CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 4 PRODUTOS

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1 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba CAPÍTULO 4 PRODUTOS Nos capítlos antios os concitos foam intodidos paa das giõs gométicas também chamadas d Espaços Vtoias: o Plano Gomético, psntado plo R (sistma d coodnadas catsianas no plano o Espaço Gomético, psntado plo R (sistma d coodnadas catsianas no spaço No ntanto, os póimos concitos q são intodidos só tm significado gomético paa tos no Espaço (R Apsa d algns sm álidos também paa tos no plano, mas nm todos Potanto, no q sg stamos considando somnt tos no spaço Opotnamnt, qando fo o caso, oltamos a consida os tos dfinidos no plano gomético Podto Escala Dfinição: Sjam os tos O podto scala nt sss tos, dnotado po, é m númo al dtminado po cos θ, ond 0 θ π é o ânglo nt Popidads 0 s, somnt s, m dls fo o to nlo o s são otogonais, o sja, θ 90 o Comtatia: 4 (m (n (m n (, m, n R 5 ( Epssão Catsiana do Podto Escala Sjam i j k i j k, dois tos do R Po dfinição tmos: cos θ Pla li dos cossnos tmos: cosθ Sbstitindo, tmos:

2 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Emplo (: Sjam, (, (0,,,,8, ( a Dtmin b Os tos são otogonais? Solção: a 8 0 ( 8 0 b Paa q os tos sjam otogonais é ncssáio q 0 D fato, ( Emplo (: Os tos,, com 4 5, dtminam o tiânglo abaio Dtmin o podto scala nt os tos Solção: Pla figa tmos q o ânglo nt é o 0 θ Mltiplicando scalamnt plo to ambos o lado dsta igaldad m q: ( Aplicando a dfinição do podto scala sas popidads tmos: θ cos θ cos o cos Intptação Gomética do Módlo do Podto Escala Sjam dois tos, sndo, o sja, é m so Sjam ainda, b a otogonais nt si, com b a Vamos pojta o to na dição do to 0 o

3 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba b a poj Na figa acima, tmos q a pojção do to na dição do to é dnotada po poj, a qal é igal ao to a poj Como a é paallo a, ntão a α Sndo b é otogonal a, ntão b 0 Mltiplicando scalamnt po a pssão a b tmos: α ( b Então α Logo: a poj α poj ( Potanto, poj ( poj Isso significa q o podto scala, m módlo, nt os tos, é o tamanho da pojção do to na dição do so Paa dois tos, qaisq, podmos dfini a pssão da pojção d m to na dição do oto como sndo: poj Not q o sltado dsta pssão é m to, o qal é a pojção do to na dição do to Ânglo nt dois tos O ânglo nt dois tos AB CD, não nlos, é o ânglo θ ang(, BPD nt os sgmntos ointados q psntam os tos, com a stição o 0 θ 80 o, qando os tos são tanspotados paa m ponto P, d tal foma q sas oigns coincidam com st ponto P D D A B θ P A C B C

4 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba Podmos dtmina o ânglo θ nt os tos ataés da pssão do podto scala Da pssão cos θ sg q cos θ Logo, θ accos Emplo (: Dados os tos (,, (,, Dtmin: a O ânglo nt b A pojção do to na dição do to Solção: a cos θ ( ( 4 4 cos θ Como cos θ 4 4, o ânglo θ não é m aco notál Então, 4 b poj poj (,, (,, θ accos 4 Potanto: poj,, Emplo (4: Dtmin m to nitáio otogonal aos tos (,, (,, Solção: Sja (,, Como é nitáio, ntão Como é otogonal aos tos, tm-s: 0 0 D ond m: 0 (,, (,, (,, (,, Da pimia qação m q (* Sbstitindo na 0 sgnda qação tmos q 0 Sbstitindo m (* m q ( ( ( ± Fando: paa,, o paa,,

5 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba Emplo (5: Dtmin m to tal q (,,0 (,, Solção: Sja (,,, ond Então: (,, (,,0 (,, (,, Daí m q: pimia qação m q Da (* Sbstitindo na sgnda qação tmos q ( Como ( ( Rsolndo a qação do º ga dtminamos as sas aís ' 0 Fando: paa (,, o paa ' ,, Ecícios Popostos: Dtmin a pojção do to (,, na dição do to (,, Rsp: poj,, Sjam os tos a (, m,, b (m,4 m, c (m,,7 Dtmin m paa q sja dadia a pssão a b ( a b c Rsp: m Dados 4, m to nitáio com: otogonal a, o ânglo nt (, π é o ânglo nt (, π é, calcl Rsp: 4 Dados (,, (,,, dtmin os tos a b tais q: 5 a//, b a b Rsp: a,, b,, 5 Os módlos dos tos a b são, spctiamnt, 4 O ânglo nt ls é 0 o Calcl o ânglo nt os tos a b a b Rsp: θ accos 7

