Matemática IME-2007/ a QUESTÃO. 2 a QUESTÃO COMENTA

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1 Matmática a QUESTÃO IME-007/008 Considrando qu podmos tr csto sm bola, o númro d maniras d distribuir as bolas nos três cstos é igual ao númro d soluçõs intiras não-ngativas da quação: x + y + z = n, na qual x, y z rprsntam as quantidads d bolas colocadas nos cstos vrd, amarlo azul, rspctivamnt. Rprsntando cada bola por um traço vrtical (I), uma possívl solução sria: (; 0; n ) Como cada prmutação dsss n + objtos (n traços sinais +) gra uma solução nãongativa, o númro d soluçõs é: n, ( n + )! n + Pn + = =! n! n + Nas opçõs, dvmos considrar A) opção corrta. n + ao invés d A). Caso contrário, não há Rsposta corrta: A a QUESTÃO

2 IME-007/008 Considrmos as 8 pirâmids obtidas congrunts à pirâmid sguint: Para formar um octodro, dvmos agrupar as 8 pirâmids obtidas (são 8 vértics) m dois blocos d 4, d modo qu cada bloco form uma pirâmid maior cuja bas é formada justapondo os ângulos rtos (vja figura sguint). O octodro é obtido colocando as duas pirâmids (idênticas à antrior) uma sobr a outra, d modo qu as bass (quadrados d lado a) coincidam. Assim, a ára (S) da suprfíci xtrna do octodro é quivalnt à ára d 8 triângulos quilátros d lado a. Daí, i) a = a + = ii) S = 8. a a S S 4 = =. = Rsposta corrta: B a QUESTÃO

3 IME-007/008 Considr a figura sguint rlativa ao problma, na qual foi criado um sistma d coordnadas ortogonais com origm m C. i) Equação rduzida d r: y = tg0 o x + (r) y = x + ii) r s = { R} R( ; + ) iii) a rta u passa nos pontos R( ; + ) C(0, 0): + 0 y 0 = (u) y = x x 0 0 α Daí, o coficint angular d u é igual à tg ( 80 ) =. Como tg α tg 80 α tg α =, = Rsposta corrta: C 4 a QUESTÃO

4 IME-007/008 i) Todos os lmntos da ª linha são iguais a log x. Isolando-o, obtmos: log x. log6x logx cos x log x = 0 Daí, log x = 0 x = 0 0 = ou log6x logx cos x log x = 0 ii) Aplicando a rgra d Chió nss último dtrminant, ficamos com: (logx log 6x) (cos x log 6x) = 0 (log x ) (logx log6x) (log x ) = 0 Daí, logx = log6x x = 6x x = 0 (não convém) ou log x = x = 0 = 0 log x = ou ou log x = x = 0 = 0, Portanto, a soma das raízs é , =, Rsposta corrta: E 5 a QUESTÃO Sndo y, y y as raízs da quação dada fazndo y = k, tmos k + 5x + k + 8 = 0, cujas raízs k, k k são tais qu: i) k k + k k + k k = yy yy ( yy) ( ) + ( ) + = 4

5 5 ii) k + k + k = y + y + y = 5 Daí, IME-007/008 ( ) = ( ) + ( ) + y + y + y ( 5 ) y y y.[ yy ( yy yy y + y + y +.[] = 5 y + y + y = Rsposta corrta: C ( ) = 5 ] 6 a QUESTÃO Tmos qu: T =T +T T =T +T Somando mmbro a mmbro as igualdads acima, obtmos: i) T = T8 + T9 T9 = T9 = 48 ii) T 0 = T 8 + T 9 T 0 = = 6765 Daí, T = T 0 + T T = T = 77 Rsposta corrta: C 7 a QUESTÃO 5

6 IME-007/008 Supondo F ral (todas as opçõs são rais), os númros complxos conjugados S = bi S = bi dvm sr raízs da quação dada. Sndo S = r a outra raiz, plas rlaçõs d Girard, tmos: 6 bi + ( bi) + r =, + μ m qu u. Daí, r = 6 + μ. Substituindo s = r = 6 + μ na quação original, obtmos: ( + μ) = 0. Então, + μ + μ + μ = 0 = ( + μ) ( + μ) + μ + μ Portanto, u = 9. Rsposta corrta: D 8 a QUESTÃO A quação dada é quivalnt a: (x x) + (4y 6y) = 7 tg α (x 4x) + 4(y 4y) = 7 tg α (x ) + 4(y ) = 7 tg α (x ) + 4(y ) = tg α Como (x ) (y ) são maiors ou iguais a zro (bass rais), a quação rprsntará o único ponto x = 0 y = 0 x = y = P(, ) somnt s tg α = 0, isto é, tg α =. 6

