FENOMENOS DE TRANSPORTE 2 o Semestre de 2012 Prof. Maurício Fabbri 2ª SÉRIE DE EXERCÍCIOS

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1 FENOMENOS DE TRANSPORTE o Smstr d 0 Prof. Maurício Fabbri ª SÉRIE DE EXERCÍCIOS 0. O coficint d transfrência d calor Transport d calor por convcção O transint ponncial simpls Consrvação da nrgia Lia o matrial sobr convcção transport d calor aprsntado nas transparências m aula. Ercício : A tmpratura no intrior d um quarto é d ºC. Há uma única janla d vidro, d 80 4cm, lá fora stá fazndo 0ºC. Supondo qu stá vntando muito, d modo qu o coficint d transfrência d calor pla janla é d 80W/m. o C, qual a taa d transfrência (potência) com qu o calor sai do quarto pla janla? (rsposta com dois significativos) Rsposta: 0,43kW Na vrdad, à mdida qu o calor sai pla janla, a tmpratura do quarto diminui, diminui também a taa d transfrência d calor (o calor é prdido cada vz mais lntamnt). Também prcisaríamos considrar s há pssoas dntro do quarto, ou alguma coisa qu produza calor. Ercício : Suponha qu a potência térmica m Watts librada por uma pssoa para o ambint sja dada por P=8(37 T a ), ond T a é a tmpratura ambint m o C. Suponha qu, no rcício, há três pssoas dntro do quarto. Suponha ainda qu, m cada instant, a tmpratura dntro do quarto sja uniform. Qual srá a tmpratura d quilíbrio, no quarto? Rsposta:,3 o C Em um grand númro d casos práticos, o quilíbrio é atingido ponncialmnt, porqu a taa d transfrência é proporcional à difrnça d tmpraturas, ssa difrnça vai diminuindo com o tmpo. REVISÃO O NÚMERO =, = lim + n n n = ! 3! 4! é o "númro d Npr", ou a "bas dos logaritmos naturais ou nprianos" é um númro transcndntal (não é raiz d nnhum polinômio com coficints racionais) (outro númro transcndntal conhcido é o π) Ercício 3: Obtnha com a calculadora os númros sguints, prssando o rsultado com quatro significativos: (a) = (b) = (c) = (d) = () 3 = (f) 3 = (g) /4 = (h) /4 = (i) 0 = (j) 0 = (k) 0 = (l) = (m) / = Rsp.: (a),78 (b) 0,3679 (c) 7,389 (d) 0,33 () 0,09 (f) 0,04979 (g),84 (h) 0,7788 (i),000 (j) 4,8 0 8 (k), (l) 4,3 (m) 0,736 0 M.Fabbri

2 A FUNÇÃO EXPONENCIAL -4-3 f() = tm as sguints propridads importants: f() = é smpr crscnt - f() > 0 para todo - f(0)= - lim = 0 - lim = + - f() "crsc mais rápido" qu qualqur potência d, para suficintmnt grand: lim =, para qualqur n. + n - A função é a única cuja drivada é la msma (a taa d variação d é!!!) : f() = tm as sguints propridads importants: d d = f() = é smpr dcrscnt - f() > 0 para todo - f(0)= - lim = lim = - "é capaz d matar" qualqur potência d, para suficintmnt grand: n lim = 0, para qualqur n. + d d = Ercício 4: Escrva cada uma das sguints funçõs como uma única ponncial: (a) f() =. (b) g()=. /3 3 / (c) h () = (d) m() = Rsp.: (a) f()= 3 (b) g()= /3 (c) h()= - (d) m()= 7/ A figura ao lado mostra como a ponncial dcrscnt "mata" o crscimnto d n, para n=, 3. Ercício : Utiliz a drivada d f()= n para dtrminar prcisamnt a localização d cada um dos pontos d máimo nos gráficos ao lado. Rsp.: f() = n tm máimo m = n, com valor f(n) = n n n. tm máimo m ( ; 0,37); tm máimo m ( ; 0,4); 3 tm máimo m (3 ;,34) f() = n -,4,,0 n=3 0,8 0,6 n= 0,4 n= 0, 0, M.Fabbri

