5.10 EXERCÍCIO pg. 215

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1 EXERCÍCIO pg Em cada um dos sguints casos, vriicar s o Torma do Valor Médio s aplica Em caso airmativo, achar um númro c m (a, b, tal qu (c ( a - ( a b - a a ( ; a,b A unção ( é contínua m [,] A unção ( é drivávl m (,, pois o no intrvalo (, lim ( ( ist para todo Tmos, ( ( c b a c b a a b ab c b a a b c ab b a ( b a c ab ( b a c ab c ab c ab c c Intrprtação gométrica: A igura qu sgu mostra qu a rta tangnt no ponto c, rprsntada pla cor azul é paralla à rta scant qu passa nos pontos (a, (a (b,(b, rprsntada na cor vrd

2 ( b ( ; a, b Não s aplica o Torma, pois a unção não é contí nua m [,] c ( ; a, b A unção é drivávl m (, contínua m [,], pois é do tipo polinomial c tal qu: b a ( c c c c b a Intrprtação gométrica: A igura qu sgu mostra qu a rta tangnt no ponto c, rprsntada pla cor azul, é parall a à rta scant qu passa nos pontos (a, (a (b,(b, rprsntada na cor vrd

3 9 7 ( d ( ; a, b A unção é drivávl m (, é contínua m [,], pois é do tipo polinomial Assim, ( c c c c ( ( c Intrprtação gométrica: A igura qu sgu mostra qu a rta tangnt no ponto c, rprsntada pla cor azul, é parall a à rta scant qu passa nos pontos (a, (a (b,(b, rprsntada na cor vrd

4 9 7 ( ( cos ; a,b / A unção é contínua m cos cos ( c sn c sn c c arc sn, é drivávl m, Assim, Intrprtação gométrica: A igura qu sgu mostra qu a rta tangnt no ponto c, rprsntada pla cor azul, é parall a à rta scant qu passa nos pontos (a, (a (b,(b, rprsntada na cor vrd

5 ( 7 / - ( tg ; a /, b / torma A unção ( tg não é contínua m, Portanto, não s aplica o g ( tg ; a,b / A unção ( tg é contínua m, é drivávl m, Assim, tg tg ( c sc c sc c sc c sc c c arc sc

6 Intrprtação gométrica: A igura qu sgu mostra qu a rta tangnt no ponto c, rprsntada pla cor azul, é parall a à rta scant qu passa nos pontos (a, (a (b,(b, rprsntada na cor vrd -/ / - ( h, ; ( b A unção ( é contínua m ], [ drivávl m, ( Assim, ( ( ( c c c c c c c c c c c c c c

7 Intrprtação gométrica: A igura qu sgu mostra qu a rta tangnt no ponto c, rprsntada pla cor azul, é parall a à rta scant qu passa nos pontos (a, (a (b,(b, rprsntada na cor vrd ( 9 - i ( ; a -, b A unção é contínua m [, ] mas não é drivávl m (, Assim, não s aplica o torma j ( ; a -, b A unção é contínua m [, ], mas não é drivávl m (,, porqu não é drivávl m lim lim ( ( lim ( ( lim Assim, não s aplica o Torma (

8 é tal qu ( (- ( / A unção ( - Torma d Roll no intrvalo[-,]? Por qu la não vriica o ( ( / / A unção não é drivávl no intrvalo [-,], pois não é drivávl m lim lim lim Sja ( 9 Mostrar qu satisaz as condiçõs do Torma d Roll no intrvalo [-,] dtrminar os valors d c (, qu satisaçam ( c A unção é unção polinomial, portanto é contínua drivávl m qualqur intrvalo Em particular é contínua m [-,] drivávl m (, c (, / ( c ( ( ( ( 7 9 ( 7 9 ( ( '( c c c ou c c,, A igura qu sgu ilustra a situação aprsntada

9 ( Usando o torma do valor médio provar qu: a sn θ - sn α θ -α, θ, α R; Sja ( sn é contínua drivávl m R Considrando-s contínua m [ ] α ( α ( θ ( c α θ sn α snθ cos c α θ sn α snθ cos c α θ snθ snα cos c θ α snθ snα cos c θ α cos c snθ snα θ α para θ, drivávl m ( θ, α c ( θ, α /

