CAPÍTULO 12. Exercícios a) z sen xy, x 3t e y t 2. 1.º Processo: z sen (3t 3 ) e daí dz dt. 2.º Processo: z x. dz dt. dx dt z. dy dt. .

Transcrição

1 CAPTULO Ercícios a) sn, 3t t º Procsso: sn 3t 3 ) daí d 9t cos 3t 3 ) º Procsso: d d d Tmos d cos ; 3; cos ; d t daí d 3 cos cos ) t, o sja, d 3t cos 3t 3 6t cos 3t 3, portanto, d 9t cos 3t 3 b) 3, sn t cos t º Procsso: sn t 3 cos t daí d sn t cos t 6 sn t cos t 4 sn t cos t º Procsso: d d d Tmos d ; cos t; 6; d sn t Sg q

2 d cos t6sn t, o sja, d sn t cos t6sn t cos t, portanto, d 4 sn t cos t 4 t, t) t 3 3t, t t d d d t; 3t 3 Tmos d d d Em, ), ), t t Portanto, t 3 t 3t, ), ) 0, ), ) O sja:, ), ) 5 a) 3, 3 ) arctg, para todo Sg q, para todo t, tmos, também, 3t, t 3 ) arctg t Driando m rlação a t, d Daí, d, ) arctg, ond 3t t 3 [ ] [ ], ) d d, ) d t, para todo t Para t, 3, 3 ) 3, 3 ) d Tndo m ista q, 3), rslta, 3) 6 b) Eqação do plano tangnt 9

3 0, 0) 0, 0) 0) 0, 0) 0) Em 3,, 3, )), 0 3, 0 3, ) arctg 4 Sbstitindo:,) 3 3),) 3 ), portanto, 4 3) ) Sja gt) Ê t,, t 0 Considrando t Ë t t, tmos d d g) t, ond d d, o sja, t g t ), ) t, ) Daí, para todo t 0, g ) È È t t t t t, ), ) por hipóts) Logo, g t), t 0 é constant Ê Considrmos F, ) {, { Ë, ) ; ;, ) ; ; Pla rgra da cadia: F F Ê Ë F d d F Ê Ë 9

4 93 Sbstitindo: F F È È Logo, F F 0 3, ), ond at bt Pla rgra da cadia, t t t a b,,, pois, 0 Sg q t a b 7 Sja g, ) ), ) ond g, ) ), ond Logo, Sbstitindo m g m: È g, ) ) 3 Sja,, ) para todo, ) Driando m rlação a : ) ) 0 Þ 0 0

5 94 Driando m rlação a : ) ) 0 Þ 0 Em,, ):,,, ),, ),, ), ) Portanto,,,, ), ) 4 Sja F,, ) { { {,, Ê Ë,, ) ; ; ; 0,, ) ; ; ; 0,, ) ; ; ; 0 Aplicando a rgra da cadia ando as sbstitiçõs connints, sg: F, F, F Então: F F F È È È daí

6 F F F 0 5 Sja F, t) 0, ond, ) Fando, sabmos q F π, ) 0 F Logo, ) π 0 [ F, )] 0, pois F, ) 0 Pla rgra da cadia F F F F F [, )] F Daí, Ê F F Ë π 0 Analogamnt: [ F, )] 0, pois F, ) 0 F F F F F [, )] { 0 π 0 Daí, F F Sbstitindo: F F 0 F F 6 a), ) é homogêna d gra, m A, s at, bt) t a, b) para todo t 0 para todo a, b) A, com at, bt) A Sjam at bt 95

7 Driando m rlação a t os dois mmbros d at, bt) t a, b): d d t a, b) { { a b Logo, a at, bt) b at bt t a b, ), ) t 0), at, bt) A b) Na rlação antrior ando t, a b, obtmos a rlação d Elr:, ), ), ) 7 Para cada a, b) m A, considrmos o maior intralo abrto I ] r, s ], com r 0, tal q at, bt) prtnça a A para todo t m I; tal intralo ist, pois A é ma bola abrta Obsr q t prtnc a st intralo Para cada a, b) m A, considrmos a nção at, bt) gt ), r t s t Vamos mostrar q gt) é constant igal a a, b), para todo t m I Daí sgirá at, bt) t a, b), para todo t 0 para todo a, b) m A, com at, bt) m A Para conclir q gt) é constant m I, plo ato d I sr m intralo, basta mostrar q gt) 0 m I Tmos d at, bt) t t [ ] at, bt) g) t, para t m I t Pla rgra da cadia d at, bt ) at, bt) a at bt b, ) [ ] Sbstitindo na driada acima, simpliicando lmbrando da hipóts, ), ), ), obtmos at bt) at at bt bt, ) at, bt) at, bt) g) t 0, para todo t m I t Logo, gt) é constant no intralo I Como g) a, b) prtnc a I, rslta at, bt) gt) a, b), para todo t m I Tmos ntão t at, bt) t a, b), 96

