E X A M E ª FASE, V E R S Ã O 1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O

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1 Prparar o Eam 05 Matmática A E X A M E 0.ª FASE, V E R S Ã O P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O. Tm-s qu P A P A P A GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 0, 0, 0,. Assim: P B A PB A 0,8 0,8 PB A 0,8 0, PB A 0, 8 P A Como PB A PB P A B, vm PB P A B PB PB 0,8 0, 0,8 0,8 Rsposta: C. Vamos comçar por scolhr sis posiçõs ntr as dz para colocar os algarismos. O númro d maniras d o fazr é 0 C. Para cada uma das quatro posiçõs rstants podmos colocar qualqur um dos rstants oito algarismos (os rstants algarismos podm-s rptir, por mplo, o númro 8999 satisfaz as condiçõs dst problma). Assim, as rstants quatro posiçõs podm sr ocupadas d 8 A 8. Portanto, istm 0 C 8 númros nas condiçõs do nunciado. Rsposta: A. Tm-s qu lim n lim 0. Assim, pla dfinição d limit sgundo Hin, vm: n lim lim lim 0 f 0 0 n f 0 Rsposta: C. A função f é contínua m, pois é soma ntr funçõs contínuas m. Portanto também é contínua m 0,. Assim, a função f tm um zro m 0, s f f Tm-s 0 0 : 0 f 0 f 0 k 0 k 0 k k 0 k k 0 k k 0 k k 0 k 0 k 0 k 0 k Eam 0.ª Fas, vrsão Proposta d Rsolução

2 Prparar o Eam 05 Matmática A Como a função inquação k k k é quadrática o su gráfico tm a concavidad voltada para cima, ntão as soluçõs da k 0 são os valors d k tais qu k,0. k k 0 k 0 Outra rsolução: Tm-s qu f 0 k 0 k f k k. S k 0, ntão f 0 k 0 f k 0 portanto, o corolário do Torma d Bolzano não garant a istência d um zro d f m Assim, k é ncssariamnt ngativo. Logo, f 0 k é ngativo portanto f k 0. Então: 0,. k 0 k 0 k 0 k k,0 Rsposta: B a f a a a 5. Tm-s qu ln ln ln ond pod star rprsntado o gráfico d f é a IBI.. Logo, f 0 0,. A única opção Rsposta: B. Como a rta r é prpndicular ao plano s um vtor dirtor da rta r for colinar com um vtor normal do plano. Um vtor normal do plano pod sr n,0,. Assim, a única opção ond pod star rprsntada a rta r é a IDI, pois um vtor dirtor da rta dfinida por z é r,0,. 7. As coordnadas do ponto B são dadas por cos,sn, assim como cos 0 sn 0 vm BC sn OC cos. Logo: Rsposta: D, pois,, CD BC A BCD OD OC BC cos sn cos sn Rsposta: C Eam 0.ª Fas, vrsão Proposta d Rsolução

3 Prparar o Eam 05 Matmática A 8. O polígono ABCDEF é um hágono rgular, portanto os sus vértics são as imagns gométricas das raízs stas d z. Além disso, i. Assim: AOB ˆ BOC ˆ FOA ˆ. Como C, i, C é a imagm gométrica d Sja um argumnto d i. Tm-s portanto i cis. tg.ºq. Logo, Assim, o númro complo cuja imagm gométrica é o vértic E é 7 cis cis. Rsposta: D GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA... i. Sja um argumnto d i. Tm-s.ºQ. Logo,. tg i. Sja um argumnto d i. Tm-s. tg.ºq. Logo, Assim: cis cis z z cis 8 cis cis cis cis cis 8 8 cis cis cis Eam 0.ª Fas, vrsão Proposta d Rsolução

4 Prparar o Eam 05 Matmática A z é um imaginário puro s o su argumnto for da forma k, k. Assim: z k k, k k, k, k 8 5 Logo, ( k 0 ) ou ( k ) Sja z a bi com ab,. Tm-s: z z 0 a bi a bi 0 a b a b 0 a a b a a b 0 a b 8 a b Como a b 0, ab, 0, ntão a b a b z. z Outra rsolução: Tndo m conta qu z z z z w z w, zw,, vm: z z 0 z z z z 0 z z z z 0 z z z z 0 z z z z z z z z 0 z z 8 z z z z 0... Para rsolvr st itm, vamos utilizar o acontcimnto contrário. O acontcimnto contrário a A: «as três bolas rtiradas não são todas da msma cor» é A : «as três bolas rtiradas são todas da msma cor». O númro d casos possívis é 9 C, das novs bolas scolhm-s três. O númro d casos favorávis ao acontcimnto «as três bolas rtiradas são todas da msma cor» é C, das sis bolas prtas scolhm-s três (para s rtirarm três bolas da msma cor stas só podm sr prtas, pois só há duas brancas uma amarla). Portanto, a probabilidad pdida é P A P A C. 9 C Eam 0.ª Fas, vrsão Proposta d Rsolução

