λ, para x 0. Outras Distribuições de Probabilidade Contínuas

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1 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 Outras Distribuiçõs d abilidad Contínuas Vamos agora studar mais algumas distribuiçõs d probabilidads para variávis contínuas. Distribuição Eponncial Uma variávl alatória contínua qu satisfaça a distribuição ponncial é dfinida dntro d um intrvalo I dado por [, + ] tm função dnsidad d probabilidad f () dada por f ( ), para. Portanto, ssa distribuição é caractrizada por apnas um parâmtro (). O gráfico dsta função dnsidad stá mostrado abaio. A função d distribuição acumulada F () associada à dnsidad f () para a distribuição ponncial é dada por

2 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 F ( ) d, para. A média a variância da distribuição ponncial podm sr calculadas com o uso da intgral tablada, n u n u du n! n. Usando sta igualdad, a média da distribuição ponncial pod sr calculada como (fazndo u ), d. µ f ( ) d Da msma forma, a variância da distribuição ponncial é dada por (mostr como rcício) σ ( ) d. A mdiana da distribuição ponncial pod sr calculada rsolvndo-s a quação qu nos dá (mostr como rcício): F ( ) ln,693 M.,

3 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 Comparando a média com a mdiana da distribuição ponncial, vmos qu µ,44m. Isto indica qu a distribuição é assimétrica para a dirita, como s pod vr plo gráfico da distribuição. A distribuição ponncial é o análogo contínuo da distribuição gométrica. Isto pod sr notado obsrvando-s o gráfico abaio da distribuição gométrica, rtirado da aula. Podmos studar a rlação ntr a distribuição ponncial a distribuição gométrica da sguint forma. Suponha qu a variávl alatória contínua obdça a uma distribuição ponncial qu Y sja a part intira d, isto é, o maior intiro mnor ou igual a. Então, ( Y y) ( y < y ). + 3

4 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 Esta probabilidad pod sr calculada como, y+ y ( y+ ) y ( Y y) d ( ), y,,, y Fazndo a idntificação, como p, podmos rscrvr a prssão acima y ( Y y) p ( p), y,,,, qu é atamnt a fórmula para a distribuição gométrica da variávl discrta Y. Esta rlação ntr a distribuição ponncial a distribuição gométrica é tão usada nas aplicaçõs qu é costum dfinir a distribuição gométrica pla fórmula P ( ) ( y) y, isto é, substituindo-s p por. Quando d faz isto, a média a variância da distribuição gométrica (vja a aula ) passam a sr dadas, rspctivamnt, por p µ p ; σ p ( ) ( ). p 4

5 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 A distribuição ponncial, assim como a distribuição gométrica, tm uma propridad intrssant qu é chamada d ausência d mmória. Suponha qu sja uma variávl alatória qu satisfaça uma distribuição ponncial qu sjam dois númros positivos. Então, ( ) F ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ). Suponha qu s saiba qu a variávl tm um valor maior qu :. Dado isto, qual é a probabilidad d qu o valor d sja maior qu +? Pla fórmula da probabilidad condicional, tmos qu ( + ) ( ) ( + ) ( + ). Esta quação nos diz qu, ( + ) ( ), ou sja, a probabilidad d s obtr um valor d acima d a partir d um valor dado qu já s obtv é simplsmnt a probabilidad d s obtr um valor d a partir d. É como s a variávl não s lmbrass d qu o valor já havia sido obtido. 5

6 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 Esta propridad da distribuição ponncial é usada m biologia molcular para modlar o comportamnto d dgradação d algumas moléculas. Alguns tipos d moléculas ativas m células podm s dgradar spontanamnt a qualqur momnto, d forma compltamnt alatória. Então, s rprsntarmos o tmpo d vida d uma molécula na sua forma ativa, ants da dgradação, por uma variávl alatória qu obdc a uma distribuição ponncial, tmos qu a probabilidad d qu la tnha um tmpo d vida maior qu + dado qu la já tv um tmpo d vida maior qu é igual à probabilidad d qu la tnha um tmpo d vida maior qu. O fato d la já tr vivido um tmpo na forma ativa não significa nada para s dtrminar s la ainda vai vivr um tmpo maior qu. Esta propridad pod tr ainda outras implicaçõs para a modlagm do tmpo d vida d uma molécula na forma ativa. Suponha qu h é um valor pquno. Então, a probabilidad d qu uma variávl alatória satisfazndo a uma distribuição ponncial assuma um valor no intrvalo (, + h), dado qu st valor já é maior qu é dada por + h h ( + h ) h, d ond s usou a pansão m séri d Taylor para a função ponncial, ! +! a aproimação d qu para pquno: +. 6

7 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 Est propridad implica qu s uma molécula já vivu até um tmpo na forma ativa, a probabilidad d qu la viva mais um tmpo h, ond h é pquno, é aproimadamnt proporcional a h. Distribuição Gama A distribuição ponncial é um caso particular da chamada distribuição gama. A função dnsidad d probabilidad para a distribuição gama é dfinida por f ( ) k k Γ( k), >. Nsta prssão, k são parâmtros arbitrários Γ(k) é a chamada função gama. A função gama é uma função analítica dfinida pla intgral Γ t u ( u) t dt, u A função gama possui as sguints propridads: >. ( u + ) uγ( u), Γ para todo u ral positivo Γ ( ). Estas propridads implicam qu, quando u for um intiro positivo n, Γ( n ) ( n )! 7

8 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 Por st motivo, a função gama é considrada uma tnsão da função fatorial para os númros rais positivos. Um valor útil para s conhcr da função gama é Γ π. Pod-s ncontrar uma tabla da função gama consultando-s livros d tablas fórmulas matmáticas. Por mplo: Abramowitz, M. Stgun, I. (97). Handbook of Mathmatical Functions. Dovr, Nw York. O gráfico da distribuição gama pod tr difrnts formas, dpndndo dos sus parâmtros. A figura abaio dá os gráficos da distribuição gama com para quatro difrnts valors d k. Vja qu para k tmos a distribuição ponncial d novo. 8

9 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 A média a variância da distribuição gama são dadas, rspctivamnt, por k µ k. ; σ Um caso spcial da função gama d importância m infrência statística ocorr quando ½ k ν/, ond ν é um intiro positivo. A distribuição rsultant, dada por f ν ( ), ν ν Γ > é chamada d distribuição do qui-quadrado com ν graus d librdad (também dnotado por gl). O su gráfico stá dado a sguir. Pod-s mostrar qu s z for uma variávl qu satisfaz a distribuição normal padrão, ntão z satisfaz a distribuição do qui-quadrado com grau d librdad. Também pod-s mostrar qu a distribuição ponncial com ½ é a distribuição do qui-quadrado com graus d librdad. 9

10 abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 Distribuição Bta Uma variávl alatória contínua satisfaz a uma distribuição bta com parâmtros positivos α β s a sua função dnsidad d probabilidad for f ( ) Γ Γ ( α + β ) ( α ) Γ( β ) α β ( ), < <. A média a variância da distribuição bta são dadas, rspctivamnt, por: α µ α + β ; σ αβ ( α + β ) ( α + β + ). A distribuição uniform (f () para < < ) é um caso spcial da distribuição bta para α β.