10 θ, α R θ < α Analogamnt, mostra-s para θ > α S θ α é trivial b snθ θ, θ Sja ( sn é continua m [, θ ], θ > é drivávl m (, θ, θ > c (, θ ( θ ( ( c θ ( θ ( ( θ ( c snθ θ θ (cosc cosc cosc < θ (cosc < sn θ θ < snθ < θ < cosc < cosc < θ (cosc < sn θ θ < snθ < θ < cosc < cosc < θ (cosc < sn θ θ < snθ < θ Para θ tmos sn θ Portanto a dsigualdad é satisita Dtrminar os pontos críticos das sguints unçõs, s istirm a y y y Portanto, não admit ponto crítico

11 b - y y c - y y d ( ( - y y - y y y ± ± y no ponto crítico g y

12 y ( Pontos críticos:, h y sn y cos cos k, k, ±, ±, ±, L i y cos y sn sn k, k Z sn j y sn - cos y cos ( sn y cos sn cos sn cos sn k, k Z k y

13 y ln ln ln ln l y ( - 9 / y y ( / Além disso, nos pontos não ist a drivada Pontos críticos:, m y ( y ( y ( ( ( Não istm pontos críticos n y -

14 y s s < y s s > < Para a drivada não ist é um ponto crítico o, < (,, (, < < ( não stá dinida para é ponto crítico Dtrminar, algbricamnt, os intrvalos nos quais as unçõs sguints são crscnts ou dcrscnts Fazr um sboço do gráico, comparando os rsultados a ( - ( > para todo A unção é crscnt (, 7 (

15 b ( - 7 ( <, para todo A unção é dcrscnt (, 7 ( c ( 7 ( > > > > < < Em [, ], ( é crscnt Em [, ], ( é dcrscnt ( d ( -

16 ( > A unção é crscnt m [, ], A unção é dcrscnt m, é dcrscnt ( ( ( -( - ( ( ( ± A unção é crscnt m 7 7,,

17 9 A unção é dcrscnt m 7, ( sn ( - cos cos cos ( > > n n,,,,, L L, nst intrvalo cos < > dcrscnt n n,,,,, L L, nst intrvalo cos > > crscnt

18 ( - -/ - -/ / / - - g ( ( ln > A unção é crscnt m (, ( h ( ( < A unção é dcrscnt m (,

19 ( - - i ( ( > > < > ( A unção é crscnt m (,] m [, é dcrscnt (

20 j ( - ( ( ( ( ( > ( > ( > A unção é crscnt m (,] [, é dcrscnt m [,] [, ] 9 ( k ( ( > > ( ( > A unção é dcrscnt m [,] [,] é crscnt m (, ] [,

21 ( l ( sn, [, ] ( cos sn (cos sn A unção é crscnt m 7,, é dcrscnt m 7, ( / / / - 7 Dtrminar os máimos mínimos das sguints unçõs, nos intrvalos indicados a ( -, [ -,] ( < > a unção é dcrscnt m [-,]

22 ( ( 7 é máimo da unção m [,] ( é mínimo da unção m [,] b ( -, [-,] ( é ponto crítico ( ( ( ( > - é mínimo m[-,] é máimo m [-,] c ( -, [,] ( é ponto crítico ( ( 9 7 > é máimo m [,] / é mínimo m [,] d (, [,] ( ( são pontos críticos

23 ( ( m[,] unção é máimo da unção é mínimo da 7 - ], [, ( são pontos críticos ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( m[-,] unção é mínimo da - unção é máimo da ] [,, ( <,, (

24 , (, > < '( não ist é ponto crítico ( ( ( é máimo é mínimo da unção m [,] g ( cosh, [,] ( sn h sn h é ponto crítico ( cosh ( cosh (,79 ( cosh (,79 é mínimo m [-,] é máimo h ( tgh, [,] ( sch ( ( > a unção é smpr crscnt

25 7 máimo é tgh( ( mínimo é ( ( tgh i ] [,, cos ( sn ( são pontos críticos,,,,,, sn máimo é - ( ( ( mínimo é ( ( ( ( j ] [,, cos ( sn cos ( são pontos críticos,,,, ou cos cos sn sn ( cos cos ( cos cos ( é máimo é mínimo k,, ( sn

