Pág , isto é, é o número Pretende-se mostrar que x [ ] f ( x) Seja h a restrição da função f ao intervalo ],0].

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1 Fca d tst global Dado um spaço d rsultados E, fnto, s os acontcmntos lmntars form quprovávs, a probabldad d um acontcmnto A ( E quocnt nr o númro d casos favorávs ao Pág P, é gual ao acontcmnto A o númro d casos possívs O númro d casos possívs é gual a A, sto é, é o númro d manras dfrnts d scolr um par d cors dfrnts d ntr as ss cors dsponívs para pntar as facs [ BCE ] [ FGH ] O númro d casos favorávs é gual a, ou sja, só á uma manra d pntar a fac [ BCE ] d vrd a fac [ FGH ] d branco Atndndo à rgra d Laplac, a probabldad pdda é A Númro d casos favorávs: C C C Duas facs quadrangulars Duas facs trangulars Númro d casos possívs: C Duas facs pntagonas Atndndo à rgra d Laplac, a probabldad pdda é gual a Dsgnando por A o acontcmnto «o funconáro rsd a mnos d km do local ond a mprsa s stua» por B o acontcmnto O funconáro é uma mulr, vm qu a probabldad pdda é P( A B Do nuncado, sabmos qu, dos funconáros dsta mprsa, a quarta part rsd a mnos d km do local ond a mprsa s stua, ou sja, P A mtad são mulrs, ou sja, P( B dos omns, um quarto rsd a mnos d km do local P A B ond a mprsa s stua, plo qu, ( Tm-s qu: P( A P( B A P( B A P( B P( A B P( A B P( A B P( A B P( A B Portanto, a probabldad pdda é gual a Dos funconáros dsta mprsa, a quarta part rsda a mnos d km do local ond a mprsa s stua Como a mprsa tm funconáros, o númro d funconáros qu rsd a mnos d km do local ond a mprsa s stua é, pos, o númro d funconáros qu rsd a km ou mas do local ond a mprsa s stua é 9 O númro d manras dfrnts d s formar uma comssão com, plo mnos, quatro dos funconáros a rsdrm a mnos d km do local ond a mprsa s stua é C C C C C C Prtnd-s mostrar qu [ ] f (, : Pág Sja a rstrção da função f ao ntrvalo ],] Assm, D ],] ( A função é contínua por sr dfnda plo produto soma d funçõs contínuas (função ponncal funçõs poomas Logo, é contínua no ntrvalo [ ] Por outro lado, tm-s qu:,, D Como ( <, < ( é contínua m [ ],, plo Torma d Bolzano, podmos garantr, qu a quação (, tm plo mnos uma solução no ntrvalo ],[ Portanto, como é uma rstrção da função f ao ntrvalo ],] ],[ [, ] ],], podmos conclur qu a quação f (, tm plo mnos uma solução no ntrvalo [,] A função f é contínua m R \ { }, plo qu apnas a rta d quação pod sr assíntota vrtcal ao gráfco d f lm f f lm Portanto, a rta d quação é a únca assíntota vrtcal ao gráfco d f Assíntotas não vrtcas ( m b Em ( lm f lm lm ( lm lm A rta d quação é assíntota orzontal ao gráfco d f m S,

2 Fca d tst global Em : ( f m lm lm lm lm lm lm lm ( b lm lm ( lm lm lm ( Portanto, a rta d quação é assíntota ao gráfco d f, m f ( ( ( ( ( ( f f f ր ր ց Má A função f é strtamnt crscnt m ],] m [, ] é strtamnt dcrscnt m [, [ Tm um 7 f mámo rlatvo gual a ( D ], [ g a função g é contínua Assm, a únca possívl assíntota vrtcal é a rta d quação lmg lm Portanto, a rta d quação é assíntota ao gráfco da função g Assntotas não vrtcas ( m b : g m lm lm lm lm lm b lm lm Como Dg f lm lm R, a únca assíntota não vrtcal do gráfco d g é a rta d quação ( ( f f lm ( lm lm lm lm lm lm f Portanto, ( Sja r a rta tangnt ao gráfco d f no ponto d abcssa Para, tm-s qu: f O dclv d r é f f O ponto d coordnadas (, prtnc à rta r Um vtor drtor tm coordnadas (, já qu o dclv d r é gual a,, k,, k R é uma quação Assm, vtoral da rta r Para, f ( S,