5 Prparar o Eam 05 Matmática A.. Até sair uma bola prta, podm sr rtiradas, uma, duas, três ou quatro bolas. Portanto, a variávl alatória X pod tomar os valors 0,,, isto é X,,,. Assim: P X (a primira bola rtirada é logo uma d cor prta) 9 8 P X (a primira bola rtirada não é prta a sgunda é prta) P X (a primira bola a sgunda bolas rtiradas não são prtas a trcira é prta) P X (a primira bola, sgunda trciras bolas rtiradas não são prtas a quarta é prta) Logo, a tabla d distribuição d probabilidads da variávl alatória é dada por: i P X i. No contto do problma P A B dsigna a probabilidad d o númro rgistado no primiro lançamnto sr ngativo, sabndo qu o produto dos númros rgistados nos dois lançamntos é positivo. Assim, s o produto dos dois númros rgistados nos dois lançamntos é positivo, ntão ou os dois númros são positivos ou os dois númros são ngativos. Portanto o númro d casos possívis é 0,,,,,,,,,,,,,,, ou, 8,, (podm tr saído as combinaçõs ). O númro d casos favorávis é, sair a combinação,, é a única combinação m qu o númro rgistado no primiro lançamnto é ngativo. Logo, pla P A B. 0 rgra d Laplac. é a amplitud do ângulo AHC, ou sja, é a amplitud ntr os vtors HA HC. Assim: HA HC cos cosha HC HA HC Eam 0.ª Fas, vrsão Proposta d Rsolução 5

6 Prparar o Eam 05 Matmática A Como HA A H,0,0,, 0,, HA C H 0,,0,,,,, vm: 0 0,,,, cos 0,,,, 9 7 Portanto: sn cos sn cos sn sn sn A função f é contínua m s lim f lim f f. Assim: 0 0 i) 0 0 lim f lim lim lim lim 0 lim lim lim i) Mudança d variávl: S ntão 0. Sja, 0. f lim lim ln ln ln f ln ln Logo, como lim f lim f, f não é contínua m. 5.. Como a rta d quação b, com b é uma assíntota oblíqua do gráfico d f, quando. Assim, o dcliv da assíntota é igual a, plo qu b é dado por: b lim f lim ln lim ln lim ln ln lim ln ln Eam 0.ª Fas, vrsão Proposta d Rsolução

7 Prparar o Eam 05 Matmática A ln ln 0 ln Logo, b ln. Outra rsolução: b lim f lim ln lim ln ln lim ln lim ln lim ln ln ln 0 ln... Tm-s qu f f f lim. Assim: f f f f f f lim lim lim f sn sn 0.. f cos f 0 cos 0 cos k, k k, k k, k k, k Para, tm-s ( k 0 ) Eam 0.ª Fas, vrsão Proposta d Rsolução 7

8 Prparar o Eam 05 Matmática A Fazndo um quadro d variação do sinal da função f, vm: f n.d. 0 0 n.d. f n.d. p.i. p.i. n.d. Para,, o gráfico da função f tm a concavidad votada para baio m,, tm a concavidad votada para cima m, m, tm pontos d inflão m m. 7. Como o ponto B prtnc ao gráfico d f tm abcissa ngativa, as suas coordnadas são do tipo,0. Assim, BC ABC, m função d, é dada por: AC f f ln A ABC, f, com. Portanto, a ára do triângulo BC AC ln ln A abcissa do ponto B é o valor d,0 tal qu: ln A ABC 8 8 ln Utilizando o ditor d funçõs da calculadora, dfin-s,0 0,0 ln na janla d visualização ln ln a, com a,7. Logo, Portanto, a abcissa do ponto B é, aproimadamnt,,7. a O Eam 0.ª Fas, vrsão Proposta d Rsolução 8

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