26 ( sn cos sn cos sn ou cos são pontos críticos ( sn sn é mínimo é máimo Encontrar os intrvalos d crscimnto, dcrscimnto, os máimos os mínimos rlativos das sguints unçõs a ( ( > a unção é smpr crscnt máimo mínimo rlativo b ( ( > > - - > > Em [, ] a unção é crscnt Em (-,-] é dcrscnt é ponto crítico (d mínimo ( ( ( é o mínimo da unção

27 c g ( - 9 g ( > ( > A unção é crscnt m (,, dcrscnt m, são pontos críticos ( máimo 7 9 mínimo d h ( - h ( - - ( - ( A unção é dcrscnt m [,] m (, ] [, é crscnt - é ponto d máimo é ponto d mínimo h( ( ( 9 ( 7 7 ( 7 é máimo

28 h( 7 é mínimo t - ( t, t t ( t ( t ( t ( t t t ( t ( t > A unção é smpr crscnt máimo nm mínimo ( t t, t t t ( t t t t > t t > ( t ( t > A unção é dcrscnt m [, (,], é crscnt m (, ] [ - é ponto d máimo é ponto d mínimo ( é máimo rlativo ( é mínimo rlativo g g (

29 g ( ( > > > Em [, a unção é crscnt m (, ] é dcrscnt - é ponto d mínimo g( ( é mínimo h h ( h ( é dinida para > h ( / <, > A unção é dcrscnt m (, máimo ou mínimo i ( - ( s s > s < '( s >

30 A unção é crscnt m é ponto crítico, é dcrscnt m, é mínimo da unção j, g( -, - > -, g (, < - > - g '( g' ( não ist Portanto, - são pontos críticos A unção é crscnt m (, ] [, dcrscnt m [,] ( é máimo ( - é mínimo k t, h(t t, t > t, h ( t, t > t < h '( não ist Portanto, t é ponto crítico Em (,] a unção é crscnt m [, t é ponto d máimo h ( é máimo da unção é dcrscnt, -, ( < -, (, < >

31 Pontos críticos: A unção é crscnt m (,] é dcrscnt m [, é ponto d máimo não é um trmo ( é máimo da unção m - ( - g ( ( 9 (,,, < > (, < g (, < < 9 (, > ( > ( < < < 9 ( > Em (,] a unção é crscnt m [, é ponto d máimo g ( 9 ( 9 é máimo < < é dcrscnt 9 Encontrar os pontos d máimo mínimo rlativos das sguints unçõs, s istirm Fazr um sboço do gráico comparar os rsultados a ( 7 -

32 é ponto crítico 7 ( é ponto d mínimo rlativo 7 7 ( > ( b - g( ( g ( g ( < g é ponto d máimo rlativo

33 g( c h ( h ( - 7 ± 7 ± ± 7 são pontos críticos h ( h ( > é ponto d mínimo h ( 7 ( 7 < 7 é ponto d máimo h(

34 d h ( h ( são pontos críticos h ( h ( > é ponto d mínimo h ( Nada s pod airmar usando o tst da drivada sgunda Analisando a drivada primira h '( ( (, h Portanto, h é crscnt m [, tmos qu '( para > mínimo rlativo não é máimo nm h(

35 7 <,, ( t t t t t > <,, ( t t t t t Em (,, ( ' < t m (,, ( ' > t Plo tst da drivada primira, t é ponto d mínimo t (t ( ( ( é ponto crítico

36 ( ( é ponto d máimo '( não ist Portanto, também é ponto crítico Para <, '( < Para < <, '( > Portanto, usando o tst da drivada primira, sgu qu é um ponto d mínimo 9 ( g ( ( 7 7 ( (

37 7 ( ( é ponto crítico 9 ( é smpr > máimos nm mínimos 9 ( h ( ( ( ( ( ( ( é ponto crítico Vamos usar o tst da drivada primira ( ( >

38 ( > > > > > ( é dcrscnt para m, é crscnt m, Logo, é ponto d mínimo 9 ( i g ( ( g ( ( ( (

39 ( ± são pontos críticos ( g ( ( ( ( ( ( 9 9 g ( < é ponto d máimo 9 g ( > é ponto d mínimo g( j h ( ( h ( ( ( ( ( (

40 ( são pontos críticos (, h '( > > é ponto d máimo é ponto d mínimo h( k ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, [ ( ( ( ] ( ( ( (, ( ( são pontos críticos Vamos usar o tst da drivada primira