3 A drivada d f() = α é α. (α sndo um parâmtro qu não dpnd d ) f () = α A FUNÇÃO EXPONENCIAL - forma gral t τ Uma função ponncial dcrscnt é comumnt scrita como f(t) = A, ond a constant positiva τ é chamada d constant d tmpo. A é o valor inicial da ponncial (m t=0). Um critério prático muito utilizado é qu a ponncial "morr" após três constants d tmpo, ou sja, para t > 3τ. Confira na calculadora a tabla abaio: T τ τ 3τ 4τ τ 6τ 7τ 8τ 9τ 0τ t / τ 0,368 0,3 0,0497 0,083 0, ,0048 0,0009 0, ,0003 < 0 4 Uma ponncial dcrscnt pod prssar um "transint", isto é, uma grandza qu varia com o tmpo a partir d um valor inicial tnd a um valor d "rgim", ou d "quilíbrio". S I é o valor inicial, F é o valor final τ é a constant d tmpo, um rgim transint ponncial pod sr scrito como: f (t) = F + (I F) Not qu f(0)=i, f( )=F o tmpo qu o transint dura é da ordm d 3τ. t τ Emplos: 0 f(t) f(t) 0 τ = 0 τ = t t Ercício 6: (a) Escrva a fórmula d cada um dos dois transints ilustrados na figura acima. (b) Calcul a taa d variação inicial d f(t) para cada um dos dois transints ilustrados na figura acima. Rsp.: (a) f(t) = + f(t) = 0 / (b) Ercício 7: Um copo d água é rtirado da gladira a o C, squnta gradualmnt até chgar à tmpratura ambint, d acordo com: t m minutos T(t) = 8 3 o T m C (a) Esboc o gráfico T vrsus t. (b) Qual o valor da tmpratura ambint? (c) Qual a taa d aqucimnto, m o C/min, no instant inicial? após vint sgundos? após dois minutos? quando a tmpratura da água for 6 o C? Rsp.: T [o C] t [min] (b) T ambint = T( ) = 8 o C (c) T (0) = 3 o C/min T (0s) = 6, o C/min T (min) = 3, o C/min T = 8-T o C/min 0 M.Fabbri 3

4 Ercício 8: Um copo d água, rtirado do microondas, sfria gradualmnt até chgar à tmpratura ambint, d acordo com: t m minutos / 4 T(t) = o T m C (a) Esboc o gráfico T vrsus t. (b) Qual o valor da tmpratura inicial? Da tmpratura ambint? (c) Qual a taa d rsfriamnto, m o C/min, no instant inicial? após dois minutos? após dz minutos? quando a tmpratura da água for d o C? (d) Após quanto tmpo a tmpratura chgará a 3, o C? () Em qu instant a taa d rsfriamnto é d 0, o C por sgundo? Rsp.: T [ O C] t [min] (b) T inicial = T(0) = 8 o C T ambint = T( ) = 3 o C (c) T (0) = -, o C/min T (min) = -9,4 o C/min T (0min) = -,3 o C/min T = 3 4T ; T= o C T = -0, o C/min (d) T=3, o C t = min7s () T = 0, o C/s t = 3min48s A FUNÇÃO LOG DEFINIÇÃO : Sndo a > 0 a b = c, ntão b = log a c NOTE QUE c > 0 smpr. Na ausência d qualqur outra indicação, log indica log 0 ln indica log. Ercício 9: Obtnha com a calculadora os númros sguints, prssando o rsultado com quatro significativos: (a) log() = (b) ln() = (c) *ln(3) = (d) ln(3 )= () ln( 8) = (f) ln()+ln(8) = (g) ln(/7) = (h) ln() ln(7) = (i) log( ) = (j) log() = Rsp.: (a) 0,300 (b) 0,693 (c),97 (d),97 () 3,689 (f) 3,689 (g) 0,390 (h) 0,390 (i) 0,0 (j) 0,0 Os rsultados acima ilustram as propridads mais conhcidas dos logaritmos. Em qualqur bas, log(a b) = log(a)+log(b) ; log(a/b) = log(a) log(b) ; log( n ) = n.log() Mudança d bas : loga b = logc b log a c Ercício 0: Utiliz sua calculadora para ncontrar um númro tal qu (rspostas com três significativos): (a) = (b) π = (c) 3 = (d) = () 0 = Rsp.: (a),3 (b) 0,60 (c) 0,08 (d) 0,963 () 0,4343 É intrssant útil notar qu A log A =. Ercício : Encontr o valor d m cada uma das quaçõs abaio (rspostas com três significativos): (a) = (b) = (c) = (d) = 7 / 4 Rsp.: (a) 0,9803 (b) 0,9803 (c),897 (d) 3,866 0 M.Fabbri 4

