tg 2 x , x > 0 Para determinar a continuidade de f em x = 0, devemos calcular os limites laterais

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1 UFRGS Instituto d Matmática DMPA - Dpto. d Matmática Pura Aplicada MAT Cálculo Gomtria Analítica I A Gabarito da a PROVA fila A 5 d novmbro d 005 Qustão (,5 pontos Vrifiqu s a função f dada abaixo é contínua m x = 0. Justifiqu a rsposta. f(x = ( π cos x7, x 0 tg ( x x, x > 0 Para dtrminar a continuidad d f m x = 0, dvmos calcular os its latrais f(x x 0 f(x, pois a função f tm xprssõs difrnts para númros ngativos positivos, vrificar s sts são iguais coincidm com f(0: f(x = cos ( π x 0 x 0 x7 = cos( π x 0 x7 = cos ( π = = f(x = ( tg x qu é uma indtrminação do tipo 0. Então, aplicamos a Rgra x 0 d L Hospital obtmos ( d ( sc x x f(x = d ( x = sc ( ( x = sc x = =. Logo x 0 f(x =. Para qu f sja contínua m x = 0, dvmos tr f(0 =. D fato, f(0 = cos ( π 0 = =. Consqüntmnt, f é contínua m x = 0.

2 Qustão (3 pontos Sja f(x = x (ln x. Sab-s qu: f (x = (ln x + ln x f > 0 m (0, (, + f < 0 m (, a Dtrmin o domínio d f as intrscçõs com os ixos coordnados. b Vrifiqu s xistm assíntotas vrticais horizontais, m caso afirmativo, scrva as quaçõs. c Dtrmin os xtrmos rlativos d f, classificando-os. d Dtrmin os intrvalos ond o gráfico d f é côncavo para cima, intrvalos ond é côncavo para baixo os pontos d inflxão. Faça um sboço complto do gráfico d f. Justifiqu as rspostas us qu, 7 a Dom(f = (0, +. Intrscção com ixo x: O ponto (x, f(x do gráfico d f stá no ixo x s, somnt s, f(x = 0, ou sja, x (ln x = 0, o qu ocorr apnas quando ln(x = 0, isto é, quando x =. Intrscção com ixo y: Os pontos do gráfico d f possum abscissa stritamnt positiva. Logo, nnhum ponto do gráfico d f pod star no ixo y. Portanto, a intrscção com o ixo y é vazia. b Assíntotas horizontais: Como Dom(f = (0, +, basta calcular x + f(x. x + x (ln x = +, pois x + Portanto, não xistm assíntotas horizontais. x = + x + (ln x = +. Assíntotas vrticais: Como f é contínua m todo su domínio, ali não ocorrm assíntotas vrticais. Dvmos analisar s a rta vrtical x = 0 é assíntota. Para tanto, calculamos f(x. x (ln x = (ln x x, qu é uma indtrminação do tipo. Então, aplicamos a

3 Rgra d L Hospital obtmos x (ln x = ln(x x ( x = ln(x ( x, novamnt chgamos a uma indtrminação do tipo. Aplicamos outra vz a Rgra d L Hospital obtmos x (ln x = ( x ( x = x = 0. Consqüntmnt, x = 0 não é uma assíntota vrtical. c Extrmos rlativos: É dado no nunciado da qustão qu f (x = (ln x + ln x f > 0 m (0, (, + f < 0 m (,. Como a função f é contínua m (0, +, os pontos críticos são apnas aquls qu anulam a drivada, o qu ocorr m x = x =. Com as informaçõs sobr o sinal d f concluímos qu f é crscnt m (0, m (, + dcrscnt m (,. Portanto, x = é ponto d máximo local x = é ponto d mínimo local. d Concavidad d f pontos d inflxão: Para a dtrminação d concavidads inflxõs dvmos studar o sinal d f. Como f (x = ln(x x + x = ( ln(x + tmos qu f = 0 x s, somnt s ln(x =, ou sja, x =. Da continuidad d f sgu qu não há troca d sinal d f nos intrvalos ( 0, dtrminamos o sinal d f m cada intrvalo: f ( (, +. Tstando um ponto m cada um dsts intrvalos, = ( ln( + = ( + = < 0 logo, f (x < 0 para todo x ( 0, portanto o gráfico d f é côncavo para baixo m ( 0,. f ( = ( ln + = > 0 logo, f (x > 0 para todo x (, + d f é côncavo para cima m (, +. portanto o gráfico

