TEOREMA DE TAYLOR 2! 1 1. (n) n (n 1) 0 + f x0 x x0 + f (c) x

Transcrição

1 (Tóp. Tto Complmta) TEOREMA DE TAYLOR TEOREMA DE TAYLOR S uma ução suas pimias divadas istm um itvalo abto I cotdo, sgu-s do toma do valo médio galizado (dado o tópico dsta aula), substituido a ou b po, a ómula d Taylo () paa m too d, dada po () = '( ) "( )! (c)! ( )! () od c stá t. Esta ómula pod s scita como od () = p () () p () ' "!! () = ( ) () = (c), ( )! st caso, p () é chamado d poliômio d Taylo d gau paa m too d () é dito o sto da ómula d Taylo à oma d Lagag. É lvat amia gomticamt a ómula d Taylo os casos m qu =. S = tão () = ( ) (c), assim p () = ( ) ta tagt ao gáico d m (, ( )) d () po p. () = (c). O gáico d p é a () é o o comtido a apoimação ()

2 (Aula 6) VALORES EXTREMOS E TEOREMA DO VALOR MÉDIO Y y=() () p () () y=p () O X S = tão () () = ( ) ( ) (c)( ), 6 daí p () = ' " () 6 d p é uma paábola tagciado o gáico d m (, ( )) () () = (c). O gáico é a mdida d quado o gáico d s aasta vticalmt da paábola m. No cício 5 do,, a citado do tópico da aula 7, podá s povado qu o poto paábola o gáico d s cuvam da msma oma. y=() p () () Y y=p () () O X S uma ução possui a ómula d Taylo m too d, tão isto, ( ) p ( ) () p () = = di d p po () paa, sá povado o toma sguit qu () p () paa póimo d a apoimação sá mlho quato mais póimo stiv d. Mais do qu isso, o toma mosta qu o sto () quado ; além disso, pova-s aida qu p é o úico poliômio com tal popidad. Potato, pod s apoimado (d oma úica) po p paa póimo d. mais apidamt do qu (), Toma (d Taylo). S uma ução suas divadas um itvalo abto cotdo, tão (i) (i=,,, ) istm

3 (Tóp. Tto Complmta) TEOREMA DE TAYLOR () p () lim = ( ) p é o úico poliômio qu satisaz o limit. Dmostação. Como ( ) () p () = c, tm-s ( )! ( ) () p () = (c) ; ( )! mas ( )! ( ) (c) ist, logo () p () ( ) (c) s. Isto mosta o limit. tal qu Paa mosta a uicidad d p, supoha qu ist outo poliômio p d gau () p () lim =. ( ) Etão, tm-s ( ) [ ] ( ) p () p () () p () () p () lim = lim =. Sdo p () p () paa algum, sja p () p () = q m () () od q m é o poliômio dos tmos d p p d mo gau m tal qu q m (). Potato, do último limit, obtém-s p t p t q m (t) (t) q m () (t) = lim = lim = lim ; t m m m m m m t t t t t mas () = paa todo s m= ou () tm gau maio do qu m s m<, (t) logo lim = assim q m m m () =, o qu uma cotadição. E coclui a dmostação t t do toma.

4 4 (Aula 6) VALORES EXTREMOS E TEOREMA DO VALOR MÉDIO O caso paticula da ómula d Taylo quado =, ou sja, () = () '() "()!! () () ( )! ( ) paa algum c t, é cohcida como a ómula d Maclaui () da ução. (c) Emplo Rsolvido. Apoima a ução g= atavés d um poliômio d gau 4 m too d. Solução. Como ( ) g'() =, 5 g"() =, = ( ) g = 9( ) 9 ( ) 5 ( ) () g () 9 5 tm-s 9, p 4 () = g() g '() g"() g () g () =!! 4! 8 () (4) 4 4 assim g p 4. Emplo Poposto. Pova qu 4 5 g () = m too d zo. A uicidad do poliômio d Taylo mosta qu um poliômio d gau é idticamt igual ao su poliômio d Taylo d gau m too d qualqu valo, isto pmit scv pssõs poliomiais d outas omas, coom ilusta o mplo a sgui. Emplo Rsolvido. Escv o poliômio =, como um poliômio d potêcias com bass iguais a. Solução. Basta cota a ómula d Taylo paa m too d -, pois ( ) = a pati d =, tão ()

5 (Tóp. Tto Complmta) TEOREMA DE TAYLOR 5 () = paa todo, isto é, () = p () paa todo. Tm-s Potato, ( ) ( 4 ) ' =, " = 6, = 6 =. () = ( ) '( )( ) "( )( ) ( )( )!! = ( ) ( 6)( ) 6( )!! = ( ) ( ) ( ). () Emplo Poposto. S () =, pova qu paa todo, 4 () = ( ) ( ) ( ) ( ). 4 Emplo Rsolvido. Dtmia a ómula d Maclaui da ução so. Solução. Sdo h = s, tm-s h () = cos, h () = s, h () = cos,..., () h ( ) ( ) = ( ) cos ( ) h () = ( ) s, =,,,, assim h ( ) = ( ) h ( ) ( ) =, logo s s cos ( s ) ( cos) s!! 4! cos 5 ( ) cos () 5! ( )! 5 = (), 6 ( )! = 4 od o sto da ómula d Taylo à oma d Lagag é dado po paa c stá t. ( ) (s c) () = ( )!

6 6 (Aula 6) VALORES EXTREMOS E TEOREMA DO VALOR MÉDIO Emplo Poposto. Dmosta qu paa c t, 4 6 ( ) ( ) s c cos =. 4 7 ()! ( )! EXERCITANDO Nos cícios a 8, cot o poliômio d Taylo d gau paa a ução dada m too do valo idicado. Ach também o sto da ómula d Taylo à oma d Lagag:. () =, = = 4;. g() =, = = ;. h() =, = = ; 4. j() =, = = 4; 5. m() = s cos, = = 5; 6. () = s cos, = = 5. Nos cícios 9, us poliômio d Taylo paa calcula o limit idicado: s cos 7. lim ; 8. lim. 8. Escva. 4 () =, como um poliômio d potêcias d bass iguais a 9. Us a ómula d Taylo paa mosta qu =. i. S = s, ach uma ução poliomial cúbica q tal qu q, q = m too d. i= i = = q, q =. Compa q com o poliômio d Taylo d gau RESPOSTAS (Ecícios Ímpas) 4 ( ) ( ) ( ) ( ). p4 () =, p () = ( ) ( ), () = ( ) com c t ; 4 56c c 4 5( ) () = com c t ; 9 8 (c ) = ( ) ( ) 6( ) 4( ) ( ) cosc s c 6 5() = com c t 7.. p (), 7 ;