Memorize as integrais imediatas e veja como usar a técnica de substituição.

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1 Blém, d maio d 0 aro aluno, om início das intgrais spro qu vocês não troqum as rgras com as da drivada principalmnt d sno d sno. Isso tnho dito assim qu comçamos a studar drivada, lmbra? Mmoriz as intgrais imdiatas vja como usar a técnica d substituição. Aprsntamos Equaçõs Dirnciais como aplicação da intgral. Você trá oportunidads para studar EDO m disciplina spciica. Lmbrando a data da ª avaliação qu oi antcipada para quarta-ira dia 7/0/0. Qualqur dúvida procur as pssoas qu podm lh ajudar. Bons studos. S ncontrar rros, avor m avisar. AULA Intgral Indinida (página 60) Primitivas (página 0) Tm situaçõs ond você conhc a drivada da unção qur sabr qual oi a unção qu a originou. Por mplo, um Físico conhcndo a vlocidad d uma partícula pod dsjar sabr sua posição (spaço) qu s ncontra m um dado instant. Um Engnho qu pod mdir a taa d variação do volum d água qu scoa d um tanqu qur sabr a

2 quantidad d volum d água qu scoa durant um príodo d tmpo. Um Biólogo qu conhc a taa sgundo a qual uma população d bactérias stá crscndo pod qurr dduzir qual o tamanho da população d bactéria m um crto momnto (tmpo) uturo Indpndnt da proissão, m cada situação o problma ncontrar uma unção F cuja drivada é uma unção conhcida. S ssa unção istir la é chamada primitiva d. (tto traído do livro tto, página 0). Dinição da primitiva - Uma unção intrvalo I D s F F é dita uma primitiva d num I F, (.) Primitiva F d não é única. D ato: Sjam F F G G duas primitivas da unção por dinição valm as igualdads: ou sja F Pla propridad da drivada F G G F G 0 F 0 G 0 F G I Isto é, pla propridad das drivadas concluímos qu Logo F G, para alguma constant. G, I constant F. para I ntão As duas unçõs primitivas dirm d uma constant. omo istm ininitas constants, as primitivas não são únicas. Dssa orma, toda vz qu dtrmina primitiva d uma unção conhcida, acrscnta-s uma constant arbitrária. Mais adiant vrmos como dtrminar o valor dssa constant,

3 Torma (pág ). S F é primitiva d m um intrvalo I, ntão a primitiva mais gral d m I é: ond é uma constant arbitrária. F (.) A colção d todas as primitivas d unção Indinida d dnotada por chamamos d Intgral s F d F, I. (.) Notaçõs noms: símbolo da intgral é chamada o intgrando d é dirncial d é a constant d intgração. S tivrmos t ntão a notação é: Ou s t dt Ft, s somnt s Ft t t I D, ntão a notação é: d F, s somnt s F, I D É important obsrvar a variávl da intgração. Problma. Uma partícula mov-s m uma rta tm aclração dada por a t 6t. Sua vlocidad inicial é v 0 6cm / s 0 cm. Encontr sua unção posição st s 9 s., su dslocamnto inicial é

4 Solução: Tmos a t 6t, v 0 6cm / s s 9cm a dv t t vt vt dt t ds st. dt omo v t at 6t a primitiva d t omo v t v 0 6cm / s substituindo 0 Assim a prssão da vlocidad é a é t 6 t t t t m t v obtmos: cm / s 6cm s v / 0 sabmos qu Para ncontrar s t, como v t t t 6 s Basta achar a primitiva da vlocidad qu é s t Para dtrminar o valor d, basta usar Assim a unção posição é: Tst: s t vt t t 6 t t 6t t t 6t t st t t 6 s 0 9cm s cm s t t t 6t 9 v v cm / s a t vt 6t v t at 6t

5 Intgrais imdiatas (I) n, n, s n 0, R Rsposta: F, R n n * *, n, s n 0, R Rsposta: F, R Rsposta: F sn Rsposta: F Rsposta: F sn, 0 Rsposta: F n n n (.) ln pois como 0 s 0 0 tmos ntão ln ln 0 ln ln ln ln 0 Propridads da Intgral Indinida Intgral do múltiplo scalar d uma unção. d S k é uma constant ntão d k k (.) Intgral da soma /ou dirnça gd d d Emplo.. alcul: (a). Rsposta: F porqu F 0

6 (b) d. Rsposta: d 9 y y (c) y dy. Rsposta: y dy (d) yz d () yz dy () yz dz. Rsposta: yz d yz. Rsposta: yz dy y z y. Rsposta: yz dz yz z Obsrvou a dirnça dos mplos (d), () ()? Emplo.. Mostr qu: (a) d 0 D ato: omo ntão usando a rgra da potência para intgrais tmos: 0 o d d d 0 (b) kd k Rsposta: Basta usar a primira propridad acima o itm (a) Primitivas imdiatas (II) a kd k a Rsposta: F, a 0 sna Rsposta: a Rsposta: F a d k a F, a 0 (.) a sn a a, a 0 6

