Álgebra Linear e Geometria Analítica. 10ª aula

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Ana Carolina Veiga Ramires
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1 Álgbra Linar Gomtria Analítica 0ª ala

2 Vctors no plano Vctors no spaço Vctors m R n

5 ( +, + ) (, ) (, )

8 (k,k ) k (, )

9 Prodto intrno (, ); (, ). +

10 Prodto intrno norma (, ); (, ). + +.

11 Prodto intrno m R n (,,, 4..., n ); (,,, 4..., n ); n n n. i i i

12 Propridads do prodto intrno...( + w). +. w α(. ) (α).. (α)

13 Prodto intrno norma m R n (,,, 4..., n ); n L

14 EXEMPLOS (, 6, 0, -, 0, ) (-, 0,,, 0, -). (-) (-) (-)

15 EXEMPLOS (, 6, 0, -, 0, ) (-, 0,,, 0, -). (-) (-) (-) ( )

16 EXEMPLOS (, 6, 0, -, 0, ) (-, 0,,, 0, -). (-) (-) (-) ( )

17 Propridads da norma 0 > α α + + Dsigaldad trianglar. + Dsigaldad Cachy-Schwartz

19 + Dsigaldad trianglar

20 +

21 + S os ctors são prpndiclars, plo torma d Pitágoras:

22 + S os ctors são prpndiclars, plo torma d Pitágoras: + +

23 + ( + )(. + ) (. ) + + (. )

24 Ortogonalidad: Dfinição: Dois ctors são ortogonais s o s prodto intrno for nlo

25 Ortogonalidad: Dfinição: Dois ctors são ortogonais s o s prodto intrno for nlo Exmplo: (,,, 4) ; (-4, -,, )

27 α

28 α α é a projcção do ctor sobr

29 w α

30 C A tb+ C tb B

31 w α + w α. (α+ w). α. + w. α.

32 w α+ w α. (α+ w). α. + w. α. α...

33 w α+ w θ α

34 w α+ w θ α α α cosθ

35 w α+ w θ α α α. cos θ

36 Dfinição d projcção d m ctor sobr otro: Sjam ctors d R n A projcção d sobr é o ctor αsndo α...

37 Dfinição d ânglo d dois ctors: Sjam ctors não nlos d R n O ânglo ntr os ctors é θtal q cos θ.

38 Dfinição d ânglo d dois ctors: Sjam ctors não nlos d R n O ânglo ntr os ctors é θtal q cos θ. θ arccos.

39 Limits do alor d cosθ cos θ....

40 Exmplo: (,,,0, ) (,,, 6,0). 4 9

41 Exmplo: (,,,0, ) (,,, 6,0). 4 9 cosθ

42 Exmplo: (,,,0, ) (,,, 6,0). 4 9 cosθ θ π

43 Prodto xtrno Só s dfin prodto xtrno m R (,, ) (, ),, sn θ (, )

44 Prodto xtrno Só s dfin prodto xtrno m R ( ) ( ) ( ),,,,,, ( ),, ( ) ( ) ( ) 0,0, 0,,0,0,0

45 Rgra prática: ( ) ( ) ( ) "dt" 0,0, 0,,0,0,0

46 Rgra prática: (,0,0 ) ( 0,,0 ) ( 0,0, ) (,, ) ( 4,5,6) "dt" 4 5 6

47 Rgra prática: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "dt" 4,5,6,, 0,0, 0,,0,0,0 5 4 dt 6 4 dt 6 5 dt "dt" +

48 Rgra prática: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "dt" 4,5,6,, 0,0, 0,,0,0,0 ( ) ( ) ( ) 0,0, 0,,0 6) (,0,0 5 4 dt 6 4 dt 6 5 dt

49 Rgra prática: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "dt" 4,5,6,, 0,0, 0,,0,0,0 ( ) ( ) ( ) ( ),6, 0,0, 0,,0 6) (,0,0 5 4 dt 6 4 dt 6 5 dt "dt" +

50 Propridads do prodto xtrno: -( ) ( + w) + w α( ) (α).( ) 0.( ) 0 (. ) 0 linarmnt dpndnts

51 Propridads do prodto xtrno: O prodto xtrno não é associatio! Exmplo: ( )

52 Propridads do prodto xtrno: O prodto xtrno não é associatio! Exmplo: ( ) ( ) ( ) 0 0

53 Propridads do prodto xtrno: linarmnt indpndnts {,, } linarmnt indpndnt Qalqr ctor ortogonal a a é múltiplo d

54 Propridads do prodto xtrno: linarmnt indpndnts {,, } formam bas d R

55 Propridads do prodto xtrno: (. )

56 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ

57 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ

58 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ cos θ

59 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ cos θ ( cos θ)

60 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ cos θ ( cos θ) sn θ

61 snθ θ

62 snθ θ Ára do parallogramo: : snθ

63 Prodto misto O prodto misto só s dfin m R,, w R O prodto misto d, w é:.( w)

64 Rgra prática para calclar o prodto misto,, w R dt ).( w dt ).( w w w w

65 Propridads do prodto misto,, w R. ( w) 0 {,, w} linarmnt dpndnt.( w) ( ). w. ( w). (w ). ( w) -. (w ) -. ( w)

66 Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w.

67 Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w. S dfinm a bas, é a ára da bas

68 Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w. S dfinm a bas, é a ára da bas w cosϕ dá a altra, sndo ϕo ânglo ntr w

69 Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w. S dfinm a bas, é a ára da bas w cosϕ dá a altra, sndo ϕo ânglo ntr w Volm w cosϕ ( ). w

70 w

71 w

72 w

73 altra w

74 Altra w cosϕ w ϕ

75 Altra w cosϕ w ϕ Ára da bas

76 Bass ortonormadas Um conjnto d ctors diz-s ortogonal s os ctors form ortogonaisdoisadois. Um conjnto d ctors diz-s ortonormado s for ortogonal todos os ctors tirm norma nitária

77 Bass ortonormadas Um ctor q tir norma igal a mdiz-snitário. Dadomqalqrctornãonlo, é possíl constrir m ctor nitárioapartirdfazndo:

78 Como obtr ma bas ortogonal? Sja {,,..., n } ma bas d m spaço ctorial d dimnsão n. Obtém-s a partir daqi ma bas ortogonal {,,..., n } aplicando o chamado procsso d ortogonalizaçãod Gram-Schmidtq consist m:

79 Ortogonalizaçãod Gram-Schmidt

80 Ortogonalizaçãod Gram-Schmidt.

81 Ortogonalizaçãod Gram-Schmidt.....

82 Ortogonalizaçãod Gram-Schmidt. j n j j j n n n... M

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