6 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba Dmonst, toialmnt, o Toma d Pitágoas Podto Vtoial Dfinição: Sjam os tos O podto toial nt sss tos, dnotado po, é m to com as sgints caactísticas: i Módlo: snθ, ond θ é o ânglo nt ii Dição: nomal ao plano q contém iii Sntido: ga da mão diita A ga da mão diita di, no qado, q com a palma da mão stndida na dição sntido do to, fchado os ddos na dição do to (linha tacjada, o polga ficaá apontado paa cima, indicando o sntido d No qado, com a palma da mão stndida na dição sntido do to, fchando os ddos na dição do to, o polga ficaá apontado paa baio, indicando o sntido d Podmos nota q Potanto: Popidads 0 s, somnt s, m dls é o to nlo o s têm a msma dição Consqntmnt 0 Anti-comtatia: (não al a comtatia: (m (n (m n ( a diita: ( 4 Distibtia a sqda: (

7 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba 5 Dplo Podto Vtoial: ( ( ( ( ( ( Epssão Catsiana do Podto Vtoial Sjam i j k i j k, dois tos do R Tmos i j j i k q: (*: j k k j i Então: ( i j k ( i j k k i i k j Aplicando a popidad distibtia, tmos: ((i i ((i j ((i k ( (j i ((j j ((j k ( (k i ((k j ((k k Da dfinição d podto toial d (*, tm-s: ((0 ((k (( j ( ( k ((0 ((i ( (j (( i ((0 ( i ( j ( k Not q a pssão antio i j k é o dsnolimnto do sgint dtminant: Emplo (: Sjam (,, (5,, Dtmin Solção: i i 5j 4k 5k i j i 7j 9k j k i j k 5 Intptação Gomética do Módlo do Podto Vtoial Sjam dois tos, não nlos não paallos Logo ls dtminam m paallogamo Áa do paallogamo: θ h b sn h snθ Logo, snθ A P A P A P b h, ond: θ h Pla figa podmos q, mtad do paallogamo é m tiânglo dtminado plos tos, potanto a áa do tiânglo é dada po: A T

8 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba Emplo (7: Dtmin o to do R q satisfaça as sgints condiçõs: (i j (j k i Solção: Sja (,, Então: (i j (,, (,,0 (j k i i j k (,, (0,, (,0,0 (,0,0 ( i j k (,0,0 0 (,, (,0,0 0 0 Logo tmos o sistma Potanto o to pocado é 0,, Emplo (8: Os étics d m tiânglo são os pontos A(,,4, (,,4 C(,, Dtmin a alta latia ao étic B Solção: A áa A T do tiânglo pod s scita d das fomas: b h AB AC AC h AB AC A T i j k AB AC h AB AC i j k AC 0 4 A AB B h B AC C AB AC 5 5 AC 0 4 ( 5 Potanto, AB AC 5 h h h 5c AC 5 Emplo (9: Dmonst toialmnt q a áa d m tiânglo qiláto d lado m é A m 4 Solção: Vtoialmnt a áa d qalq tiânglo é dada po: ond A T, são os dois tos q dtminam o tiânglo Como o tiânglo é qiláto ss lados são todos igais ss ânglos intnos todos igais a o θ 0 Então: m Po dfinição tmos:

9 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba A T AT m m A T AT o sn0 4 m o 0 Ecícios Popostos Sjam A(,,-4, B(5,-, C(,,0 étics d m tiânglo ABC Sjam P Q pontos médios dos lados AB BC, spctiamnt Dtmin a áa do tapéio APQC Rsp: A a Sjam os tos (,,0, (,, (,, Os tos {,, ( } são LI o LD? Rsp: LI Dados os tos (,, (,,0, dtmin m to tal q (,, Rsp: (,, 4 Calcla a áa do paallogamo ABCD, sabndo-s q sas diagonais são os tos AC (,,4 BD (,, Rsp: A 5a 5 Dtmin o alo d, sabndo-s q A(,0,0, B(0,,0 C(0,0, são étics d m tiânglo d áa igal a ±4 Rsp: Dmonst as fómlas do dplo podto toial a ( ( ( b ( ( ( (sgstão: Paa dmonsta (b, sponha dadia (a ic-sa 7 Most q ( Podto Misto Dfinição: O Podto Misto nt os tos dfinido po [,,] (, é m númo al, dnotado Epssão Catsiana do Podto Misto Sjam i j k, i j k i j k Então: ( i ( j ( k [,,] ( (,, ( i ( j ( k