7 IME-007/008 Portanto, xistm dois valors para α [ 0, π]: um no o quadrant π 4 o outro do o quadrant 5π 4. Rsposta corrta: C 9 a QUESTÃO Como as diagonais d um losango cortam-s mutuamnt ao mio são prpndiculars, tmos qu as rtas (r) x + y + = 0 (s), suports das diagonais BD AC, rspctivamnt, são prpndiculars. Daí, i) (s) x + y + k = 0 (not: m r = ; m s = m r.m s = ) ii) A(8, ) s 8 + ( ) + k = 0 k = (s) x + y + = 0 iii) r s = {M}: x+ y+ = 0 x+ y+ = 0 x = y = 5 M(, 5) iv) x M = x x x A + C C = 8 + xc = 4 7

8 v) y M = y y y A + C C = 5 + yc = 8 Portanto, C( 4, 8) Rsposta corrta: D IME-007/008 0 a QUESTÃO Como L, D U são matrizs triangulars, sus dtrminants são os rspctivos produtos dos lmntos da diagonal principal. Daí: i) dt(l) =..... nn ii) =.... n n = dt(d) = d. d..... d nn = n n = n + = n + iii) dt(u) = u. u..... u nn =.... n n Como L, D U são quadradas d msma ordm, val o torma d Bint: dt(a) = dt(l.d.u) = dt(l).dt(d).dt(u) =.(n+). = (n+) portanto, dt(a) = n+ Rsposta corrta: D 8

9 a QUESTÃO IME-007/008 Da sgunda quação, tmos qu y = k x x + y = k. Substituindo sss rsultados na primira quação, obtmos: k x k k x k x k x k x k x k x ± 4 + = + = ( ) ( ) + = 0 =, m qu x x x k k > 0, portanto, 4 <. Como x R, dvmos tr x > 0. Para isso, basta qu s tnha Δ = x 4 k 0. Daí, fazndo o studo do sinal d y = k 4 k, concluímos qu k 4. Vja: Not qu para k 0 não xist k ral, pois k > 0. Então, k 4, m qu >. Assim, k 4 k Rn4 Prcba: s k = 4, k = ral. 4± 0, isto é, x = Rn R. Isso mostra qu k = Rn4 gra uma solução Rsposta corrta: D, s considramos apnas part dos valors d k. Caso contrário, não há opção corrta. 9

10 a QUESTÃO IME-007/008 Os númros qu admitm, 5 7 como fators primos são os múltiplos d m.m.c(, 5, 7) = 05. Obsrv, agora, as divisião sguints: = 9.(05) = 95.(05) + 4 Como bas nssas divisõs, a soma (S) dos intiros positivos d quatro algarismos, múltiplos d 05, é: S = 0.(05) +.(05) (05) S = 05.( ), not qu ( ) é a soma d = 86 trmos m P.A. Daí, S = 05. ( ). 86 S = (05).(05).4 S = Rsposta corrta: D a QUESTÃO Obsrvando qu A + B = (A + B) AB A + B = (A + B) AB(A + B), tmos: i) x + x x x x x x = +.. = + x = 0

11 IME-007/008 ii) x ( ) + x x x x = + x x +... x 6 6 x + = ( ).( ) x + = 6 6 x x Rsposta corrta: B 4 a QUESTÃO Obsrvando qu ƒ(x) = Daí, x x + k = k = log k = log i) h(0,5) = g(ƒ (0,5)) h(0,5) = g(k) h(0,5) = k = log h(0,5) = ii) ƒ (0,75) = m ƒ(m) = Daí, m m + = m = m = m = 075, 7 log log 7 7 h(0,75) = g(ƒ (0,75) h( 075, ) = gm ( ) h( 075, ) = = h( 075, ) = 7 m 7 log Logo, a ára do triângulo (A) é dada por: A h ( 05, ). = h ( 075, ). 7 = A = Rsposta corrta: C 5 a QUESTÃO

12 IME-007/008 Admitindo qu a i sja o i ésimo trmo da P.G., tmos: i) Razão = q a = q = a ii) S = log ( a. a. a.... a ) S = log ( a. q ) ( + 7). 7 8.( ) 8 8 (. ) S = log S = log S = 0 iii) b = 0 b = 4 5 Daí, ƒ(x) = x x 4 ƒ() = 9 + ƒ() = Rsposta corrta: C, caso a i sja o i-ésimo trmo. Caso contrário, podmos tr fators rptidos b não srá único. ANOTAÇÕES