A seção de choque diferencial de Rutherford

Transcrição

1 A sção d choqu difrncial d Ruthrford Qual é o ângulo d dflxão quando a partícula passa por um cntro d força rpulsiva? Nss caso, quando tratamos as trajtórias sob a ação d forças cntrais proporcionais ao invrso do quadrado da distância, vimos qu a trajtória é dada por a ( ) r + θ, ond a ( ) L mk mk. Not qu, agora, E > 0, já qu K q q > 0 qu r vai a infinito quando θ s aproxima dos valors θ ± ± arc. A partir da dirção original d aproximação da partícula, digamos θ, a nova dirção torna-s θ +. Caso não houvss um cntro spalhador na origm, a partícula não passaria pla origm, mas por uma rta a uma distância s da origm continuaria ao longo dssa rta paralla à assíntota d quação polar dada por θ π + θ π arc. No ntanto, por causa do cntro d força rpulsiva, a dirção final é dada por θ θ + arc. A magnitud da dflxão é dada plo chamado ângulo d dflxão, qu nada mais é do qu o valor absoluto da variação angular da trajtória final da partícula dvida à ação rpulsiva do cntro d força: π arc. A figura abaixo ilustra sss ângulos.

2 Essa fórmula é quivalnt a ( π ) sn, mk. mk A nrgia total inicial é dada pla nrgia cinética inicial, já qu a partícula vm do infinito, portanto, lá, só tmos nrgia cinética: ond E m ṙ 0 + K r 0 mv 0, v 0 ṙ 0, para simplificar a notação. O momntum angular inicial é dado por L mr 0 ṙ 0 m r 0 ṙ 0 ẑ m r 0 v 0 snβẑ,

3 ond β é o ângulo ntr os vtors posição vlocidad iniciais. O parâmtro d impacto, s, é dfinido como, portanto, s r 0 snβ L L msv 0. A figura acima ilustra o parâmtro d impacto s. Com isso, / ( sn mk + m s v0mv ) / 0 mk, mk sn ( + m s v0 ) / K. Em um xprimnto d spalhamnto, a quantidad mnsurávl é a sção d choqu difrncial. Sja o númro d partículas qu são spalhadas dntro d um intrvalo do ângulo d dflxão ntr + d, por unidad d tmpo. Ess númro dv sr proporcional à intnsidad do fix incidnt, I, dada plo númro d partículas qu chgam na rgião do spalhamnto por unidad d ára por unidad d tmpo, dv sr proporcional a d. Em trmos matmáti, podmos scrvr Id, d I. A constant d proporcionalidad dv tr unidads d ára por ângulo d dflxão. Logo, sja /d ssa constant d proporcionalidad. Assim: d I d. Para cada ângulo d dflxão xist um valor do parâmtro d impacto, como podmos vr da xprssão ( sn + m s v ) / 0 K. Logo, para uma pquna variação do ângulo d dflxão, d, corrspond uma variação do parâmtro d impacto, ds. Para calcular ssa corrspondência, vamos difrnciar ambos os mmbros da quação acima: [ ] d sn d [ ( + m s v 0 K ) / ], 3

4 ou sja, ou ainda, d ( + m s v ) 3/ 0 m v0 K K sds, m d sn 3 v0 K sds, d tg m sn v0 K sds. Not qu o sinal d mnos indica qu d < 0 s ds > 0, como fica vidnt da figura acima. As partículas qu srão spalhadas com ângulos d dflxão ntr +d dvm tr parâmtros d impacto ntr s s + ds. Aqui, stari considrando d > 0, assim, ds < 0. Considrmos a ára transvrsal do fix incidnt, A. A figura a sguir ilustra o fix incidnt. Então, IA é o númro total d partículas qu stão no fix incidnt qu chgam, por unidad d tmpo, na rgião d spalhamnto. Dss númro, apnas aqulas partículas qu tivrm parâmtro d impacto ntr s s + ds srão spalhadas dntro do intrvalo d ângulo d dflxão ntr +d. Da ára total, A, do fix incidnt, somnt as partículas qu passarm através da

5 ára πs ds do anl srão spalhadas com a dflxão qu stamos considrando. Essa ára stá para a ára total assim como o númro d partículas spalhadas stá para o númro total incidnt: como sgu qu Logo, Mas, Portanto, πs ds A I IA, πs ds d I d, d Id πs ds d. d π tg sn m. v0 K tg sn sn sn sn3, sn sn. ( d π K ) m v ( K ) sn π 0 sn3 m v, 0 sn d π q q sn mv0 sn. 5