10 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba ( ( ( Esta pssão é igal ao dsnolimnto do dtminant: [,,] Popidads [,,] 0 m dls é o to nlo o s os tos são coplanas [,,] [,, ] [,,] [ a,,] [,,] [a,,] 4 [ α,,] α [,,] Intptação Gomética Módlo do Podto Misto Sjam, Então [,,] ( cos θ, ond θ é o ânglo nt os tos Na figa abaio tmos m paallpípdo dtminado plos tês tos, Vamos calcla o olm dst paallpípdo dnotado po V P θ θ h O podto misto [,,] d tos LI é igal m módlo ao olm do paallpípdo cjas astas são os tos, O olm V P Ab h, ond áa da bas Ab é m paallogamo dtminado plos tos Então: Ab No tiânglo tânglo da figa tmos: cosθ h Logo, h cosθ Potanto: cosθ, o sja, [,,] Not q os tos sja, V T V P,, dtminam também m ttado, cjo olm é V T VP, o [,,] V P

11 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba Emplo (0: Dtmin o olm do ttado d étics A(,,, B(,7,4, C(,, D(,-, Solção: Os tês tos q dtminam st ttado podiam s AB, AC AD Como AB (0,,, AC (,,0, AD (,,0 V T [AB, AC, AD], ntão; 0 [ AB,AC,AD] 0 VT VT 0 AB B D A AD AC C Emplo (: Um ttado ABCD tm olm igal a Sndo A(4,,, B(,4, C(,5,, dtmin o étic D q ptnc ao io O Solção: Como D é m ponto do io O, ntão D(,0,0 Sjam AB, AC AD os tos q dtminam o ttado Como AB (,,, AC (,,0, [AB, AC, AD] AD ( 4,, V T m q: [AB, AC, AD] 0 [ AB, AC, AD] V T D(4,0,0 4 0 ± 8 Potanto, D(-4,0,0 o 4 Emplo (: Sja m ttado d étics A(,0,, B(0,4,, C(,,4 D(4,4,0 Dtmin a alta latia ao étic C Solção: Os tos q dtminam o ttado são AB, AC AD Da toia d gomtia spacial tmos q o olm d m ttado é dado po V T Ab h, ond Ab é áa da bas do ttado h a sa alta Como a áa da bas é m tiânglo dtminado plos tos AB AD, ntão [AB,AC,AD] Vtoial tmos q V T AB AD Ab Do Cálclo C D h A Ab B

12 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba Então: V T [AB,AC,AD] [AB, AC, AD] AB AD Ab h h [AB, AC, AD] AB (,4,0 h Como AC (0,, AB AD AD (,4, 4 0 [ AB,AC,AD] 0 5 AB AD 4 i j 4 4 k 0 AB AD 8i 4j k 5 Logo AB AD 4 Potanto: h h c 4 Ecícios Popostos Dtmin os alos d m d modo q o ttado dtminado plos tos a (,,0,b (,m, c (,0,, tnha olm igal a Rsp: m o m 5 Sndo A(0,0,0, B(,0,0, C(0,5,0, D(,5,0 E(,5,5, dtmin o olm da E figa abaio A C Rsp: V 5 B D Dtmina o alo d R ( [ ( 5 ] paa (,,, (,4,0 (,, Rsp: R 0 4 Dtmin o to (m,m,m, paa q os tos {,,} sjam coplanas, ond (0,, (4,, Rsp: (,,0 5 Sjam (,,, (,0, (,, Vifica a dpndência lina dos Rsp: LI tos {[,,] (,[,,] (,[,,] ( } Poa q [,, ] [,, ] COMENTÁRIOS IMPORTANTES Só istm tês opaçõs básicas aplicadas aos tos q são: adição, sbtação mltiplicação po scala, como imos no capítlo Os podtos stdados nst capítlo são impotants, mas não confndi com as opaçõs básicas, o sja, não ist mltiplicação nt tos, logo também não istm a diisão, potnciação adiciação d tos

13 Li Fancisco da C Dpatamnto d Matmática Unsp/Ba Não confndi podto po scala com podto scala Apsa d samos o msmo símbolo ( paa as das opaçõs, ls têm significados difnts, o sja: α (podto po scala o mltiplicação po scala, cjo sltado é m to (podto scala, cjo sltado é m númo al O msmo cidado dmos t com o podto toial Sabmos q não ist mltiplicação, nm diisão mito mnos potnciação nt tos Logo, não istm as notaçõs o Não confndi o podto scala ( o podto toial ( nt dois tos com mltiplicação nt tos Potanto,, pois,, 0 não ist 4 No início dst capítlo foi infomado q algns concitos não são aplicados não podm s intptados gomticamnt paa tos do plano (R q, d agoa m diant, ls são intodidos somnt paa tos do spaço (R Pois bm, o podto scala é m concito q s aplica aos tos do plano, da msma foma como é aplicado aos tos do spaço, mas o msmo não acontc com o podto toial o podto misto, os qais não tm intptação gomética no plano (ifiq!