4 Gráfico d f: y x Qustão 3 (,5 pontos Dtrmin um ponto P 0 = (x 0, f(x 0 sobr o gráfico d f(x = /x d forma qu a rta tangnt ao gráfico d f m P 0 também pass plo ponto (, 0. A dclividad da rta tangnt ao gráfico d y = f(x no ponto (x 0, f(x 0 é dada por m = f (x 0 = d (/x x=x0 = /x 0 ( /x 0. Como a rta passa plos pontos (, 0 (x 0, f(x 0 = (x 0, /x 0, obtmos qu m = /x 0 0 x 0 +. Portanto, /x0 x 0 + = /x 0 ( /x 0. Canclando /x 0 obtmos x 0 + =, isto é, x 0 = (x 0 +, x 0 ou sja, x 0 + x 0 + = 0. Logo (x 0 + = 0. Assim, x 0 = y 0 = / =. Consqüntmnt o ponto pdido é (,.

5 Qustão (,5 pontos a Calcul x 3 + x b Dtrmin o valor máximo absoluto da função f(θ = cos(θ sn (θ no intrvalo I = [ π, π ]. a Fazndo u = + x tmos qu du = x 3 portanto: x 3 = + x du u = u / du = u /+ + + C = u + C = + x + C b Sndo f uma função contínua I um intrvalo fchado, f assum máximo mínimo absolutos no intrvalo I. Tmos: f (θ = ( sn (θ sn (θ cos(θ = sn (θ ( cos(θ portanto f (θ = 0 quando sn (θ = 0 θ = 0 pois θ I = [ π, π ] cos(θ = 0 cos(θ = θ = π [ 3 θ = π 3 pois θ I = π, π ] Como f stá dfinida para todos os valors d I, os candidatos a xtrmos absolutos são os pontos críticos (x = 0, x = π/3 x = π/3 os xtrmos d I (x = π/, x = π/. Tstando tais pontos m f obtmos:

6 f f(0 = 0 = ( π ( f = 3 3 = 5 ( π = 3 ( 3 = 5 f ( π f = 0 ( = ( π = 0 ( = Logo, o valor máximo absoluto d f no intrvalo I é. Qustão 5 (,5 pontos Uma caixa fchada com bas quadrada dv tr um volum d 600 cm 3. O matrial usado para confccionar a tampa a bas da caixa custa 3 rais por cm o matrial usado nas latrais custa 5 rais por cm. Dtrmin as dimnsõs da caixa d mnor custo. Considramos: x: arsta da bas(bas quadrada y: arsta latral V : volum da caixa C: custo d fabricação da caixa Qurmos minimizar o custo d fabricação da caixa: C = 3(x + 5(xy, com a rstrição: V = 600cm 3, ou sja x y = 600. Dsta forma podmos scrvr o custo como função apnas d x: C(x = 6x + 0x( 600 x = 6x x,

7 cujo domínio é (0, +. Drivando a função custo obtmos: dc = x 000 x. Para ncontrar os pontos críticos, rsolvmos a quação dc = 0: x 000 x = 0 x = 000 x x 3 = 000 x = 0. Tmos qu mostrar qu o ponto crítico x = 0 é ponto d mínimo absoluto. Calculando: C(x = (6x x = + C(x = x + x + (6x x = + concluímos qu C tm mínimo absoluto; como x = 0 é o único ponto crítico, ntão é o ponto d mínimo. S x = 0, ntão y = = 6. Rsposta: As dimnsõs da caixa d mnor custo são: 0cm 0cm 6cm.