8 para todo t 0 para todo a, b) m A, com at, bt) m A O sja,, ) é homogêna d gra m A 9 A nção dada riica a qação rlação d Elr) porq tratas d nção homogêna d gra ) 3 Spondo dirnciál no abrto A homogêna d gra, tm-s: t, t) t, ) Driando m rlação a os dois mmbros: t t t t, ), ) t 0) Logo, t, t) t, ) Portanto, é nção homogêna d gra Ercícios 3 a) Sja F,, ) F é d class C no abrto A 3 Obsr q F 0, 0, 0) 0 F 000,, ) 0 Plo torma das nçõs implícitas, a qação din ma nção g, ) d class C nm abrto B do, com 0, 0) B A nção g, ) é dirnciál F,, ) F,, ) F,, ) F,, ) b) F,, )

9 F é d class C no abrto A 3 F F,, ) 0,, ) 0 Plo torma das nçõs implícitas, istirá ma bola abrta B d cntro, ) m intralo I, com 0 I, tais q, para cada, ) B, ist m nico g, ) I com F,, g )) 0 A nção g, ) é dirnciál F,, ) 3 F,, ) 3 F,, ) 3 F,, ) 3 4 F, ), ond ) F, ) são dirnciáis Driando m rlação a : d d [ ] d [ d F, ], o sja, F F, ), ) F È d F, ) d, ) d d F È F F d, ), ), ) d d d F, ) F F, ), ) o sja, d d F, ), F F, ), ) 5 a) g) é dirnciál no intralo abrto I dada implicitamnt por, ) 0 com, ) d class C Uma condição ncssária para q 0 sja ponto d máimo local d g é q g 0 ) 0 Driando m rlação a,, ) 0 tiliando a rgra da cadia) tmos 98

10 g g, ), ), ) ) 0 daí ), pois, por hipóts,, ) π, ) 0 m D Como g 0 ) 0 0, 0 ) 0 rslta q 0, 0 ) 0 é condição ncssária para q 0 sja ponto d máimo local d g b) g ), ), ) Driando noamnt, tiliando rgra da cadia, sg: Ê g ) g ) Ê Ë Ë g ) Ê Ë Sbstitindo g) por s alor: g ) g ) È Ê / È Ê / Ë / Ë / Ê Ë Ê Ë 3 Ê Ë Ê Ë Como, ) é sposta d class C, admit driadas parciais d ordm contínas Então g ) é m qocint d nçõs contínas contína Ê Ë 0m D, logo, g é ma nção c) Uma condição sicint para q 0 sja ponto d máimo local d g é q g 0 ) 0 g 0 ) 0 99

11 Sg ntão dos itns a) b) q 0, 0 ) 0 Ê Ê Ë Ë 0 m 3 0, 0) Ê Ë é ma condição sicint para 0 sr ponto máimo local d g) 7 São dados, ) 0,,, 0 constant, com, ), ) dirnciáis, ) 0 Qrmos mostrar q Driando m rlação a dpois m rlação a os dois mmbros da qação, ) 0, obtmos Ê 0 Ë Ê 0 Ë Mltiplicando a primira qação por, a sgnda por, somando mmbro as qaçõs obtidas lmbrando q, ) 0, rslta Ê Ë 0, portanto, Obsr q plos dados dmos tr obrigatoriamnt 0) a) F, G), ) é o dtrminant jacobiano d F G m rlação a Sndo F,, ) G,, ), tmos F F F, G) ), ) G G 00

12 b) Sndo 3, ), ) 0 c) Sndo r 3s t r s 3t, ), r s) r r s s 3 r s s 6r s3r) d) Sndo r 3s t r s 3t, ) s t 3 t 8t 4st t 9 s), s t) s 6t s t 0