41 '( ( ( ( > < ou > ( > Portanto, é ponto d máimo máimo nm d mínimo é ponto d mínimo não é ponto d ( l ( ( ( (

42 (, ( são pontos críticos '( >, > Usando o tst da drivada primira conclui-s qu: é ponto d mínimo é ponto d máimo ( loga Mostrar qu y tm su valor máimo m (númro npriano para todos os númros a > loga y

43 log log log log log y a a a a a a a a log log é ponto d máimo a para log log log log log log log y y y a a a a a a a > < Dtrminar os coicints a b d orma qu a unção ( b a tnha um trmo rlativo no ponto (-, a b a ( (

44 a ( a a a a Para quaisqur valor d a b é um ponto crítico a é ponto crítico ''( a a a a a a a '' a a para a a Como o trmo dv star no ponto (-,, sgu qu a ( b b Encontrar, a, b, c d tal qu a unção ( a b - c d tnha pontos críticos m S a >, qual dls é d máimo, qual é d mínimo? ( a ( a a b c d b c b c Substituindo, vm c c Substituindo, vm

45 a b c a b a b a b b a 7 ( a b ( b ( a b Ainda podmos tr: d qualqur ral c a qualqur ral b -a Então s a > : ( b ( a a ( a ( a a a a a > é ponto d máimo é ponto d mínimo Dmonstrar qu a unção y a b c, R, tm máimo s, somnt s, a < ; mínimo s, somnt s, a > y a b c y a b a b b a y y a b a b a > a > é ponto d mínimo a a b a < a < é ponto d máimo a Dtrminar os pontos d inlão rconhcr os intrvalos ond as unçõs sguints têm concavidad voltada para cima ou para baio a (

46 ( ( > > < < < Em, a unção é côncava para cima Em, a unção é côncava para baio Em tmos um ponto d inlão, é um ponto d inlão b ( 9 ( ( > > ( > < / ou >, côncava para baio -,- U (, côncava para cima Em tmos pontos d inlão são pontos d inlão Os pontos, (, ( c (

47 ( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( > ( ( > > > > A unção é côncava para cima m (, côncava para baio m (, Como o ponto D(, a unção não tm pontos d inlão d ( ( ( > > > ( > Tmos qu: Em ( > Em, Em, ( > ( é côncava para cima é côncava para baio ( tmos um ponto d inlão, é o ponto d inlão

48 ( ( ( ( ( > > ( ( ( tmos pontos d inlão Em cima para é côncava, -,- - - Em baio para é côncava, Em ± ( ( ( / ( ( ( ( < ( ( ( todo o qu ocorr para, D < < Assim, a drivada d sgunda ordm da unção é smpr mnor qu zro Não ist ponto d inlão a unção é côncava para baio m todo o su domínio g ( 9 ( t t t

49 ( t ( t t ( t t ( t t ( t 9 ( t ( t [( t t ( t 9 ] t t ( t ( t ( t ( ( t ( t ( t ( t t 7 ( t ( t > t 7 > ( t t 7 > Em t > 7 t > t tmos um ponto d inlão A unção m: (, é côncava para cima; (, é côncava para baio h ( t t cost, t [, ] ( t ( t t t ( t > snt < ( snt cost ( cost snt t snt > snt t (, t t t ( snt cost ( snt cost t (, é côncava para cima m (, é ponto d inlão é côncava para baio m [, ] [, ]

50 i, (, <, (, < >, (, < > ( > ( < para pontos d inlão não tmos valors (, ; é côncava para baio nst intrvalo j, (, >, (,, "(, < > < > ( > ( < para para (, (, é côncava para cima nst intrvalo é côncava para baio nst intrvalo (, é um ponto d inlão Sguindo as tapas aprsntadas m 9 azr um sboço do gráico das sguints unçõs: (a y Etapa : Encontrar D ( O domínio da unção dada é o conjunto dos númros rais Etapa : Calcular os pontos d intrscção com os ios (Quando não rqur muito cálculo

51 y y,, ± ± ± Etapa : Encontrar os pontos críticos y y ( ( Em tmos um ponto crítico Etapa : Dtrminar os intrvalos d crscimnto dcrscimnto A unção é crscnt para dcrscnt para Etapa : Encontrar os máimos mínimos rlativos Como y >, tmos um ponto d mínimo rlativo m Etapa : Dtrminar a concavidad os pontos d inlão A unção tm a concavidad para cima Etapa 7 Encontrar as assíntotas horizontais vrticais s istirm Não há assíntotas Etapa : Esboçar o gráico

