dos ctors 6 arccos arccos arccos 8 π 4 Prof. José Amaral ALGA M

9 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Aliás, tndo m atnção q a norma d m ctor pod sr calclada com bas no prodto intrno,, podmos rconhcr q o ânglo ntr dois ctors pod sr calclado com bas m prodtos intrnos arccos arccos Rcorrndo ao MatLab tríamos: >> nsqrt*'; >> nsqrt*'; >> alfaacos*'/n*n alfa.7854 π, o sja, 4 >> alfa/pi ans.5 6. O prodto intrno ntr os ctor é 6 Dado q o ânglo ntr os ctors é π < β π, o prodto intrno ntr ls é ngatio. O prodto intrno ntr os ctor é Sndo os ctors ortogonais, o prodto intrno ntr ls é nlo. Rcorrndo ao MatLab tríamos: >> [ ]; >> [- ]; >> *' ans, o sja, Prof. José Amaral ALGA M

10 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D 7. Dados os ctors, a projcção ortogonal d sobr é proj 8.5.5, sndo a componnt prpndiclar prp Rcorrndo ao MatLab tríamos: >> [ ]; >> [ -]; >> *'/*'* o sja, proj.5. 5 >> -.5.5, o sja, prp.5. 5 Prof. José Amaral ALGA M4-9--7

11 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Vctors nm rfrncial cartsiano m R. Risão do º º ano.. Um trno ordnado d ctors,,,, não coplanars com dircçõs difrnts diz-s ma bas d ctors m R.. Uma bas ortonormada m R é ma bas m q os ctors, têm norma são prpndiclars dois a dois.. Um rfrncial ortonormado m R,,, é m rfrncial ortogonal monométrico m q s scolh ma bas ortonormada d ctors com as dircçõs sntidos dos ixos coordnados.. As componnts do ctor nma bas,, são três ctors,,, cja soma é igal a, q têm, rspctiamnt, as dircçõs d 4. As coordnadas do ctor nma bas,, são os númros rais,,, q dmos mltiplicar por, para obtrmos as componnts d À smlhança d R, é também sal a notação,, como as componnts do ctor, a dsignação d, sgndo cada m dor rspctios rsors,,. 5. O ctor soma d dois ctors,,,, é o ctor d coordnadas 6. O prodto d m ral por m ctor é o ctor d coordnadas,, 7. A norma do ctor, com bas nas sas coordnadas, é dada por 8. O prodto intrno pod sr calclado a partir das coordnadas dos ctors nm rfrncial ortonormado m R 9. Em R, dois ctors não nlos são ctors ortogonais ss Prof. José Amaral ALGA M4-9--7

12 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Exmplo.. Dados os ctors.5.5, o ctor é.5 O ctor tm norma O prodto intrno ntr os ctor, é Rcorrndo ao MatLab tríamos: >> [.5 ]; >> [.5 ]; >>.5.5. o sja,.5.5 >> sqrt*' ans.9 o sja,. 9 >> *' ans 4 4. Sndo o prodto intrno ntr positio, o ânglo ntr os ctors é < π arccos arccos arccos π 5.6 o 4 Prof. José Amaral ALGA M4-9--7

13 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Rcorrndo ao MatLab tríamos: >> alfaacos*'/sqrt*'**' alfa.975 o sja, arccos o.9.58 π 5.6. A projcção ortogonal d sobr é proj , sndo a componnt prpndiclar prp Rcorrndo ao MatLab tríamos: >> *'/*'* o sja, proj >> o sja prp Prof. José Amaral ALGA M4-9--7

14 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Prof. José Amaral ALGA M Prodto Extrno Prodto Misto d Vctors m R. 4. O prodto xtrno o prodto ctorial d dois ctors,, é m ctor com as sgints caractrísticas - m módlo sn, sndo é o ânglo ntr os dois ctors. - m dircção prpndiclar a a. - m sntido dado pla rgra da mão dirita o do saca rolhas. 4. Propridads do prodto xtrno - anti-comtatio - k ctors parallos Dados dois ctors m R,, o prodto xtrno ntr ls pod sr calclado atraés do dtrminant simbólico dt dt dt dt 4. A norma d, sn, é nmricamnt igal à ára do parallogramo dtrminado por. 44. Dados três ctors m R,,, o prodto misto pod sr calclado atraés do dtrminant dt 45. O olm d m parallpípdo dtrminado por três ctors,, é nmricamnt igal ao alor absolto do prodto misto dsts ctors,.

15 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D Prof. José Amaral ALGA M Exmplo 4.. O prodto xtrno ntr os rsors, é dt dt O prodto xtrno ntr os rsors, é dt dt O prodto xtrno ntr os ctors, é dt dt O olm do parallpípdo dtrminado por,, é 5 V Em MatLab, o prodto xtrno ntr os ctors,, pod sr calclado atraés da fnção cross,. O prodto xtrno ntr os rsors, é >> cross, ans, o sja, >> cross, ans -, o sja, >> [ ]; >> [ -]; >> cross,

16 V E C O R E S E M R E R A L G E B R A U R M A L R D, o sja, >> *cross,' ans 5, o sja, V 5 Prof. José Amaral ALGA M