5 Taas d variação: A drivada d f() = ln() é f () =. d Em gral, trmos loga =. d lna Ercício : Escrva a fórmula da drivada das funçõs: (a) f() = ln(3) (b) f() = + ln() (c) f()= 3 0. ln(3) (d) f() = ln() ln() () f () = (f) f() = ln() Rsp.: (a) f () = / (b) f () = 4 + / (c) f () = 6 + / (d) f () = + ln() () f () = { ln()}/ (f) f () = +.ln() Ercício 3: Um objto s mov sobr uma linha rta, d modo qu a sua posição m função do tmpo é dada por: s(t) = 0 / t m minutos s m mtros (a) Qual sua posição nos instants 0s, 0s, min, 0min min0s? ds (b) Escrva a fórmula para a vlocidad instantâna v (t) = m função do tmpo. dt (c) Calcul a vlocidad instantâna nos instants 0s, 0s, min, 0min min0s. dv (d) Escrva fórmula para a aclração a (t) = m função do tmpo. dt () Calcul a aclração nos instants 0s, 0s, min, 0min min0s. (f) Qual a posição do corpo quando sua vlocidad for d m/s? (todas as rspostas com três significativos) / t m minutos Rsp.: (a) m ;,97m ; 7,7m ; 8,0m ; 9,3m (b) v(t) = 3 (c) 3,00 ;,8 ;,46 ; 0,406 ; 0,3 (m/min) v m m/min 3 t m minutos / (d) a(t) = () -0,600 ; -0,6 ; -0,49 ; -0,08 ; -0,079 (m/min ) (f) 0m a m m/min Ercício 4: A mia-vida d um matrial radioativo é o tmpo ncssário para qu mtad dos átomos d uma amostra sofra dcaimnto. Para uma amostra d Polônio, o númro d átomos / 00 radioativos rmanscnts após t dias é dado por N t 0, ond N 0 é a quantidad inicial d átomos radioativos na amostra. (a) Qual a mia-vida do Polônio? (b) Quanto tmpo sria ncssário para qu rstass apnas % dos átomos radioativos da quantidad inicial na amostra? Rsp.: (a) 40 dias (b) anos 6 mss Ercício : A mia-vida do Carbono 4 é d 730 anos. Em uma amostra d madira fossilizada, constatou-s a prsnça d apnas % do C 4 ncontrado numa árvor viva. Estim a idad da amostra. Rsp.: aproimadamnt quinz mil stcntos anos. 0 M.Fabbri

6 . A quação difrncial básica com solução ponncial A função f(t) qu é solução d df dt + αf = k, ond α > 0 k são constants, é o transint ponncial simpls f (t) = F + (I F) αt Not qu f(0) = I, f( ) = F = k/α a constant d tmpo da ponncial é τ = /α. Ercício 6: Suponha qu um copo d água qu saiu do microondas a 70 o C dmor 0min para chgar à tmpratura ambint T a = 0 o C. A ára d contato S do copo da água com o ar ambint é d 400cm, a massa M d água no copo é 600g. (a) Escrva a quação difrncial para a tmpratura da água m função do tmpo, supondo qu a troca d calor pod sr dscrita através d um coficint d transfrência d calor simpls h. dt hs Rsp.: = (T T ). c é o calor spcífico da água. Dsprzamos o calor spcífico do copo. a dt Mc (b) Estim o valor do coficint d transfrência d calor ntr a água o ambint. Rsp.: 0,6kW/m. o C Ercício 7: Como no Ercício : A tmpratura no intrior d um quarto mdindo 4 m é d ºC. Há uma única janla d vidro, d 80 4cm, lá fora stá fazndo 0ºC. Está vntando muito, d modo qu o coficint d transfrência d calor pla janla é d 80W/m. o C. Suponha qu a tmpratura do quarto s mantnha uniform. Em quanto tmpo a tmpratura dntro do quarto vai chgar aos 0 o C? (rsposta com dois significativos) A dnsidad do ar é,kg/m 3, o calor spcífico do ar é J/g o C. Não há nada dntro do quarto qu gr calor. Rsp: 83min Ercício 8: No rcício antrior, suponha qu há duas pssoas no quarto, qu cada uma libr 96W d calor. (a) Qual srá a tmpratura d quilíbrio? (b) Em quanto tmpo a tmpratura vai chgar a 0 o C? Rsp. (a) 7 o C (b) min Ercício 9: Rsolva o rcício 8 no caso m qu a potência térmica m Watts librada por cada pssoa para o ambint sja dada por P=8(37 T a ), ond T a é a tmpratura ambint m o C. Rsp. (a) 0 o C (b) h3min 0 Maurício Fabbri MCT/INPE: Univrsidad São Francisco USF Itatiba/Campinas São Paulo - Brazil Prmitido uso livr para fins ducacionais, sm ônus, dsd qu sja citada a font. 0 M.Fabbri 6