3 Fca d tst global f f ց ր Mín Má A função f é strtamnt dcrscnt m, é strtamnt crscnt m, Tm um mínmo rlatvo gual a para para um mámo rlatvo gual z z ( ( z z z z Vamos scrvr o númro complo na forma trgonométrca Pág Sndo θ Arg, vm tanθ θ º Q, ou sja, tanθ θ ºQ, plo qu, θ Assm, z z z z z z cos sn z z Portanto, z na forma trgonométrca é gual a forma algébrca é gual a z z, como z, vm qu: na z z cos sn z z z z 9 Sndo Arg ( z θ, tm-s portanto, θ Assm, z z z tanθ θ º Q, z, logo: z z 7 7 z z 7 k z, k,, 7 7 z z z 7 Tndo m conta qu o trângulo [ RQS] é rtângulo m Q dado qu o ângulo RQS é nscrto numa smcrcunfrênca: RQ RQ cosα cosα RQ cosα RS Atndndo a qu o trângulo [ PQR ], rtângulo m P, vm: RP RP cos cos RP cos RQ cosα α α α PQ PQ snα snα RQ cosα PQ snαcosα PQ sn α Ára do trângulo [ PQR] Portanto, A( α cos αsn( α 7 Para α, A ( α cos αsn( α ( α cos α sn RP PQ, ond α, ( cos α sn ( α cos α ( sn( α ( cosα cosα sn α cos α cos α cosα snα sn α cos αcos α snαcosαsn α cos αcos α snαcosα snαcosα cos α cos α sn α ( sn α sn αcos α cos α sn α sn α cos α sn α sn α cos α

4 Fca d tst global A ( α α, cos α sn α α, cos α sn α α, cosα sn α α, cosα snα snα α, α α A A ր ց Má A ára do trângulo [ PQR ] é máma quando Para [,], tm-s qu: α cos cos, pos a função ponncal,, é strtamnt crscnt cos cos Portanto, f ( D f, Para [,], tm-s qu: f cos cos ( ( ( cos cos cos sn f cos [,] [ ] [ ] cos sn sn, cos sn sn, cos sn( [,] cos ( sn [,] cos ( sn [,] ( sn cos [,] ( cos lm f tan lm tan sn cos lm ( cos cos lm sn cos cos lm sn lm cos lm Portanto, f ( lm tan 9 Vamos scrvr na forma trgonométrca θ, tm-s qu Sndo Arg ( tanθ θ º Q, plo qu θ Assm, tmos qu z: θ ( r θ θ z r r Escrvndo w na forma trgonométrca, tmos w θ z w r θ k, r θ k, r θ k, r θ],[ r θ k, θ Assm, s z w, tmos qu r θ Pág 7 Sab-s qu no nstant ncal ava coots, plo qu P ( P( A A A A ( A A A A Portanto, A cos S,

5 Fca d tst global Tm-s qu mss corrspond a, anos, portanto, prtnd-s dtrmnar P(, P( Assm, vm: P(, P (,, 79, O aumnto fo d coots Prtnd-s dtrmnar t tal qu P( t P( t P( t t t t, pos t R, k t t t t t t t t Portanto, o númro d coots trplcou ao fm d, apromadamnt, anos Tm-s qu D DA A, como DA CB, vm: D DA A D CB A (,, ( B C A,,,,,, A (,, (,, A A (,, Portanto A (,, Volum da prâmd [ ABCDV ] BC MV ára da bas altura M é o ponto médo d [ BD ], dtrmnmos as suas coordnadas M,, M (,, MV V M,7,,, MV ( ( ( BC Assm, volum da prâmd [ ABCDV ] é MV (,, ABC: z d Como A(,, é um vtor normal d ABC ABC, tmos d d ABC: z z V 7 Númro d casos possívs: C (númro d manras d scolr cors, d ntr Númro d casos favorávs: 9 C (dpos d slconada a cor vrmla, é ncssáro scolr mas cors, d ntr as 9 rstants Portanto, a probabldad pdda é, por aplcação, da rgra d Laplac: C 9 C

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