52 7 y (b y Etapa : Encontrar D ( O domínio da unção é o conjunto dos númros rais Etapa : Calcular os pontos d intrscção com os ios (Quando não rqur muito cálculo Quando tmos qu y Quando y tmos / Etapa : Encontrar os pontos críticos y Etapa : Dtrminar os intrvalos d crscimnto dcrscimnto > é crscnt m [,] é dcrscnt m (,] [, Rsolvndo sta quação obtmos

53 Etapa : Encontrar os máimos mínimos rlativos y Para tmos qu y, o qu nos dá um ponto d máimo m Para tmos qu y, o qu nos dá um ponto d mínimo m Etapa : Dtrminar a concavidad os pontos d inlão > > < / A unção é côncava para cima m, < < > / A unção é côncava para baio m, Em tmos um ponto d inlão Etapa 7 Encontrar as assíntotas horizontais vrticais s istirm Não tmos assíntotas Etapa : Esboçar o gráico y

54 (c y Etapa : Encontrar D ( O domínio dsta unção é o conjunto dos númros rais Etapa : Calcular os pontos d intrscção com os ios (Quando não rqur muito cálculo Fazndo obtmos y Fazndo y vamos tr a quação ± qu ao sr rsolvida obtém-s os valors: Etapa : Encontrar os pontos críticos y ( Assim, são os pontos críticos 7 Etapa : Dtrminar os intrvalos d crscimnto dcrscimnto Tmos: Crscimnto: (, (, Dcrscimnto: (, (, Etapa : Encontrar os máimos mínimos rlativos y y Assim, m tmos um ponto d máimo y Assim, m tmos um ponto d máimo

55 y Assim, m tmos um ponto d mínimo 7 ( (,, 7 (, Etapa : Dtrminar a concavidad os pontos d inlão y,, > (, concavidad para cima < (, (, concavidad para baio, (,,,, (,,,,, Etapa 7 Encontrar as assíntotas horizontais vrticais s istirm Não tm assíntotas Etapa : Esboçar o gráico y

56 (d y Etapa : Encontrar D ( D ( IR {} Etapa : Calcular os pontos d intrscção com os ios (Quando não rqur muito cálculo Não corta os ios Etapa : Encontrar os pontos críticos y ± Etapa : Dtrminar os intrvalos d crscimnto dcrscimnto Em Em (, ] [, a (, a unção é dcrscnt unção é crscnt Etapa : Encontrar os máimos mínimos rlativos y " ( Tmos m um ponto d mínimo m um ponto d máimo (,, Etapa : Dtrminar a concavidad os pontos d inlão Côncava para cima m (, ; Côncava para baio m (, Etapa 7 Encontrar as assíntotas horizontais vrticais s istirm

57 lim lim 9 Tmos qu é uma assíntota vrtical Etapa : Esboçar o gráico y ( y ( ( Etapa : Encontrar D ( D ( IR {,} Etapa : Calcular os pontos d intrscção com os ios (Quando não rqur muito cálculo Fazndo y tmos qu Fazndo tmos y Etapa : Encontrar os pontos críticos 7 y ( ( 7, tm somnt raízs complas Assim não tmos pontos críticos Etapa : Dtrminar os pontos d crscimnto dcrscimnto A unção é smpr dcrscnt Etapa : Encontrar os máimos mínimos rlativos

58 Não s têm máimos nm mínimos 7 Etapa : Dtrminar a concavidad os pontos d inlão ( y ( ( Analisando o sinal dssa drivada vamos obtr: Concavidad para cima: ( ;, (, Concavidad para baio: (,; (, Etapa 7 Encontrar as assíntotas horizontais vrticais s istirm lim ( ( lim ( ( lim ( ( lim ( ( Tmos duas assíntotas vrticais Tmos uma assíntota horizontal m y Etapa : Esboçar o gráico y ( y