7 Técnica d Intgração por substituição ou mudança d variávl. Para achar quando a prssão da unção d or uma das vista acima é simpls achar a primitiva mas, gralmnt a unção é rsultado d composiçõs d unçõs conhcidas d modo qu a intgral não é imdiata. Quando isso acontc, aplamos para as técnicas d intgração. A primira é chamada técnica d substituição ou mudança d variávl. Esta técnica consist m substituir uma prssão d por outra ltra por mplo u u cujo dirncial é du ud m unção d (aula ) d modo qu s u tmos a unção composta u u rscrita agora ond Eu D ntão val u ud udu Fu Fu (.6) Sndo F primitiva d. Quando usar a Técnica d Substituição? Simpls, basta obsrvar qu m (.6) a prssão dnotado por u qu contém, a sua drivada d. Evidntmnt, nm toda substituição rcai na imdiata. u u aparc multiplicado por Emplos. alcul as intgrais abaio: a) d. Rsposta d Solução. Usando a substituição sja u ntão du d daí du d d modo qu Tst: b ) sn Solução. Sja d u u d du 0 u ntão du d daí. du d d modo qu 7

8 du sn d snu snu du u Tst: c) Solução: Sja sn d u ntão daí sn du d d modo qu d d u du snu sn d) d Solução: Sja u ntão du d daí du d assim 6 d u 6 d 6 6 udu 6 u u du Tst: ) sn d Solução : Sja u sn ntão du d d modo qu Solução : Sja u sn sn d udu u ntão du snd d modo qu. O qu signiica qu sn u sn d udu sn d. 8

9 Outras tablas d primitivas trigonométricas hiprbólicas sc Rsposta: F tg sctg Rsposta: F sc Rsposta: F sn arcsn Rsposta: F tg arctg snh Rsposta: F h (.7) h Rsposta: F snh Emplos. Mostr qu: ) sc tgd sc Solução: Usando a técnica d substituição a dmonstração é muito simpls. Sabmos qu sn sc tg d modo qu sctg Sja u ntão du snd ntão sc tg d sn du d u u sn u du u sc. g) d arcsn sn Solução. Usando a idntidad trigonométrica. sn tmos sn, Sja sn ntão tmos d d modo qu d 9

10 d con d d Para voltar a variávl, como sn tmos arcsn sn. Portanto d arcsn. Obsrvação. S tivéssmos scolhido sn, tríamos d modo qu d sn d sn. Substituindo na intgral d sn sn d d Voltando para variávl, como tmos arc tríamos d arc Qual a vrdadira primitiva d Ercícios: Mostr qu a) d sn b ) sn d sn d d) d d? Rsposta: a duas ou sja d arcsn c) arc Ercícios: alcul ) d ) Rsp. F d Rsp. F 0

11 ) d Rsp. F ) d Rsp. F ) d Rsp. F sn 6) d Rsp. F ln, pois 0. 7) d Rsp. F 8) d Rsp. F 9) d 0) sn ) ) ln d sn d d ) d. Sugstão: ) sn ) ln d d Rsp. F ln Rsp. F sn Rsp. F ln Rsp. F ln sn arctg. Rsp. F sn. Rsp. F arctg 6 Rsp. F ln 6

12 Equaçõs Dirnciais Ordinária d ª ordm. omo a naturza varia tanto no tmpo como no spaço, os modlos matmáti nvolvm quaçõs qu contém drivadas d unçõs dsconhcidas. Essas quaçõs são chamadas d Equaçõs Dirnciais. Para unçõs d uma variávl a quação é dita Equação Dirncial Ordinária EDO. No caso d primitivas, qu conhcmos a primira drivada a quação é dita Equaçõs Dirnciais Ordinárias d ª ordm. Você trá uma simpls plo método d sparação d variávis. Notação. Sja y unção dsconhcida omo conhcmos d y numa EDO d d ª ordm você pod ncontrar além da y, a própria y dsconhcida a unção d. A notação gral da EDO d ª ordm d coicints variávis é: Quando a a ; b b Quando 0 0 tmos a EDO d coicints constants a y by c 0, a 0 c a quação é dita homogêna. Físicamnt, a quação studa nômnos qu não tm ont nm sumidouro, caso d problmas studados num laboratório ond você tm control da situação. Quando 0 c a EDO é dita quação não homogêna. Em qualqur das situaçõs isolando o trmo y no primiro mmbro as EDO d ª ordm pod sr dnotado por: Sndo, y by c ou, y a Vamos rsolvr algumas quaçõs. Emplo Ach solução gral d y, y a y y 0 dy Substiuindo y por notação d Libniz a EDO ica: d dy y d by c py q Sparando variávis, diando no primiro mmbro a variávl dpndnt y no sgundo mmbro a variávl indpndnt.

13 Passando o símbolo da intgral tmos: Intgrando mmbro a mmbro obtmos: ln Para achar a unção dsjada como dy y dy y d d y y 0 o, 0 Tirando a barra da unção módulo, a prssão acima é vrdadira para qualqur ral y, R Tst: drivando y m ambos os mmbros usando a drivada implícita m y rsulta y substituindo da quação y y 0 tmos: Emplo Ach solução gral d y 0 Solução: Usando a notação d Libniz Sparando variávis Intgrando mmbro a mmbro dy d dy d y dy d y Tst: Drivada implícita d y no primiro mmbro no sgundo mmbro a drivada m, tmos: y 0

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