R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).

Transcrição

1 f : A B, significa qu f é dfinida no conjunto A (domínio - domain) assum valors m B (contradomínio rang). R é o conjunto dos rais; R n é o conjunto dos vtors n-dimnsionais rais; Os vtors m R n são colunas ao mnos qu sja stablcido o contrário; Para qualqur x R n, x é o vtor transposto d x, isto é o vtor linha n-dimnsional; O produto intrno (innr product) d dois vtors x, R n é dfinido por: x = x Quaisqur dois vtors x, R n satisfazndo x = 0 são ditos ortogonais. Módulo d um vtor: v = ' v'.v n i i= i S w é um vtor do R n, ntão as notaçõs w > 0 w 0 indicam qu todas as coordnadas d w são positivas ou nãongativas, rspctivamnt. A notação w v ou w < v, tc. são intrprtadas da msma forma.

2 Sja V = {v, v,..., v n } um conjunto d vtors com a msma dimnsão. Uma Combinação Linar (CL) dos vtors m V é qualqur vtor v da forma: v = c v + c v c n v n ond c, c,..., c n são scalars arbitrários. Um conjunto V d n vtors m- dimnsionais é linarmnt indpndnt s a única CL d vtors m V qu iguala a zro é a combinação trivial, isto é, s c = c =... = c n = 0. Um conjunto V d n vtors m- dimnsionais é linarmnt dpndnt s xist uma CL d vtors não trivial m V qu iguala a zro. A v = (, ) = AB v = (, ) = AC C B v v x A v v v = (, ) v = (, 0) x (i) Dois vtors LD (ii) Dois vtors LI Para qualqur matriz A, a notação a ij indica o lmnto da linha i coluna j. Para duas matrizs A B d dimnsõs compatívis (AB) = B A S A é uma matriz quadrada dirmos qu A é simétrica s A = A. Uma matriz A é diagonal s a ij = 0 smpr qu i j. Ela é uma triangular infrior s a ij = 0 para i < j. Ela é triangular suprior s sua transposta for triangular infrior. I rprsnta a matriz idntidad dt(a) rprsnta o dtrminant d A.

3 Dfinição Dada uma matriz mxm A, a matriz mxm B é sua invrsa s somnt s: = AB = BA = I. Associado a qualqur matriz quadrada A xist um númro dnominado d dtrminant d A (abrviado por dt(a) ou A ). Assim s A = [a ] é x matriz, ntão o dtrminant d A é a = a. a Para uma matriz x A = a O dtrminant é dado por: dta = a a a a a a Ants d calcular o dtrminant d matrizs d ordm mais alta é ncssário dfinir o concito d mnor d uma matriz. S A é uma matriz d ordm mxn ntão para quaisqur dois valors i, j m, o M ij mnor d A é a submatriz obtida d A liminando-s a linha i a coluna j. Sja A uma matriz mxm com m > ntão o dtrminant d A é dado por: A = (-) i+ a i M i + (-) i+ a i M i (-) i+m a im M im Essa fórmula é dnominada d xpansão do dt(a) plos co-fators da linha i. Calcular o dtrminant pla xpansão dos cofators da sguint matriz:

4 O dtrminant é: = ( ) ( ).. + ( ) = (45 48) (6 4) + ( 5) = + 9 = 0 5 = 8 O dtrminant d uma matriz mxm A, aprsnta as sguints propridads: 0. O dtrminant d uma matriz é igual ao dtrminant da sua transposta, isto é: dt(a) = dt(a ); 0. S uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta d zros, ntão o dtrminant dsta matriz srá zro; 0. S uma matriz é triangular (suprior ou infrior) o su dtrminant é o produto dos lmntos da diagonal principal; 04. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) d uma matriz A por um scalar λ, o dtrminant da nova matriz é λdt(a); 05. S prmutarmos duas linhas ou colunas d uma matriz A ntão o dtrminant da nova matriz é dt(a); 06. S A tm duas linhas (ou colunas) iguais, ntão dt(a) = 0; 07. S A B são matrizs quadradas da msma ordm, ntão dt(ab) = dt(a).dt(b); 08. S A é invrsívl, ntão dt(a ) = dt(a), d ond rsulta qu s A é invrsívl ntão dt(a) 0; Na planilha Excl as funçõs matriciais pod sr ncontradas na catgoria: matmática trigonométrica.. Invrsão: MATRIZ.INVERSO(Matriz);. Multiplicação: MATRIZ.MULT(Matriz_; Matriz_). Dtrminant: MATRIZ.DETERM(Matriz) 4

5 Um sistma linar pod sr rprsntado matricialmnt como: AX = B, ond: A é a matriz dos coficints das variávis; B é a matriz dos trmos indpndnts; X é a matriz das variávis. A solução matricial d um sistma é dada por: AX = B A - AX = A - B IX = A - B X = A - B A solução d um sistma plo método d Cramér é dada por: x i = i /, Ond é o dtrminant da matriz dos coficints das variávis. i é a matriz obtida a partir das matriz dos coficints das variávis, substituindo a coluna i pla coluna dos trmos Funçõs d várias variávis indpndnts. Drivadas d ordns supriors Exmplo: Calculam-s as drivadas parciais d ordm suprior drivando as funçõs já drivadas. Essas drivadas são drivadas dnominadas d drivadas parciais. Calcul as drivadas parciais d sgunda ordm da função f(x, ) = x 5 Tmos qu a sgunda drivada, m rlação a x é: f (x, ) = x. 5 E a sgunda drivada, m rlação a é: f (x, ) = 50 x. 5 5

6 Notação Podmos calcular, ainda, a sgunda drivada m rlação a, m rlação a x: f = (0x E a sgunda drivada m rlação a x, calculada m rlação a : f x = ( 6 x 5 ) = 0x 5 5 ) = 0 x 5 Assim, s z (x, ), pod-s dtrminar 4 drivadas parciais d sgunda ordm: xx x x xx x x Gradint d uma função Exmplo O gradint d uma função f(x, ) num ponto (x 0, 0 ), rprsntado por f(x 0, 0 ) é o vtor cujas coordnadas são: f (x 0 f, 0 ), (x 0, 0 ) Calcul o gradint da função: f(x,) = x - x / no ponto (,). Solução: Tm-s: f = 6x x O gradint da função f(x, ) no ponto (,) é o vtor f(, )=(, -). f x = x BERTSEKAS, Dimitri P. Nonlinar Programming. Blmont (MA): Athna Scintific, 995. WISTON, Wan L. Oprations Rsarch: Applications and Algorithms. d. Blmont (CA): Duxbur Prss,