59 Etapa : Encontrar D ( 7 D ( (, Etapa : Calcular os pontos d intrscção com os ios (Quando não rqur muito cálculo Não corta o io dos Corta o io dos y m y Etapa : Encontrar os pontos críticos y ( / Não tmos pontos críticos Etapa : Dtrminar os intrvalos d crscimnto dcrscimnto É smpr dcrscnt Etapa : Encontrar os máimos mínimos rlativos Não têm máimos nm mínimos Etapa : Dtrminar a concavidad os pontos d inlão y ( " > / Não tm pontos d inlão A concavidad é voltada para cima Etapa 7 Encontrar as assíntotas horizontais vrticais s istirm lim lim Tmos qu é uma assíntota vrtical y Etapa : Esboçar o gráico é uma assíntota horizontal

60 y (g / y Etapa : Encontrar D ( D ( [, Etapa : Calcular os pontos d intrscção com os ios (Quando não rqur muito cálculo Encontra os ios m (, Etapa : Encontrar os pontos críticos y / / / Em tmos um ponto crítico Etapa : Dtrminar os intrvalos d crscimnto dcrscimnto / / > > > >

61 A unção é smpr crscnt 7 Etapa : Encontrar os máimos mínimos rlativos Não têm máimos nm mínimos Etapa : Dtrminar a concavidad os pontos d inlão y / A unção é côncava para cima Etapa 7 Encontrar as assíntotas horizontais vrticais s istirm Não tm assíntotas Etapa : Esboçar o gráico y - 7 (h y ln( Etapa : Encontrar D ( D ( ( /, Etapa : Calcular os pontos d intrscção com os ios (Quando não rqur muito cálculo Quando tmos qu y ln Para y tmos Etapa : Encontrar os pontos críticos y

62 Não tmos pontos críticos 7 Etapa : Dtrminar os intrvalos d crscimnto dcrscimnto > > > A unção é smpr crscnt Etapa : Encontrar os máimos mínimos rlativos Não tm máimos nm mínimos Etapa : Dtrminar a concavidad os pontos d inlão y ( ( " < A unção é côncava para baio Etapa 7 Encontrar as assíntotas horizontais vrticais s istirm lim ln( / Assim m / tmos uma assíntota vrtical Etapa : Esboçar o gráico y

63 Usando uma rramnta gráica, construir o gráico das unçõs sguints, analisando suas propridads caractrísticas como aprsntado m 9 (a y ( ( 7 y Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção Conjunto dos rais Conjunto Imagm [-,; Raízs rais - Pontos críticos trmos Vértic como ponto d mínimo: (/; -, Intrvalos d crscimnto ( /, Intrvalos d dcrscimnto (,/ 7 Concavidad Pontos d inlão côncava para cima Não tm

64 7 Assíntotas vrticais Assíntotas horizontais Não tm Não tm 9 (b y y Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção Conjunto dos rais Conjunto Imagm Conjunto dos rais Raízs rais aproimadamnt m,;, -, Pontos críticos trmos Ponto d máimo m Ponto d mínimo m

65 77 Intrvalos d crscimnto (, (, Intrvalos d dcrscimnto (, 7 Concavidad côncava para cima m (,; côncava para baio m ( ;, Ponto d inlão Em, Assíntotas vrticais Assíntotas horizontais Não tm Não tm (c y y - Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção Conjunto dos rais Conjunto Imagm (, Raízs rais

66 7 Pontos críticos trmos Ponto d mínimo m Intrvalos d crscimnto (, Intrvalos d dcrscimnto (, 7 Concavidad Pontos d inlão côncava para cima m todo o su domínio não tm Assíntotas vrticais Assíntotas horizontais Não tm Não tm (d y y

67 79 Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção IR {} Conjunto Imagm IR {} Raízs rais Pontos críticos trmos não tm Intrvalos d crscimnto Intrvalos d dcrscimnto m todo o su domínio não tm 7 Concavidad Pontos d inlão côncava para cima m (, côncava para baio m (, não tm ponto d inlão no su domínio Assíntotas vrticais Assíntotas horizontais y ( y

68 y Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção IR {, } Conjunto Imagm IR {} Raízs rais não tm Pontos críticos trmos é um ponto d máimo rlativo Intrvalos d crscimnto (, (, Intrvalos d dcrscimnto (, (, 7 Concavidad Pontos d inlão côncava para cima m (, (, côncava para baio m (, não tm ponto d inlão no su domínio Assíntotas vrticais

