Derivadas parciais de ordem superior à primeira. Teorema de Schwarz.

Transcrição

1 Drivadas parciais d ordm suprior à primira. Torma d Scwarz. As drivadas das primiras drivadas são as sgundas drivadas assim sucssivamnt. Então, para uma unção d duas variávis podmos considrar, s istirm, as drivadas d m ordm a a, qu são rspctivamnt as drivadas m ordm a a, qu são rspctivamnt por: b ) ( a, b ), dinidas Torma d Scwarz. Sja : D R R (a, int D. Suponamos qu istm, nos pontos duma bola cntrada m ( a, (a, qu é continua m (a,. Então ist a, b a, b a, b. ( ) ( ) ( ) ª aula tórica. Pág. 6

2 5 - Crscimnto Total Dirncial Total Vimos por dinição qu o crscimnto total, iando um ponto (,) é dado por: (, ) (, ) D.5.1 Cama-s dirncial total d (,), d dsd qu istam sjam contínuas as drivadas parciais. Obs. Vriica-s qu d Gnralizando : s tivrmos (,,z,w) ntão: d z w w 6. Curvas d nívl Sja dada z(,) é possívl dtrminar a curva corrspondnt a zc (constant), a ssa curva damos o nom d curva d nívl. Emplo: Rprsnt graicamnt as curvas d nívl para cada um dos valors indicados: (, ) c 0,1,4,9 ª aula tórica. Pág. 7

3 7. Etrmos rlativos d unçõs d duas variávis. D. 7.1 Diz-s qu a unção z(,) admit um máimo rlativo no ponto M 0( 0, 0), isto é, quando ( 0 0 ), s ( 0, 0) > (, ) para todos os pontos (,) suicintmnt vizinos do ponto ( 0, 0 ) mas dirnt dst ponto. D. 7. Diz-s qu a unção z(,) admit um mínimo rlativo no ponto M 0( 0, 0), isto é, quando ( 0 0 ), s ( 0, 0) < (, ) para todos os pontos (,) suicintmnt vizinos do ponto ( 0, 0) mas dirnt dst ponto. Como dtrminar os trmos? 1) Cálculo das drivadas parciais:?? ) Dtrminação dos pontos d stacionaridad 0 0 3) Dtrminação da matriz Hssiana H(,) ª aula tórica. Pág. 8

4 4) Dtrminação do dtrminant da matriz Hssiana para cada ponto d stacionaridad. H( 0, 0 ) 5) Classiicação dos pontos d stacionaridad sgundo a rgra sguint: min s > 0 > 0 má s < 0 H ( 0, 0) < 0 Ponto Sla (não ist trmo) 0 não s pod concluir nada Emplo: Dtrmin os trmos rlativos da rgião z ª aula tórica. Pág. 9

5 8. Drivada da unção composta. Drivada total. - Drivada da unção composta. Suponamos qu na quação zf(u,v) u v são unçõs das variávis indpndnts : Nst caso, z é uma unção composta das variávis. Pod-s, vidntmnt, primir z dirctamnt m unção d ; z F ϕ,, ψ, Suponamos qu todas as drivadas parciais das unçõs F(u,v), u ϕ (, ) v ψ (, ) são continuas, podmos ntão calcular rcorrndo às sguints prssõs: (, ) ; v ψ ( ) u ϕ, [ ( ) ( )] F u F v u v Emplo: Calcul z u 3 v 3 u 1; u ; v F u u 1 F v v -Drivada Total. S a unção zf(u,v) é tal qu as variávis u v dpndm, por sua vz, d uma única variávl, pod-s ntão calcular a dz drivada total d z m ordm a ( ). d dz d F u du d F v dv d ª aula tórica. Pág. 10

6 9. Gradint. Intrprtação gométrica. Aplicaçõs. Em cada ponto do domínio d uma unção FF(,,z) podmos dinir um vctor, cujas projcçõs sobr os ios coordnados F F F são os valors das drivadas parciais, dssa unção no ponto corrspondnt. grad F F F i F j k Est vctor cama-s gradint da unção F(,,z). S o grad F(a) 0, ntão grad F(a) tm a dircção sntido do máimo crscimnto d F, sndo ss máimo igual a grad ( F( a)). Algumas aplicaçõs do gradint Nota: prova-s qu o vctor gradint d F num ponto (a,c), s não or nulo, é prpndicular ao Plano tangnt a F nss ponto. aplicaçõs do gradint 1) Dtrminar a rcta normal à supríci dinida por F no ponto P ). 0 c ) Dtrminar o plano tangnt à supríci dinida por F no ponto P ). 0 c a b z c F ( P0 ) F ( P0 ) Fz ( P0 ) c)( a) F c)( F c)( z ) 0 F c z ª aula tórica. Pág. 11