69 Assíntotas horizontais y ( y cosh y Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção IR Conjunto Imagm [, Raízs rais não tm Pontos críticos trmos é um ponto d mínimo Intrvalos d crscimnto (, Intrvalos d dcrscimnto (, 7 Concavidad Pontos d inlão côncava para cima m todo o su domínio não tm ponto d inlão

70 Assíntotas vrticais Assíntotas horizontais não tm não tm (g y y - - Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção IR Conjunto Imagm (, / ( ;, Raízs rais não tm Pontos críticos trmos / é um ponto d máimo Intrvalos d crscimnto (,/ Intrvalos d dcrscimnto ( /,

71 7 Concavidad côncava para baio m (,;, côncava para cima m ( ;, (,; Pontos d inlão Em -,, Assíntotas vrticais não tm Assíntotas horizontais y (h ( sn (

72 ( - -/ / Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico As iguras acima mostram o gráico da unção Obsrvar qu no sgundo gráico aprsntamos um dtalhamnto no intrvalo [, ], para azr uma anális mais dtalhada da unção É important smpr lmbrar qu graicamnt tmos condiçõs d analisar somnt o qu stá visualizado Daí a importância do conhcimnto tórico obtido via uso d tormas Domínio da unção IR Conjunto Imagm IR

73 Raízs rais Tmos ininitas raízs Espciicamnt no intrvalo [, ] tmos:, Pontos críticos trmos Tmos ininitos Espciicamnt obsrva-s no intrvalo [, ] um ponto d máimo (dnotado aqui por b ntr / um ponto d mínimo (dnotado aqui por a ntr / Intrvalos d crscimnto Intrvalos d dcrscimnto Tmos ininitos Espciicamnt m [, ] podmos visualizar ( a, b Tmos ininitos Espciicamnt m [, ] podmos tr (, a ( b, 7 Concavidad Pontos d inlão Espciicamnt m [, ] tmos: côncava para baio m (, côncava para cima m (, Tmos ininitos pontos Espciicamnt no intrvalo [, ] tmos Assíntotas vrticais Assíntotas horizontais não tm não tm (i (

74 ( Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção [,] Conjunto Imagm [,] Raízs rais, Pontos críticos trmos Obsrva-s um ponto d máimo (dnotado aqui por a ntr um ponto d mínimo (dnotado aqui por b ntr - Intrvalos d crscimnto ( a, b Intrvalos d dcrscimnto (, a (b, 7 Concavidad côncava para baio m (, côncava para cima m (, Pontos d inlão Assíntotas vrticais não tm

75 7 Assíntotas horizontais não tm (j ( ln ( Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção (, Conjunto Imagm [ a, ] O valor d a não stá bm visualizado graicamnt, mas pod sr ncontrado analiticamnt Raízs rais Pontos críticos trmos é possívl visualizar um ponto d mínimo (dnotado aqui d b nas proimidads d, Obsrvamos qu st ponto pod sr ncontrado algbricamnt

76 Intrvalos d crscimnto ( b, Intrvalos d dcrscimnto (, b 7 Concavidad É possívl visualizar um intrvalo m qu a concavidad é para cima, mas nas proimidads do zro parc tr uma mudança d concavidad qu dv sr invstigada algbricamnt Pontos d inlão Tm-s a ncssidad d uma invstigação algébrica nas proimidads do zro Assíntotas vrticais Assíntotas horizontais não tm não tm (k y ln( ( - - Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla

77 9 Domínio da unção Conjunto dos Númros Rais Conjunto Imagm [, Raízs rais Pontos críticos trmos Ponto d mínimo m Intrvalos d crscimnto (, Intrvalos d dcrscimnto (, 7 Concavidad Pontos d inlão É possívl visualizar um intrvalo m qu a concavidad é para cima m (, nos dmais pontos do domínio tm a concavidad para baio Tm-s a ncssidad d uma invstigação algébrica nas proimidads do - para conirmar a visualização da concavidad Assíntotas vrticais Assíntotas horizontais não tm não tm (l (

78 ( 9 Etapa Procdimnto Rsultado da anális visual Construção do gráico Gráico rprsntado acima dsta tabla Domínio da unção ( /, Conjunto Imagm (, Raízs rais não tm Pontos críticos trmos não tm Intrvalos d crscimnto não tm Intrvalos d dcrscimnto ( /, 7 Concavidad Pontos d inlão côncava para cima m su domínio não tm Assíntotas vrticais / Assíntotas horizontais y